初二练习册

第三章 图形的平移与旋转

§3.1生活中的平移

一、学习重难点

重点：

平移的性质和应用 难点：

探究平移的条件

二、知识点梳理

1.平移的概念：

2平移的性质

三、典型例题

典型题一 平移的识别

【例1】下列运动中属于平移的是（ ） A.冷水加热过程中小气泡上升为大气泡 B.随手抛掷彩球的运动 C.风筝在空中飘动

D.急刹车时汽车在地面上滑行

【例2】下列四组图形中,•有一组中的两个图形经过平移其中一个能得到另一个,这组图形是( )

A B

D

C【练习】1. 下列说法正确的是（ ）

A 由平移得到的两个图形的对应点连线长度不一定相等

B

我们可以把“火车在一段笔直的铁轨上行驶了

保工分校 肇建分校 一段距离”看作“火车沿着铁轨方向的平移” C 小明第一次乘观光电梯，随着电梯向上升，他高兴地对同伴说：“太棒了，我现在比大楼还高呢，我长高了！”

D

在图形平移过程中，图形上可能会有不动点 典型题二 定义及性质的应用

【例3】如图所示

,△DEF经过平移可以得到△

ABC,那么∠C的对应角和

ED的对应边分别是( )

A.∠F, AC B.∠BOD,BA; C.∠F, BA

D.∠BOD,AC 【例4】.关于平移的说法，下列正确的是（ ） A 经过平移对应线段相等； B 经过平移对应角可能会改变

C 经过平移对应点所连的线段不相等； D 经过平移图形会改变、

【练习】在平移过程中,对应线段( )

A.互相平行且相等; B.互相垂直且相等 C.互相平行(或在同一条直线上)且相等 D.既不平行，也不相等

四、小试牛刀

1.将线段AB向右平移3cm得到线段CD,如果AB=5 cm,则CD= cm。

2.如图，△DEF是△ABC向右经过平移得到的， 则△DEF △ABC，若∠A＝70°，则∠D＝ ，又∠B＝40°则∠E＝ ，∠F＝ 。

3.如下图，视力表的一F

行，②③④⑤中的 图形可以通过平移图形①得到。

① ② ③ ④ ⑤ 4.图形中那个三角形可以由三角形AOB平移得到？

于洪分校 铁西广场分校

5.如图：是一块长方形的草地, 长为21米.

宽为15米 在草地上有一条宽为1米的小道,长方形的草地上除小道外长满青草。求长草部分的面积为多少?

接入电表，相邻电路的电线等距排列，则三户所用

（2题图） （3题图） 3．（2012•义乌市）如图，将周长为8的△ABC沿BC方向平移1个单位得到△DEF，则四边形ABFD的3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点A′的坐标是（ ） A．（6，1）B. （0，1）C. （0，﹣3）D.（6，﹣3）

保工分校 肇建分校 六、分层作业

A组

1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，将△ABC沿CB向右平移得到△DEF，若平移距离为2，则四1A

D

B

2.如图所示,大圆O内有一小圆O1,小圆O1从现在的位置沿O1O的方向平移4•个单位后,得到小圆O2,已知小圆半径为1.

(1)求大圆的面积;(2)求小圆在平移过程中扫过的面积.

于洪分校 铁西广场分校

§3.2简单的平移作图

一、学习重难点

重点：

能分析图形中各个基本单位之间的相互关系，理解平移的性质与判别。

难点：能分析图形中各个基本单位之间的相互关系，理解平移的性质与判别。

二、知识点梳理

1.平移的依据：

2.平移的条件

三、典型例题

典型题一 平移的基本作图与应用

【例1】如图,四边形EFGH是由四边形ABCD平移

得到的,已知AD=5,∠B=700

,则

A. FG=5, ∠G=700 B. EH=5, ∠F=700

C. EF=5, ∠F=700

D. EF=5. ∠E=700

B

【例2】将面积为12cm2的正方形ABCD向上平移3cm，得到图形EFGH，则EFGH是_____形，面积等于______cm2

.

【练习】1.将4cm长的线段AB向右平移3cm得到线段CD，则线段CD的长度为________cm，

典型题二 平移图案的欣赏与设计

【例3】如图，经过平移，小船上的点A移到了点B，作出平移后的小船．

保工分校 肇建分校

【例4

】将△ABC平移到△DEF，不能确定△DEF位置的是（ ）

A．已知平移的方向

B．已知点A的对应点D的位置 C．已知边AB的对应边DE的位置 D．已知∠A的对应角∠D的位置 【练习】如图，正方形ABCD的对角线交点O移到了O′的位置，你能做出此正方形平移后的图形吗？

A

B

四、小试牛刀

1．

． 2．平移作图的关键是 ；图形平移的 是有要求的．

3．如图，方格中有一条美丽可爱的小鱼．

（1）若方格边长为1，则一条小鱼的面积为多少？ （2）画出小鱼向左平移3格后的图形．

于洪分校 铁西广场分校

4．如图，在长方形ABCD中，AB＝10cm，BC＝6cm，试问将长方形ABCD沿着AB方向平移多少才能使平移后的长方形与原来的长方形ABCD重叠部分的面积为24cm2？

D

D'

C

C'

A

A' B B'

5．小文和丽丽在一起做拼图游戏，他们用“○、△”构成了如下的一些图案：

观察以上图案

（1）这些图案有什么特点？

（2）它们可以通过一个“基本图案”经过怎样的平移而形成？

（3）在平移的过程中，“基本图案”的大小、形状、位置是否发生了变化？试解释其中的道理．请你也利用此“基本图案”构造一些图案，并与同学交流．

五、感受中考

1.(2012·广安) 如图，已知等腰Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝AC＝4，现将△ABC沿CB方向平移到△A′B′C′的位置，若平移距离为3，求△ABC与△A′B′C′的重叠部分的面积．

A

保工分校 肇建分校 2.(2011·恩施) 如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△A1E1F1的位置，使E1F1与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为( )

A. 7 B. 14 C．21 D. 28

六、分层作业

A组

1.如图，若线段CD是由线段AB平移而得到的，则线段CD、AB关系是__________。

2.将长度为3cm的线段向上平移20cm，所得线段的长度是（ ）

A．3cm B．23cm C．20cm D．17cm 3.关于平移的说法，下列正确的是（ ） A．经过平移对应线段相等； B．经过平移对应角可能会改变

C．经过平移对应点所连的线段不相等； D．经过平移图形会改变

B组

如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AC与BD互相垂直，画出线段AC平移后的线段，其平移的方向为射线AD的方向，平移的距离为线段AD的长，平移后所得到的线段与BC的延长线相交于E，请你判断以下结论是否正确，并简要说明理由． ①AC＝DE；②BE＝AD＋BC；③∠BDE＝90º；④BE＝2CE

A

B

于洪分校 铁西广场分校

B.它可以看作是相邻两只小狗绕图案的中心位置

§3.3生活中的旋转

一、学习重难点

重点：对生活中的旋转现象作数学上的分析研究，旋转的定义，旋转的基本性质。 难点：对旋转现象的分析研究，对旋转性质的探索。

旋转180°形成的

C.它可以看作是相邻两只小狗绕图案的恰当的对称轴翻折而成的

D.

它可以看作是左侧、上面的小狗分别向右侧、下方平移得到的

二、知识点梳理

1. 旋转的定义：

2. 旋转的性质

三、典型例题

典型题一 定义及性质应用

典型题二 生活中的基本图案问题

【例1】下列图案中，可以由一个”基本图案”连

【例3】如图（1），以左边图案的中心为旋转中心，

续旋转45得到的是（

将图案按

方向旋转 即可得到左边图案。图（2）绕着中心最小旋转 度能与自身重合。

（2）

【例4】下列图形中，不能由图形M经过一次平移

或旋转得到的是 ．

（C） （D） 【例2】同学们曾玩过万花筒，它是由三块等宽等

M

长的玻璃片围成的.如图是看到的万花筒的一个

A B C D

图案，图中所有小三角形均是全等的等边三角形，

其中的菱形AEFG可以看成是把菱形ABCD以A为

中心（ ）. 【练习】1.如图可以看做是一个菱形通过几次旋转

得到的？每次旋转多少度？ （A）顺时针旋转60°得到

（B

）

顺时针旋转

120°得到

（C）逆时针旋转60

°得到

（D）逆时针旋转120°得到

【练习】

1. 对图案的形成过程叙述正确的是（ ）.

A．它可以看作是一只小狗绕图案的中心位置旋转

90°、180°、270°形成的

保工分校 肇建分校 于洪分校 铁西广场分校

2．如图，香港特别行政区区徽是由五个同样的花瓣组成的，他可以看做是什么“基本图案”通过怎样的旋转而得到的？

四、小试牛刀

1、下列图形中，绕某个点旋转180能与自身重合的有（ ）

①正方形 ②长方形 ③等边三角形 ④线段 ⑤角 ⑥平行四边形

A. 5个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

2、△ABC和△DCE是等边三角形，则在此图中，△ACE

绕着 点 旋转 度可得到△ 。

3.平面图形的旋转一般情况下改变图形的（ ） A.位置

B.大小 C.形状

D.性质

4.9点钟时，钟表的时针和分针之间的夹角是（ ）

A.30° B.45°

C.60°

D.90°

5.将平行四边形ABCD旋转到平行四边形A′B′C′D′的位置，下列结论错误的是（ ）

A.AB=A′B′

B.AB∥A′B′ C.∠A=∠A′

D.△ABC≌△A′B′C′

6.如图，将左边的矩形绕点B旋转一定角度后，位

保工分校 肇建分校

置如右边的矩形，求∠ABC是多少度．

7.如图，把边长为1的正方形ABCD绕顶点A逆时针旋转30°到正方形AB′C′D′，则它们的公共部分的面积等于多少．

8.如图，P是正△ABC内的一点，若将△PAB绕点A逆时针旋转到

△P′AC，则∠PAP′的度数为多少．

C

P′

P

AB

图 7

9.如图4，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝2，BC＝3，∠BCD＝45°，将腰CD以点D为中心逆时针旋转90°至ED，连结AE，CE，则△ADE的面积是多少．

五、感受中考

1、（2007潍坊）如图，两个全等的长方形ABCD与CDEF，旋转长方形ABCD能和长方形CDEF重合，则可以作为旋转中心的点有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．无数个

2.（2009•潍坊）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABC的三个顶点都在格点上（每个小方格的顶点叫格点）．画出△ABC绕点O逆时针旋转90°后的△A′B′C′．

于洪分校 铁西广场分校

3.（2012•无锡） 如图，△ABC中，∠C=30°．将△ABC绕点A顺时针旋转60°得到△ADE，AE与BC交于F，则∠AFB= _________ °

六、分层作业

A组

1.如图是跷跷板示意图，模板AB通过点O，且可以绕点O上下转动，如果∠OCA＝90○

，∠CAO= 25○

， （1）画出在空中划过的线； （2）上下最多可以转动多少角度？

2.如图，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90

°，AC＝BC. 把△ABC绕点A按顺时针方向旋转45°后得到△AB′C′，若AB＝2, 则线段BC在上述旋转过程中所扫过部分(阴影部分)的面积是________． (结果保留π)

保工分校 肇建分校

1.如图⑴，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块统正方形的中心O作0○

～90o

的旋转，那么旋转时露出的△ABC的面积（S）随着旋转角度（n）

的变化而变化，下面表示S与n的关系的图象大致是图⑵中的（ ）

2． 如图，王虎使一长为4cm，宽为3cm的长方形木板，在桌面上做无滑动的翻滚（顺时针方向）木板上点A位置变化为AA1A2，其中第二次翻滚被桌面上一小木块挡住，使木板与桌面成30°角，则点A翻滚到A2位置时共走过的路径长为（ ）

A．10cm B．

4cmC．72cm D52

cm

于洪分校 铁西广场分校

§3.4简单的旋转作图

一、学习重难点

重点：经历具有旋转特征的图形进行观察、分析、动手操作和画图的过程，掌握画图技能。

难点：能够按要求作出简单平面图形旋转后的图形。

二、知识点梳理

1. 旋转作图的依据：

三、典型例题

典型题一 方格纸中作旋转图形

【例1】如图，在方格纸上作出“小旗子”绕

O点按顺时针方向旋转90°后的图案，并简述理由。

BAO

典型题二 简单的旋转组图

【例2】如图，△ABC绕O点旋转后，顶点A

的对应点为点D，试确定顶点B、C对应点的位置，以及旋转后的三角形.

保工分校 肇建分校 【练习】

画出四边形绕点O逆时针旋转90°后的图形

方平移得到的

四、小试牛刀

1、在下图中，将大写字母N绕它右下侧的顶点按顺时针方向旋转90°，作出旋转后的图案．

2.如图所示，把一个直角三角尺ACB绕着30角

的顶点B顺时针旋转，使得点A与CB的延长线上的点E重合。

（1）三角尺旋转了多少度？

（2）连结CD，试判断△CBD的形状： （3）求∠BDC的度数。

3、将下图绕O点按顺时针方向旋转90°，做出旋转后的简图。

于洪分校 铁西广场分校

4、如图，D是等边三角形ABC的边BC上的一点，将△ABD绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C。

（1）在图中作出旋转后的图形。

（2）小明是这样做的：过C作BA的平行线l，在l上取CE=BD，连接AE，则△ACE即为旋转后的图形。你能说说小明这样做的道理吗？

5、如图，P是等边三角形ABC内的一点，PA=3，PB=4，PC=5，求∠APB的度数。

五、感受中考

1、（2005年，黑龙江）如图，网格中有一个四边形和两个三角形。

（1）请你画出三个图形绕点O旋转180°的图形。 （2）将（1）中画出的图形与原图形看成一个整体图形，请写出这个整体图形的对称轴的条数，并求出这个整体图形至少旋转多少度才能与自身重合。

保工分校 肇建分校 2、如图，正方形ABCD中，P、Q分别是BC、DC上的点，若∠1=∠2，求证：PA=PB+DQ。

六、分层作业

A组

1.时钟上的分针匀速旋转一周需要60分，则经过10分，分针旋转了______度。

2、如图，可以看作是一个等腰直角三角形经过旋若干次而生成的，则旋转的过程中，旋转的度数不可以是( )

A、90º B、60º C、45º

D、180º

3

、如图，一个矩形是由另一个矩形旋转90º而得到的图形是（

）

A B C D

4、将左图绕O点逆时针旋转

90，将右图向右平移

于洪分校 铁西广场分校

5、将△ABC平移后，A点移到A1点，请作出平移后的图形，并将此图形绕点C1逆时针旋转60，再作出所得图形。

A A1

· B

B组

1.在下图中，可以通过平行移动、翻折、旋转中的

哪一种方法怎样变化，使△ABE变到△ADF的位置；②指图中线段BE与DF之间的关系，为什么？

2.如图，四边形

ABCD的∠BAD=∠C=90

º,AB=AD,AE⊥BC于E,BEA旋转后能与DFA重合。

（1） 旋转中心是哪一点? （2）

旋转了多少度?

（3） 若AE=5㎝,求四边形AECF的面积。

F

D

B

E

C

保工分校 肇建分校 3.如图E、F是正方形ABCD的边AB、AD上的点。∠ECF=45°

（1）画出△BCE绕C点顺时针旋转90°后的图形； （2）若AB=6，EF=5，试求△ECF面积，并简述你的理由。

C

4.已知，P为等边三角形内一点，且BP=3，PC=4，将BP绕点B顺时针旋转60°至BP’的位置。

（1）试判断△BPP’的形状，并说明理由； （2）若BPC150

，求PA。 C

P'

于洪分校 铁西广场分校

第三章 图形的平移与旋转

§3.5它们是怎样变过来的

一、学习重难点

重点：

图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合）。 难点：

综合利用各种变换关系观察图形的形成。

二、知识点梳理

1.图形变换的三种基本形式

三、典型例题

典型题一 运用三种基本变换分析图案及应用 【例1】 如图所示，图形（1）经过_______变换变成图形（2），图形（2）经过_________变换变成图形（3）， 图形（3）经过__________变换变成图形（4）， 图形（4）分别经过_________变换，可以再变回原图形（1）。

【例2】如下图的四个平面图形中可以看作部分“基本图形”绕某定点旋转180o

后，旋转前后得到的，同时又是轴对称图形的是（注：把你认为正确的图形的序号都填上） 【练习】1. 将三角形绕直线L旋转一周，可

以得到图1所示的立体图形是（ ）

保工分校 肇建分校

2. 它可以看作是由“基本图案”_________经过_________变换而得到的；还可以看成这个“基本图案”，经过_________变换而得到的，还可以看成这个“基本图案”，经过_________变换而得到的。

四、小试牛刀

1．在图中，把△ABC向右平移5个方格，再绕点B的对应点顺时针方向旋转90°．

（1）画出平移和旋转后的图形，并标明对应字母； （2）能否把两次变换合成一种变换，如果能，说出变换过程（可适当在图形中标记）；如果不能，说明理由．

2．下列图形均可以由“基本图案”通过变换得到．

(1) 可以通过平移变换但不能通过旋转变换得到的图案是_________；

(2) 可以通过旋转变换但不能通过平移变换得到的图案是____ ；

(3) 既可以由平移变换， 也可以由旋转变换得到的图案是_____ ．

① ② ③ ④ ⑤

于洪分校 铁西广场分校

3．如图，面积为12cm2的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，则图中的四边形ACED的面积为______________cm2．

4．在俄罗斯方块游戏中，已拼好的图案如右图所示，现又出现一小方格体正向下运动，为了使所有图案消失，你必须进行以下哪项操作，才能拼成一个完整图案，使其自动消失（ ） （A）顺时针旋转90°，向右平移 （B）逆时针旋转90°，向右平移 （C）顺时针旋转90°，向下平移 （D）逆时针旋转90°，向下平移

5．如图，已知P是正方形ABCD内一点，以B为旋转中心，把△PBC沿逆时针方向旋转90°得到△P′BA，连结PP′，求∠P′PB的度数.

A

P

P'

B

保工分校 肇建分校 6.如图，P是等边三角形ABC内一点，△EBP和△

DPC都是等边三角形，画出△PBC以点B为旋转中心逆时针方向旋转60º后的三角形，再画出△PBC以点C为旋转中心顺时针方向旋转60º后的三角形，并写出与线段PB相等的线段．

A

E

D

B

7.如图①，在正方形ABCD中，E是AD的中点，F是BA延长线上的一点，AF=

1

2

AB， （1）．求证：△ABE≌△ADF. （2）．阅读下列材料：如图②，把△ABC沿直线平移线段BC的长度，可以变到△ECD的位置；如图③，以BC为轴把△ABC翻折180°，可以变到△DBC的位置；如图④，以点A为中心，把△ABC旋转180°，可以变到△AED的位置，像这样其中一个三角形是由另一个三角形按平行移动、翻折、旋转等方法变成的，这种只改变位置，不改变形状大小的图形变换，叫做三角形的全等变换

.

图① 图② 图③ 图④ 请回答下列问题：

（1）在图①中，可以通过平移、翻折、旋转中的哪一种方法，使△ABE变到△ADF的位置？ （2）指出图①中线段BE与DF之间的关系

于洪分校 铁西广场分校

五、感受中考

如图，把方格中的图形平移，使点A平移到B处，然合把平移后的图形绕点B逆时针方向旋转90°，请在下图网格中作出最终的图形．

六、分层作业

A组

1．轴对称的两个图形沿某一条直线能够重合．

2．做旋转运动需要确定三个条件，一是；二是 ；三是 ． 3．图形的平移必须满足两个条件：（1（2） ．

4．在轴对称、平移、旋转这些图形变换下，线段的 不变，角的 不变．

5．如图所示，下面四个图形中，O顺时针旋转90°后向左平移一个单位得到的．

(1) A B C D

B组

一个有趣的拼图问题

有这样一个拼图问题：有五个相等的正方形，怎样能把它们剪拼成两个相等的大正方形?

我们一边分析题目的意思，一边考虑剪拼的办法． 设每个小正方形的边长为a，则每个小正方形的面积为a2，五个小正方形的面积之和为5a2．因而拼成的每个大正方形的面积应为

52

a2，每个大正方形． 保工分校 肇建分校 由已知的边长a．事实上，如图1，如果把三个小正方形并列在一起形成一个矩形ABCD，则由勾股定理可知，此矩形的对角线AC．设O为AC的中点，则

AOOC

，正好等于要拼成的两个大正方形的边长．因而，如果过O点作直线EF⊥AC，则EF与AC对由三个小正方形组成的矩形ABCD的分割有益于把五个小正方形剪成两个大正方形．

这时，由对称性，我们想到，如果把另外两个小正方形在矩形ABCD上下各放一个，使五个小正方形如图2所示组成一个十字形，则EF恰应为由上、中、下三个小正方形组成的矩形的对角线． 因而，把五个小正方形如图2摆成一个十字形，对角线AC与EF把整个十字形分成部分，其中任意两部分可以拼成一个大正方形．

这是一个把几何和代数结合起来的有趣的游戏．

E

E

A

A

O

O

B

B

C F

F

图1

图2

于洪分校 铁西广场分校

四、小试牛刀

第三章 图形的平移与旋转

§3.6简单的图案设计

一、学习重难点

重点：

认识和欣赏平移、旋转在现实生活中的应用，进一步发展空间观念，增强审判意识。 难点：

运用平移、旋转和轴对称的组合进行图案设计。

二、知识点梳理

三、典型例题

典型题一 按要求设计图案及应用

【例1】把下面几个图形中左上角的图案绕着中心O旋转90°，180°，270°，画出你所得图案．

【例2】某地板厂要制作一批正六边形形状的地板砖，为适应市场多样化的需求，要求在地板砖上设计的图案能够把正六边形6等分，如图所示，请你再帮他们设计一些美观的等分方案（至少设计两种）．

(1)(2)

【练习】如图，由小正方形组成的L形图中，请你用三种方法分别平移编号为1～4的小正方形中的一个，使它成为轴对称图形，并分别在三个图中画出你的结果（标明移动方式）．

1112223

4

3

4

3

4

保工分校 肇建分校 1.国旗上的四个小五角星，通过怎样的移动可以相互得到（ ） A.轴对称 B.平移 C.旋转 D.平移和旋转 2.起重机将重物垂直提起，这可以看作为数学上的（ ） A.轴对称 B.平移 C.旋转 D.变形

3.广告设计人员进行图案设计，经常将一个基本图案进行轴对称、平移和_______等. 4.将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是_______.

5.以等腰直角△ABC的斜边AB所在的直线为对称轴,作这个△ABC的对称图形 △ABC，则所得到的四边形ACBC′一定是_______.

6.国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案______经过______运动得到.

7.利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的.

8.如图，是一个可以自由转动的圆盘，圆盘被分成6个全等的扇形.它可以看作是由什么“基本图案”通过怎样的旋转得到的？

9.以一直角三角形为“基本图形”，利用旋转而得到一个风车风轮图案.你能设计出几种风车风轮图案呢？请将你的图案画出来，完成后与同学进行交流.

于洪分校 铁西广场分校

（2008长沙）如图1是某设计师在方格纸中设计图案的一部分，请你帮他完成余下的工作：

（1）作出关于直线AB的轴对称图形；

（2）将你画出的部分连同原图形绕点O逆时针旋转90

；

（3）发挥你的想象，给得到的图案适当涂上阴影，让图案变得更加美丽．

六、分层作业

A组

1. 利用电脑，在同一页面上对某图形进行复制，得到一组图案，这一组图案可以看作是一个基本图形通过_______得到的.

2.将点A绕另一个点O旋转一周，点A在旋转过程中所经过的路线是_______.

3.以等腰直角△

ABC

的斜边AB所在的直线为对称

轴,作这个△ABC的对称图形 △ABC，则所得到的四边形ACBC′一定是_______.

4.国际奥委会会旗上的五环图案可以看作一个基本图案______经过______运动得到.

5.利用圆、三角形、正六边形，通过平移或旋转来设计一个图案，说明你设计的意图.观察如下图所示的图案，它可以看做_________(“基本图案”)通过_________(旋转形式)得到的

保工分校 肇建分校 雪花曲线和反雪花曲线

欣赏如图1的雪花图案，在数学中有一种生成雪花曲线方法：从一个等边三角形开始，把三角形的每条边等分成三段并在中间的一段向外作小的等边三角形，但删去新三角形位于旧三角形边上的底．继续这个程序，对每个等边三角形的边再等分成三段，并在中段向外作更小的等边三角形，如此等等．雪花曲线就是在不断重复这样的过程中产生的．你不妨试着画一画，如能利用电脑等工具辅助会更好．

如果我们画的小等边三角形不是向外而是向内，如图2，这样所生成的曲线称为反雪花曲线．

图1

图2

于洪分校 铁西广场分校

第四章 四边形的性质探索

§4.1平行四边形的性质

一、学习重难点

重点：

平行四边形的定义，平行四边形对角、对边相等的性质，以及性质的应用． 难点：

探索和掌握平行四边形的性质。

二、知识点梳理

1.平行四边形的有关概念：

2平行四边形的性质

3.平行线之间的距离

三、典型例题

典型题一 平行四边形的性质应用

【例1】 一个平行四边形的一个外角是380

，这个平行四边形的每个内角的度数分别是多少？ 【例2】如图，在 □ABCD中，若BE平分∠

ABC，则ED＝ ．

D 5

cm

B 9cm

C

【练习】如图若已知平行四边形ABCD的周长为３０cm，BC－AＢ=3,求平行四边形的各边长。

A

D

B

C

保工分校 肇建分校 典型题二 平行线之间的距离 【例3】如图，直线AB与CD不平行，点M在AB上，MN⊥CD于N．则下列4个判断中，正确的判断有_______.

(1)线段NM的长度是直线AB，CD之间的距离； (2)线段NM的长度是点M到直线CD的距离； (3)线段MN的长度是点N到直线AB的距离； (4)线段MN是点M与点N之间的距离．

【例4】如图，AD∥BC，AD=BC，E是 AD上任意一点，已知S△EBC =5．求：四边形ABCD的面积．

【练习】如图，已知直线l1∥l2，点A，B在直线l1上，点C，D在直线l2上，则△ACD与△BCD的面积相等吗?请说明理由．

四、小试牛刀

1.在□ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D的值可以是（ ） A.1∶2∶3∶4 B.1∶2∶2∶1 C.1∶1∶2∶2 D.2∶1∶2∶1 2.口 ABCD中， ∠A=50°，则∠B=___∠，若AD+BC=30cm，口 ABCD的周长是96cm,则 3.口 ABCD,若∠A:∠B=5:4，则∠C= ___,∠。 4.口 ABCD中， AB－CB=4cm，周长为32cm，则。

5.口 ABCD的周长为40cm，⊿ABC的周长为25cm，则对角 线AC长为（ ） A、5cm B、15cm C、6cm D、 16cm 6.如图，已知AB∥CD，AD∥BC，AC=15cm，AD=12cm，BE⊥AC于点E．BE=10cm．求：AD，BC之间的距离．

于洪分校 铁西广场分校

7．如图，已知平行四边形ABCD的周长为25cm，对边的距离分别为DE=2cm，DF=3cm．求：这个平行四边形的面积

六、分层作业

A组

1． 把直线l沿某一方向平移3cm，得平移后的像为b，则直线a与b之间的距离为 ( ) A．等于3cm B．小于3cm C．大于3cm D．等于或小于3cm

2．如图，线段AB=2cm，把线段AB向右平移3cm，

得到线段DC，连结B，C和A，D．则四边形ABCD 的面积为 8、不能判别四边形ABCD是平行四边形的条件是（ ） （ ） A．4cm2 B．9cm2 C．6cm2 D．无法确定 A.AB=CD,AD=BC B.AB平行且等于CD C.AB=CD,AD∥BC D.AB∥CD,AD∥BC 9、已知一个四边形各边长分别为a,b,c,d,其中a,c为对边，且a2+b2+c2+d2=2ac+2bd则此四边形为 。 10、已知四边形ABCD中，AC与BD交于点O，AB∥CD,再添加一个条件使四边形ABCD为平行四边形。给出以下4种说法其中正确的是（ ） ①BC=AD ②∠BAD=∠BCD ③AO=CO ④∠DBA=∠CAB A.①和② B.③和④ C.②和③ D.②、③和④

五、感受中考

1．【2009·泉州】如图，方格纸中每个小正方形的

边长为1，则两平行直线AB，CD之间的距离是 _____．

第1题 第2题

2．【2010·贵阳】如图，方格纸中每个小方格都是

边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边

形称为“格点多边形”．图中四边形ABCD就是一

个格点四边形，则四边形ABCD的面积为

_____________．

保工分校 肇建分校

B组

在平行四边形ABCD中，

ABC的平分线交CD于点E，ADC的平分线交AB于点F，试判断AF与CE是否相等，并说明理由。

DEC AFB

于洪分校 铁西广场分校

第四章 四边形的性质探索

§4.2平行四边形的判定

一、学习重难点

重点：

掌握平行四边形的性质 难点：

能综合运用平行四边形的性质解决平行四边形的有关计算问题，和简单的证明题

二、知识点梳理

1.平行四边形的判定方法

三、典型例题

典型题一 平行四边形判定

【例1】如图所示，∠1=∠2，∠3=∠4，问四边形ABCD是不是平行四边形．

【例2】如图，在ABCD的各边AB、BC、CD、DA上，分别取点K、L、M、N，使AK=CM、BL=DN，则四边形KLMN为平行四边形吗？说明理由.

【练习】如图，□ABCD中，E、F分别在BA、DC的延长线上，且AE=12AB，CF=1

2

CD，试证明AECF为平行四边形.

保工分校 肇建分校

典型题二 平行线之间的距离

【例3】如图，在平行四边形ABCD中,∠ABC的平分线交CD于点E,∠ADC的平分线交AB于点F.试证明四边形DFBE为平行四边形.

【例4】如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于O，若OE=OF，求证：四边形BFDE是平行四边形

C

四、小试牛刀

1.能够判别一个四边形是平行四边形的条件是（ ）

A.一组对角相等 B.两条对角线互相垂直且相等

C.两组对边分别相等 D.一组对边平行

2.下列条件中不能确定四边形ABCD是平行四边形的是（ ）

A.AB=CD，AD∥BC B.AB=CD，AB∥CD C.AB∥CD，AD∥BC D.AB=CD，AD=BC 3.一个四边形的三个内角的度数依次如下选项，其中是平行四边形的是（ ） A.88°，108°，88° B.88°，104°，108° C.88°，92°，92° D.88°，92°，88° 4.四边形ABCD中，AD∥BC，要判别四边形ABCD是平行四边形，还需满足条件（ ） A.∠A+∠C=180° B.∠B+∠D=180° C.∠A+∠B=180° D.∠A+∠D=180° 5.以不在一条直线上的三点A、B、C为顶点的平行四边形共有（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

6.四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，要判别它是平行四边形，从四边形的角的关系看应满足______；从对角线看应满足_______.

7.将两个全等的不等边三角形拼成平行四边形，可拼成的不同的平行四边形的个数为______. 8.四边形ABCD中，AD=BC，BD为对角线，∠ADB=∠CBD，则AB与CD的关系是

_______.

于洪分校 铁西广场分校

9.□ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，E、F分别是OB、OD的中点，四边形AECF是_______. 10.如图，DE∥BC，AE=EC，延长DE到F，使EF=DE，连结AF、

FC、CD，则图中四边形ADCF是______.

五、感受中考

（2010江苏宿迁）如图，在□ABCD中，点E、F是对角线AC上两点，且AE=CF．

求证：∠EBF=∠FDE．

7.判断下列说法的正误，如果错误请画出反例图 ⑴一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形

⑵有两组边相等的四边形是平行四边形 ⑶对角线相等的四边形是平行四边形 ⑷有两组邻角互补的四边形是平行四边形 ⑸有一组对角相等的四边形是平行四边形 ⑹有两组角相等的四边形是平行四边形

⑺一条对角线平分另一条对角线的四边形是平行四边形

⑻一组对边相等,一组对角相等的四边形是平行四边形

B组

1.如图，△ABC中，∠ABC＝90°，BD⊥AC于D，AE平分∠BAC，EF∥DC，交BC于F．求证：BE＝FC．

六、分层作业

A组

1.平行四边形的两邻边分别为3、4，那么其对角线必（ ） A、大于1 B、大于1且小于7 C、小于7 D、小于7或大于1 2.下列说法中，不是一般平行四边形的特征的是2.如图，□ABCD的对角线AC、BD交于O，EF过．．（ ） 点O交AD于E，交BC于F，G是OA的中点，HA、对边平行且相等 B、对角线互相平分 是OC的中点，四边形EGFH是平行四边形，说明C、是轴对称图形 D、对角相等 理由. 3.

中，两条对角线AC、BD相交于点O，与△ABO面积相等的三角形有（ ）个. A、1 B、2 C、3 D、4 4.在□ABCD中，对角线AC与BD相交于O，若AC=8，BD=6，则边AB的长的取值范围是（ ）． A．1

A

D

7cm，∠DBC =30，BC = 5cm，则□ABCD的面积为

E C ___________．

保工分校 肇建分校 于洪分校 铁西广场分校

第四章 四边形的性质探索

§4.3菱形

一、学习重难点

重点：

掌握菱形的定义及性质，学会解决实际生活中的有关菱形的问题 难点：

掌握菱形的定义及性质，学会解决实际生活中的有关菱形的问题

二、知识点梳理

1.概念：

2性质

3.判别方法

4.面积

三、典型例题

典型题一 菱形的性质

【例1】在菱形ABCD中，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，求∠EAF的度数

【例2】如图,菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，且AC＝8，BD＝6，过点O作OH⊥AB，垂

足为H，则点O到边AB的距离OH＝ ． 【练习】1．菱形具有而平行四边形形不具有的性

保工分校 肇建分校 质是 ( )

A．对角相等 B．四边相等 C．对角线互相平分 D．邻角互补 2．已知菱形ABCD的边长为6，∠A＝60°，如果点P是菱形内一点，且PB＝PD＝2，那么AP的长为 ．

3.菱形的一个内角为120°,平分这个内角的对角线长为11厘米，菱形的周长为______.

典型题二 菱形的面积 【例3】⑴菱形的周长为16，两邻角度数的比为1∶2，此菱形的面积为（ ） A.4

B.83 C.10

D.123

⑵已知菱形两条对角线的长分别为5cm和8cm，则这个菱形的面积是 cm2．

【例4】如图，四边形ABCD是菱形，对角线AC＝8 cm , BD＝6 cm, DH⊥AB于H，求：DH的长

【练习】1.已知菱形ABCD中，AE⊥BC于

E，若S菱

形ABCD=24，且AE=6，则菱形的边长为（ ） A.12 B.8 C.4 D.2

2.菱形的对角线的一半的长分别为8 cm和11 cm，则菱形的面积是_______.

典型例题三 菱形的判定：

【例5】如图，ABC中，ACB90，AD是BAC

的平分线，交BC于D，CH是AB边上的高，交AD

于F，DEAB于E，求证：四边形CDEF是菱形．

C

D

A

H

E

B

于洪分校 铁西广场分校

【例6】如图，在菱形ABCD中，AB4，E在BC上，BE2，BAD

12，0点P在BD上，则PEPC的最小值为

D

B

【练习】□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边

AD、BC分别交于E、F，四边形AFCE是否是菱形？

为什么？

四、小试牛刀

1．我们把__________叫做菱形．

2．菱形是特殊的_________，所以它不但具有一般_________的性质，而且还具有特殊的性质：（1）__________；（2）__________．

3．菱形既是_________图形，又是_________图形，它的______都是它的对称轴．

4．若菱形的周长为16cm，则此菱形的边长是______cm．

5．在菱形ABCD中，若∠ABD=72°，则∠ADC=_______，∠BAD=_______．

6．在菱形ABCD中，若对角线AC=6，BD=8，则CD=_______，此菱形的面积是______．

7．菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）

A．对角相等 B．对角线互相平分 C．对边平行且相等 D．对角线互相垂直

A．120° B．60° C．30° D．150°

五、感受中考

1.（2011•安顺）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE．

（1）说明四边形ACEF是平行四边形；

（2）当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．

保工分校 肇建分校

2.（2012河南，18，9分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，DAB60

,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点（不与点A重合），延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.

（1）求证：四边形AMDN是平行四边形； （2）填空：

①当AM的值为 时，四边形AMDN是矩

形；

②当AM的值为 时，四边形AMDN是菱形.

六、分层作业

A组

1如图1所示，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若∠ABC=60°，则AC：BD•等于（ ） A

1 B．1：2 C

3 D．1：

2

(1) 2．若菱形ABCD的周长为8，对角线AC=2，则∠ABC的度数是（ ）

B组

如图所示，四边形ABCD是平行四边形，点E，F在直线AB上，且AE=AB=•BF，•连结CE，DF分别交AD，BC于点M，N．

（1）求证：四边形DMNC是平行四边形；

（2）若要使四边形DMNC为菱形，则还需增加什么条件？请写出此条件，并证明之．

于洪分校 铁西广场分校

第四章 四边形的性质探索

§4.4矩形、正方形

一、学习重难点

重点：

理解矩形和正方形的定义与性质。 难点：

应用矩形和正方形定义与性质进行有关证明和计算。

二、知识点梳理

1.矩形概念：

2矩形的性质

3.矩形的判别方法

4.正方形

三、典型例题

典型题一 矩形的性质

【例1】如图所示，已知矩形的一条对角线长为8cm，两条对角线的一个夹角为60

，求矩形的边长．． Ａ Ｄ

60

Ｂ

保工分校 肇建分校 【例2】如图所示，在矩形ABCD中，AB3，AD4，P是AD上的动点，

PE⊥AC于E，PF⊥BD于F，则P

E+PF的

值为多少？

ＡＰ

Ｂ

【练习】如图，矩形纸片ABCD中，

AB3cm，BC4c，现将mA、C重合使纸片折叠压平，设折痕为E、F，则重叠部分△AEF的面积为多少？

Ａ

D B C

E

典型题二 正方形的性质

【例3】如图，E是正方形ABCD的边BC延长线上一点，且CE=AC,（1）求∠ACE、∠CAE的度数；（2）若AB=4cm，你能求出△ACE的面积吗？ A

B

于洪分校 铁西广场分校

【例4】如图所示，在正方形ABCD中，E为CD上一点，延长BC至F，使CFCE，连结DF，BE与DF相交于G，则下面结论错误的是（ ）

Ａ．BEDF Ｂ．BG⊥DF Ｃ．DFCCEB90



Ｄ．FDCABG90

Ｅ

Ｄ

Ｇ Ｆ

【练习】2、 正方形ABCD中，

CEMN，MCE35，则ANM（ ）

Ａ．45

Ｂ．55

Ｃ．65

Ｄ．75

ＡＮ

Ｅ

Ｂ

Ｍ

四、小试牛刀

1、判断下列叙述是否正确. (1)正方形是平行四边形.（ ） (2)正方形是菱形.（ ）

(3)正方形是矩形. （ ） (4)菱形是正方形.（ ）

(5)矩形是正方形. （ ）

(6)既是菱形，又是矩形的四边形是正方形. （ ） (7)两条对角线互相垂直的矩形是正方形. （ ）

保工分校 肇建分校

4.如图，点O是矩形ABCD的中心，E是AB上的点，沿CE折叠后，点B恰好与点O重合，若BC=3，则折痕CE的长为 A.23 B.

33

2

C. 3 D.6

5.矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm,对角线是13cm，那么矩形的周长是____________ 6.矩形ABCD的周长是56 cm，它的两条对角线相交于O，△AOB的周长比△BOC的周长少4 cm，则AB=_______，BC=_______.

7.如图,矩形内有两个相邻的正方形,面积分别为4和9,

8．如图，在正方形ABCD的边BC的延长线上取一点E，使CEAC,AE与CD交于F，求AFC的度数．

9.如图，正方形ABCD中，G是CD上一点，以CG为边做正方形GFEC， AD求证：BG=DE F

BCE

于洪分校 铁西广场分校

10.如图，正方形ABCD中，E是AB上一点，BG⊥CE

于G交AD于F，求证：CE=BF。 A

FD

E

BC五、感受中考

1.（2011浙江衢州，）衢州市新农村建设推动了农村住宅旧貌变新颜，如图为一农村民居侧面截图，屋坡AF、AG分别架在墙体的点B、点C处，且

ABAC,侧面四边形BDEC为矩形，若测得FAG100，则FBD( )

A. 35° B. 40° C. 55° D. 70°

2.（2011江苏泰州，18，3分）如图，平面内4条直线L1、L2、L3、L4是一组平行线，相邻2条平行线间的距离都是1个单位长度，正方形ABCD的4个顶点A、B、C、D都在这些平行线上，其中点Ａ、

Ｃ分别在直线L1和L4上，该正方形的面积是 平方单位．

11

12

13

14

六、分层作业

A组

1.下列判断中正确的是（ ）．

A.四边相等的四边形是正方形； B.四角相等的四边形是正方形；

C.对角线垂直的平行四边形是正方形；

D.对线互相垂直平分且相等的四边形是正方形。

2.在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这

保工分校 肇建分校 个四边形是正方形的是（ ）．

A.AC=BD，AB∥CD，AB=CD B.AD∥BC，∠A=∠C

C.AO=BO=CO=DO，AC⊥BD D.AO=CO，BO=DO，AB=BC

3.正方形两条对角线的和为8cm，它的面积为____________.

B组

1.如图正方形ABCD的对角线相交于点O，O又是另一个正方形OEFG的一个顶点，若正方形OEFG绕点O旋转，在旋转的过程中.两个正方形重叠部分的面积是否会发生变化？并说明理由。

2.如图，M为正方形ABCD边AB的中点，E是AB延长线上一点，MN⊥DM，且交∠CBE的平分线于点N。（1）求证：MD=MN （2）若将上述条件中的“M是AB的中点”改为“M为AB上任意一点”，其它条件不变，问结论MD=MN是否仍然成立。 D

C

N

A

M B E

C

N

A

M B

E

于洪分校 铁西广场分校

第四章 四边形的性质探索

§4.5梯形

一、学习重难点

重点：

等腰梯形的性质及其应用 难点：

等腰梯形的性质，梯形辅助线的添加

二、知识点梳理

1.梯形概念：

2两种特殊的梯形

3.等腰梯形性质

4.等腰梯形判别方法

三、典型例题

典型题一 梯形的定义

【例1】如图，梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=70°，∠C=40°，AD=6cm，BC=15cm．求CD的长．

【例2】已知梯形ABCD的面积是32，两底与高的和为16，如果其中一条对角线与两底垂直，则另一条对角线长为___________________．

保工分校 肇建分校 【练习】1.给出下列命题 ①一组对边平行的四边形是梯形；②一组对边平行且相等的四边形是梯形；③一组对边平行而另一组对边不平行的四边形叫梯形；④一组对边不相等的四边形叫梯形，其中真命题只有( )

A.①③ B.②③ C.③④ D.③ 2.给出下列结论：①对角线相等的梯形是等腰梯形；②等腰梯形中不可能有直角；③直角梯形不可能等腰；④等腰梯形两底中点连线是它的对称轴.其中正确结论的个数是( )

A.2个 B.3个 C.4个 D.1个

典型题二 （等腰）梯形的性质 3】如图所示，四边形ABCD中，AB=CD,AC=BD,AD不等于BC,试说明四边形ABCD是等腰梯形

AD

B

C

【例4】已知，如图所示的等腰梯形ABCD中， AD∥BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E，求DE的长.

分析：本题可通过平移腰AC，使得AD+BC的值在同一直线上，再根据等腰三角形的三线合一来解决。

A

D

E

【练习】已知：如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，△BCD是等边三角形，且BC=2㎝，求AD的长。 AD

BC

四、小试牛刀

1．梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD，对角线AC与BD相交于O，则图中全等三角形共有( ) A．1对 B．2对 C．3对 D．4对

于洪分校 铁西广场分校

【例

2．在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，AE⊥BC于E，2.（2009年北京市）如图，在梯形ABCD中，AD且AE=AD，BC=3AD，则∠B等于（ ） 

∥BC，∠B=90,∠C=45,

A．30° B．45° C．60° D．135° 3．已知一个四边形的对角线互相垂直，则顺次连AD=1,BC=4,E为AB中点，EF∥DC交BC于点F,

接这个四边形的四边中点所得的四边形是（ ）． 求EF的长. A．矩形 B.菱形 C.等腰梯形 D.正方形 4．用两个全等的直角三角形拼下列图形：①矩形；②菱形；③正方形；④平行四边形；⑤等腰三角形；⑥等腰梯形．其中一定能拼成的图形是（ ）． A.①②③ B.①④⑤ C.①②⑤ D.②⑤⑥ 5、如图，在直角梯形ABCD中，DC∥AB，∠A=90°，AB=28cm，DC=24cm，AD=4cm，点M从点D出

发，以1cm/s的速度向点C运动，点N从点B同

时出发，以2cm/s的速度向点A运动，当其中一个

动点到达端点停止运动时，另一个动点也随之停止

运动.则四边形AMND的面积y（cm2）与两动点运

动的时间t（s）的函数图象大致是（

）

8、等腰梯形ABCD中，对角线AC＝BC＋AD，则∠DBC的度数为（ ）

A、300 B、450 C、600 D、900 A D B C

五、感受中考

1.（2009年重庆市江津区）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC,AB＝AD＝DC,∠B＝60º. (1)求证：AB⊥AC；

(2)若DC＝6,求梯形ABCD的面积 .

保工分校 肇建分校 六、分层作业 A组 1. 等腰梯形上底为6cm,下底为8 cm,高为3cm,则腰长为_______________.

2. 若等腰梯形的锐角为60°,它的两底分别为11

cm, 35 cm, 则它的腰长为______ cm.

3. 若直角梯形的一腰长为18 cm,这条腰和一个底所成的角是30°,则另一条腰长是______. 4. 同一底上两个角相等的梯形是________形. 5. 如图4.5-1,五边形ABCDE是正五边形,AC, AD, BD, BE, CE是对角线

,则图形中共有等腰梯形______个.

6. 如图4.5-2,在梯形ABCD中,DC∥AB,AC平分∠DAB, ∠DAB=∠CBA=60°,若梯形周长为80 cm,则AD=___________. DCA

B

7. 梯形ABCD中,对角线AC=BD,则ABCD是______形,若延长两腰BA, CD相交于E,则△EBC是____形.

B组 已知：如图，在□ABCD中，BE、CE分别平分∠ABC、∠BCD，E在AD上，BE＝12 cm，CE＝5 cm．求

□

ABCD的周长和面积．

于洪分校 铁西广场分校