反函数的知识点
课 题:2.4 反函数
反函数的定义
一般地,设函数y =f (x )(x ∈A ) 的值域是C ,根据这个函数中x,y 的关系,用y 把x 表示出,得到x=ϕ(y). 若对于y 在C 中的任何一个值,通过x=ϕ(y),x 在A 中都有唯一的值和它对应,那么,x=ϕ(y)就表示y 是自变量,x 是自变量y 的函数,这样的函数x=ϕ(y) (y∈C) 叫做函数y =f (x )(x ∈A ) 的反函数,记作x =f -1(y ) , 习惯上改写成y =f -1(x )
探讨1:所有函数都有反函数吗?为什么?
反函数也是函数,因为它符合函数的定义,从反函数的定义可知,对于任意一个函数y =f (x ) 来说,不一定有反函数,如y =x 2, 只有“一一映射”确定的函数才有反函数,y =x 2, x ∈[0, +∞) 有反函数是y =
探讨2:互为反函数定义域、值域的关系
从映射的定义可知,函数y =f (x ) 是定义域A 到值域C 的映射,而它的反函数y =f -1(x ) 是集合C 到集合A 的映射,因此,函数y =f (x ) 的定义域正好是它的反函数y =f -1(x ) 的值域;函数y =f (x ) 的值域正好是它的反函数y =f -1(x ) 的定义域f [f -1(x )]=x , f -1[f (x )]=x (如下表):
x
探讨3:y =f -1(x ) 的反函数是?
若函数y =f (x ) 有反函数y =f -1(x ) ,那么函数y =f -1(x ) 的反函数就是y =f (x ) ,这就是说,函数y =f (x ) 与y =f -1(x )
2、探究互为反函数的函数的图像关系
观察讨论函数、反函数的图像,归纳结论:函数y =f (x ) 的图象和它的反函数y =f -1(x ) 的图象关于直线y =x 对称.
3.证明结论(不要求掌握,根据实际情况处理)
证明:设M(a,b)是y =f (x ) 则当x=a时,f (x ) 有唯一的值f (a ) =b .
∵y =f (x ) 有反函数y =f -1(x ) ,
∴当x=b时,f -1(x ) 有唯一的值f -1(b ) =a ,
即点M ' (b,a)在反函数y =f -1(x ) 的图象上.
若a=b,则M ,M ' 是直线y=x上的同一个点,它们关于直线y=x对称. 若a ≠b ,在直线y=x上任意取一点P(c,c),连结PM ,P M ' ,M M ' 由两点间的距离公式得:
PM=(a -c ) 2+(b -c ) 2,P M ' =(b -c ) 2+(a -c ) 2,
∴PM=PM ' . ∴直线y=x是线段M M ' 的垂直平分线,
∴点M, M ' 关于直线y=x对称.
∵点M 是y=f(x)的图象上的任意一点,
∴y =f (x ) 图象上任意一点关于直线y=x的对称点都在它的反函数y =f
y =f -1(x ) 的图象上,由y =f (x ) 与y =f -1(x ) 互为反函数可知,函数-1(x ) 图象上任意一点关于直线y=x的对称点也都在它的反函数y =f (x ) 的图象上,
∴函数y =f (x ) 与y =f -1(x ) 的图象关于直线y=x对称.
逆命题成立:若两个函数的图象关于直线y=x对称,则这两个函数一定是互为反函数.
4.应用:⑴利用对称性作反函数的图像
若y =f (x ) 的图象已作出或比较好作,那么它的反函数y =f -1(x ) 的图象可以由y =f (x ) 的图象关于直线y=x对称而得到;
⑵求反函数的定义域求原函数的值域;