材料力学03(2)
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算、 强度条件
1
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
为了解决圆轴的扭转应力计算，我们 先讨论比较简单的薄壁圆筒的扭转问题。
t R0
R0 (t ) 10
t
R0
2
三、圆轴扭转时截面上的应力计算
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 1.薄壁圆筒的应力公式
t
变形现象
R0
① 各圆周线形状、大小、 间距不变 ② 各纵向线倾斜相同角度， 各矩形变成平行四边形。
m0
m0
3
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 分析变形现象
① 由圆周线的大小、形状不变，纵向线发生 倾斜的变形现象，我们知道，薄壁圆筒横 截面绕轴线转动了一个角度。 ② 圆周线的间距不变，杆子既不伸长，也不 缩短，由此推得横截面上无正应力。
4
§ 3-4 、圆轴扭转时截面上的应力计算
③ 表面纵向线倾斜，表面所有的矩形格子都变成平行四边
形，而每个直角都改变了相同的角度 ，这种直角的改 变量称为切应变。这种切应变是由切应力引起的，因此 在横截面的圆周上各点的切应力是相等的。 又由于t
m0
m0
5
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
薄壁圆筒的横截面上各点的切应力均相等。 ④ 切应变 是两截面的错动， 发生在垂直半径的平面内，所 以切应力的方向垂直于半径。
T
结论：
薄壁圆筒在受扭转变形时， 横截面上将产生切应力，它 的方向沿圆周切线方向，且 在整个横截面上大小相等。
6
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
横截面上的分布内力系合成为扭矩T，即
T dA r
A
由于， 为常数，且t
r
T
R0
上式中的r可用R0代，于是
2 T R0 dA R0 2R0t 2R0 t A
T 2R02t
7
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 2.切应力互等定理
材料单元体 三棱边为微元长度 y
Y 0 1dzdy 2 dzdy
1 2
m
1dzdydx 4 dzdydx
Z
0
2 dy
dz
4
dx
1
x
3
1 4
z
8
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
切应力互等定理：两个互相垂直平面上的切应力 大小相等，方向为同时指向 (或同时背离) 两个面的交线。
纯剪切 —— 如图，各个侧 面均无正应力， 只在两对相互 垂直的平面上 有切应力。
9
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
如图，圆筒表面为自由表面，由切应力互 等定理可推知：受扭转圆筒横截面上切应 力的指向必定沿着圆周的切线方向。
10
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的扭转
n
m0
n
11
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的
扭转
T
m0
根据截面法：在圆筒的长度范围内，处处都有：
T m0
12
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的扭转
m0
φ
测量结果显示：φ 和 m0（即T）存在一个对应关系。
13
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的T－φ 图 T Tb
Ts φ O 实验表明：当扭矩不超过某个极限时，扭矩T与圆筒最右端截面 相对于支座的转角φ 成正比（该比例关系和圆筒长度L，厚度t， 平均半径R0 ，以及材料本身的特性有关）。
14
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
即： T
A A
R0 o
AA' L R0 R0
T 2R t
2 0
L
可得： 的关系图，实验表明，该图只与材料
的特性有关。
15
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
薄壁圆筒的 － 图
b
s
O 实验表明：当切应力不超过某个极限时，切应力 与切 应变 成正比（该比例关系只与材料的特性 有关）。
16
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算 3.剪切胡克定律
实验表明：当切应力不超过材料的某个极限
时，切应力与切应变 成正比：
=G
G ——切变模量（剪切弹性模量） G与 同量纲，为Pa
17
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
G、E、 均为反映材料性质的材 料常数，对各向同性材料，这三个量 中，只有两个独立，它们满足下列关 系：
E G 2(1 )
18
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
4、圆轴扭转切应力计算
m0 m0
m0 T
dA O
dA
目的：得到 随 （大小、方向）变化的规律， 以及 与扭矩T 的关系。
19
T ( dA)
A
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
4、圆轴扭转切应力计算 思路：观察变形，提出变形假设，导出应变与变形的 关系( 几何关系 ) 。利用材料本身的性质应力-应
变关系 ( 称为物理关系 ) ，由应变规律得到应力
分布规律。利用应力-内力关系(静力关系) ，可 得到用内力表示的应力公式。
20
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
4、圆轴扭转切应力计算
m0 m0
考察变形
① 各圆周线形状、大小、相邻两圆周线的间距不变。 ② 各纵向线近似于直线，只是倾斜了一个相同的角度。 轴表面变形前的矩形格，变形后成了平行四边形格。
21
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
4、圆轴扭转切应力计算
m0 m0
假设：杆横截面像刚性平面一样绕轴线转动。 (刚性平面假设) 此假设只适用于等直圆杆，假设的合理 性被实验结果和弹性力学高等理论所证实。
22
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
设想
，从轴上取出微段dx y m 1 2 m z
1
1
A A
2
o
o
1 2 x dx l
x 1
max
d
2 dx 截面 2-2 相对于截 1-1 将有一个相对的扭转角 dφ ，根据刚性平面假设，截面 2-2 上的任意一半 径OA转动到OA’，且保持直线。如将圆轴看成由 无数个同心薄壁圆筒组成的，则在这一微段中， 组成圆轴的所有薄壁圆筒的扭转角均相等。 23
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
max
d
24
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
几何关系
将圆轴看成由无数个同心薄壁圆筒组成，然后，再想象从 圆轴的dx微段中，取出一半径为 厚度为d 的薄壁圆筒
1
B
2
o o
max
A
1
A B
d 2
d
B d B
d
dx
BB d d dx dx dx
d dx 为相对扭转角沿杆长度 的变化率，也即单位长度 上的相对扭转角。 25
dx
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
物理关系 根据剪切胡克定律
d G G dx
上式表明：横截面上的切应力 随着到圆心的距离 按直线规 律变化，在同一半径为 的圆 周上，各点的切应力均相等。
26
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
d ? dx
静力关系
横截面上切应力的合成结果
就是该横截面上的扭矩。
a dA o dA b
T dA
A
d d G dA G A dx dx
A
2 dA
I p 2 dA —— 极惯性矩(m4) A
27
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
d T dx GI p
d T G dx I p
max
T T R Ip Wp
Ip R
定义
Wp
—— 抗扭截面模量(m3)
28
§ 3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
横截面上切应力的分布：
O
据切应力互等定律可推知纵截面上切应力的分布。
29
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
据切应力互等定律可推知纵截面上切应力的分布：
30
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
圆轴扭转切应力的有限元解
31
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
5. Ip与 Wp 的计算
实心轴
1 3 Wp D D / 2 16
p
32
I
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
空心轴
令
则
1 3 4 wp D [1 ] D / 2 16
p
33
I
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴与空心轴 Ip 与 Wp 对比
1 Wp D3 D / 2 16
Ip
Wp
Ip D/2
1 D 3[1 4 ] 16
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§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
例题3-2
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最 大切应力不得超过40MPa,空心圆轴 的内外直径之比 = 0.5。二轴长 度相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
解： 首先由轴所传递的功率计算作用在轴上的扭矩 P 7.5 M x T 9549 9549 716.2N m n 100
M 16M T T x x 40MPa 实心轴 max1 3 WP1 πd1
16 716.2 d1 0.045m=45mm 6 π 40 10
3
35
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
已知：P＝7.5kW, n=100r/min,最大 切应力不得超过40MPa,空心圆轴的 内外直径之比 = 0.5。二轴长度 相同。 求: 实心轴的直径d1和空心轴的外 直径D2；确定二轴的重量之比。
空心轴
max2
M 16M T T x 40MPa x 3 WP 2 πD2 1 4
16 716.2 D2 3 0.046m=46mm 4 6 π 1- 40 10
d2＝0.5D2=23 mm
36
§3-4、圆轴扭转时截面上的应力计算
实心轴 空心轴
d1=45 mm
D2＝46 mm
d2＝23 mm
确定实心轴与空心轴的重量之比
长度相同的情形下，二轴的重量之比即为 横截面面积之比：
A1 d 1 45 10 2 ＝ 1.28 2 3 2 A2 D2 1 46 10 1 0.5
2 1 3 2
37
§3-4、圆轴扭转时的变形计算
38
§3-4、圆轴扭转时的变形计算
m
1
1 2 m
y
z
x
1
A A
2
o
o
1 2 x dx l
max
d 2
1
dx
d T 单位长度相对扭转角： dx GI p
相距dx的两横截面的相对扭转角为：
d T dx dx dx GI p
四、圆轴扭转时的变形计算
T d dx GI p
39
§3-4、圆轴扭转时的变形计算
相距L的两横截面的相对扭转角为：
d
L L 0
T dx GI p
若在L长度内，T、G、I p为常数， 则上式可写成：
L
0
T T dx GI p GI p
L
0
TL dx GI p
40
§3-4、圆轴扭转时的变形计算
GIp —— 抗扭刚度 对比： 轴向拉压 圆轴扭转
NL l EA
TL GI p
公式形式相似，适用条件相同。
41
几种典型情形扭转角计算公式：
TL GI p
均匀变形
{ { {
m
m
L
T
m m
2m
Ti Li 分段均匀变形 i GI pi
3m T m
L 1 L 2 L3 L 4 3m m m m
42
L
0
Tdx 非均匀变形 GI p ( x)
L
T
P74 例3-5 求在如图所示的外力偶作用下，截面C 相对于截面B的扭转角。
43
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 强度条件：
等直圆轴在扭转时，杆内各点均处于纯 剪切状态，其强度条件是最大工作切应力 不大于材料的许用切应力。
max
max T(x ) W p(x )
44
五、圆轴扭转时的强度条件、刚度条件、圆轴的设计计算
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算
1. 等截面圆轴： 2. 阶梯形圆轴：
45
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 根据上式可进行三种不同情况的强度计算 ① 校核强度 ② 设计截面 ③ 计算许可荷载
T max [ ] Wp
Wp
T max [ ]
T max W p[ ]
46
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 刚度条件： 为了保证轴的刚度，通常限制轴的最大 单位长度扭转角： d T ma
x ( ) max ( ) max dx GI p
——许用单位长度扭转角
对等直杆： Tmax GI p
47
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 在工程中，[]的单位习惯上用 度/m, 记为/m 上式可改写成：
Tmax 180 GI p
48
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 圆轴的设计计算 同样，可进行三种不同形式的刚度计算，即： Tmax 180 [ ] ① 校核刚度 GI p ② 设计截面
Tmax 180 Ip G[ ] GI p [ ] 180
③ 计算许可荷载 Tmax
通常一根轴必须同时满足强度条件和刚度条件。
49
§3-5、圆轴扭转时的强度条件 刚度条件 例题3-4 圆轴的设计计算
50
§3-6、等直圆杆扭转时的应变能
当圆杆扭转变形时，杆内将积蓄应变能。 因切应力值随径向位置而不同，故计算杆内的应变能， 需先计算杆内任一点处的应变能密度。 纯剪切应力状态下，假设 左侧固定，单元体右侧向 下移动 dx。 在线弹性范围内，切应力 与切应变成正比。
y
dy
1 dW dydz dx 2 1 dxdydz 2
dz
x
dx
51
z
§3-6、等直圆杆扭转时的应变能
1 dW dxdydz 2 dW dV 单位体积内的应变能，即应变能密度为 1 dxdydz 1 dV 2 v 2dxdydz dV
等直圆杆扭转时的应变能 V v dV v dAdx
V
2
l T V dAdx I 2 G 2 G P l A
2
六、材料扭转时的力学性质
T IP
l A
1 2
G
A
2 dA
T 2l 2GI P
52
§3-6、等直圆杆扭转时的应变能
当等直圆杆各段截面上的扭矩不同时，整个杆内蓄 积的应变能为
53
§3-7、非等直圆杆自由扭转时的应力和变形
非圆截面轴扭转时，横截面不再保持平面而发生翘曲。 自由扭转： 横截面上只有切应力 而无正应力 约束扭转： 横截面上既有切应力 又有正应力
54
§3-7、非等直圆杆自由扭转时的应力和变形
矩形截面轴扭转时切应力的分布特点
1
1. 边缘各点切应力沿切线方向
（边界处是沿矩形边）
2. 角点切应力等于零 3. 最大切应力 发生在长边中点
T
max
1 max
Wt为扭转截面系数；It 为相当极惯性矩
55
（轴线处的切应力为零，向边上逐 渐增加，在四边的中点处达到极 大值） T max Wt hb 2 Wt T I t hb3 GIt
轴向拉压
内力分量 变形公式
扭 转
内力分量
轴力FN
应力分布规律
扭矩T
F L F L N N EA EA 正应力均匀分布
位 移
T TL GI P GI P
应力分布规律 切应力与距圆心 距离成正比分布
应力分量 截点或截面的线位移
截面的角位移
应
力分量
FN A
强度条件
刚度条件
FN EA
T 1800 GI P
应变能
max
T T IP WP
强度条件
max
FN 2 A max 1 FN L v V 2 EA 2
max 2 WP max T L 1 56 V v
2GI P
T
2