数列专题--线性递推数列的求法(本人)
数列专题——线性递推数列的求法
已经掌握的数列通项求法:
(1)公式法:等差、等比;
⎧n =1⎪S 1(2)S n 法,即a n =⎨;
⎪⎩S n -S n -1n ≥2
a (3)a n +1-a n =f (n ) 累加法、n +1=f (n ) 累乘法; a n
(4)a n +1=pa n +q 构造法(等比数列);
例如一次函数、a n +1=pa n +f (n ) ,f (n ) 为高中数学的一些基本初等函数,
二次函数、指数函数、高次函数等等,那么用“待定系数构造等比数列、等差数列” .
1.1 推广之一,f (n ) 为一次函数:即a n +1=pa n +bn +c ,f (n ) 为一次函数时,即a n +1=pa n +bn +c ,此法可行高效.只需构造a n +1+λn +u =p [a n +λ(n -1) +u ],利用待定系数求出λ与u 即可.
例1 (04年全国高中数学联赛四川省初赛) 数列{a n }满足a 1=1,a n
分析:令:a n +λn +u =2[a n -1+λ(n -1) +u ] =2a n -1+n -2(n ≥2) ,求通项a n .
=2a n -1+λn -2λ+u
⎧λ=1⎧λ=1由待定系数:⎨,得:⎨ -2λ+u =-2u =0⎩⎩
所以:a n +n =2[a n -1+(n -1)](n ≥2)
n 即:{a n +n }是以a 1+1为首项,2为公比的等比数列,得:a n =2-n 整理:a n
练习:1. (07天津文20) 在数列{a n }中,a 1=2,a n +1=4a n -3n +1,n ∈N *.(1)证明数列{a n -n }是等比数列;(2)求a n 前n 项和S n ;(3)略
4n -1n (n +1) +答案:a n =4+n ;S n = 32
1.2 推广之二,f (n ) 为二次或二次以上函数: n -1
即a n +1=pa n +c 1n m +c 2n m -1+ +c m n +c m +1,其中:p , c i (1≤i ≤m +1, m ∈N *, m ≥2) 为常数 例2 已知数列{a n }满足a 1=1,a n +1=2a n +n ,求通项a n .
分析:令: 2
a n +1+λ(n +1) 2+u (n +1) +v =2(a n +λn 2+un +v ) 整理:a n +1=2a n +λn 2+(u -2λ) n +v -u -λ
⎧λ=2⎧λ=2⎪⎪由待定系数:⎨u -2λ=0,得:⎨u =4 ⎪v -u -λ=0⎪v =6⎩⎩
a n +1+2(n +1) 2+4(n +1) +6所以:=2 2a n +2n +4n +6
2即:{a n +2n +4n +6}是以a 1+2+4+6为首项,2为公比的等比数列,
n -12得:a n =13⋅2-2n -4n -6
注:继续推广,f (n ) 为二次函数(或二次以上时) ,此法仍旧可行高效,只需构造,
a n +1+λ(n +1) 2+u (n +1) +v =p (a n +λn 2+un +v ) 利用待定系数求出λ、u 与v 即可.
1.3 推广之三,f (n ) 为指数函数:即a n +1=pa n +q n (此种类型构造等差比构造等比容易,建议讲构造等差,较好解决,下面的方法是构造等比的)
例3 (08年高考四川卷20) 设数列{a n }的前n 项和为S n ,已知ba n -2n =(b -1)S n
n -1(1)证明:当b =2时,a n -n ⋅2是等比数列;(2)求{}{a n }的通项公式.
分析:由题意知a 1=2,且ba n -2
两式相减得:b n =(b -1)S n ,ba n +1-2n +1=(b -1)S n +1, (a n +1-a n )-2n =(b -1)a n +1,即:a n +1=ba n +2n ①
n +1 (1)当b ≠2时,得:a n +1+λ2
易得:a n =b (a n +λ2n ),λ=-1 2-b =1n n -1⎡⎤2+2-2b b .(本小题也可以构造等差数列) ()⎣⎦2-b
n +1(2)当b =2时,由①知a n +1=2a n +2n ,两边除以2
当b =2时,由(1)知a n ,构造等差数列, =(n +1)2n -1.
综合:
例4 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +5⋅2n +4,a 1=1,求数列{a n }的通项公式.
解:设a n +1+x ⋅2n +1+y =3(a n +x ⋅2n +y )
将a n +1=3a n +5⋅2n +4代入⑥式,得: ⑥
3a n +5⋅2n +4+x ⋅2n +1+y =3(a n +x ⋅2n +y ) ,
整理得(5+2x ) ⋅2n +4+y =3x ⋅2n +3y .
令⎨⎧5+2x =3x ⎧x
⎩4+y =3y ,则⎨=5,代入⑥式,得: ⎩y =2
a n +1+5⋅2n +1+2=3(a n +5⋅2n +2) ⑦ 由a 1+5⋅21+2=1+12=13≠0及⑦式,得a ⋅2n +2≠0,则a
n +5n +1+5⋅2n +1+2
a =3,
n +5⋅2n +2
故数列{a n +5⋅2n +2}是以a 1+5⋅21+2=1+12=13为首项,以3为公比的等比数列,a n +5⋅2n +2=13⋅3n -1,则a n =13⋅3n -1-5⋅2n -2.
此因