b5周期函数
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浅谈周期函数
石狮市石光华侨联合中学数学组 马雪波
周期性是三角函数最重要的性质之一,虽然教科书中给出了周期函数的定义,但我们对周期函数的有关问题确实是知之甚少,本文对有关周期函数的有关问题进行简要的概述。
一个周期函数不一定存在正周期. 比如大家熟知的y =sin x ,x ∈(-∞,0),既便是存在正周期也不见得存在最小正周期,比如常数函数f (x ) = a ,狄立克莱(Dirichlet)函数f (x ) =
⎧1, x 为有理数
⎨
⎩0, x 为无理数
等,一个周期是否是函数的最小正周期,一
般要用反证法进行严格的证明。
. 比如2π是y =sin x ,x ∈R ;y =cos x ,x ∈R 的最小正周期,π是y =tan x ,x ∈R ,x ≠
π
2
+kπ,k∈Z 的最小正周期,
π
2
是y =|sin x |+|cos x |的最小
正周期等.
当然,有很多与三角函数有关的函数也不一 定是周期函数,例如y =sin x ,x ∈[-100π,100π],y =sin ,y =sin |x | ,y =sin x 2,y =sin
x 1
x
等等.
2
两个周期函数的和一定是周期函数吗? 结论是否定的. 比如y =sin x +cos x
就不是周期函数. 而两个周期函数的和如果是周期函数,这个周期函数也不一定存在最小正周期,像y =sin 2x +cos 2x.
又如两个周期相同的周期函数相加得到的理应是周期函数,但它的最小正周期却有可能发生变化,比如y =cot x 与y =tan x 的周期是π,而y =cot x -tan x =2cot2x 的周期是
π
2
.
对于确定函数的最小正周期的确是比较困难,教科书也只要求能化为y =A sin (ωx +φ)形式的函数,或者根据函数的图象直观地求出它们的最小正周期.
二、有关最小正周期和非周期函数问题的证明 本文将对上文涉及到的问题给以严格的证明 1、 证明f (x )=sinx ,x ∈R 的最小正周期是2π
证明:(1)f (x +2π)=sin (x +2π)=sin x =f (x ) (2)假设存在0<T<2π使f(x +T)=f (x ) 即sin (x +T)=sin x ,x ∈R 令x =0则sin T=0又0<T<2π 则T=π 令x =即sin
π
4
,sin (=sin
5π4
π
4
+T)=sin
π
4
5π4
此为矛盾
由(1)(2)两步可知2π为f (x )=sinx 的最小正周期 2、 证明f (x )=|sin x |+|cos x |的最小正周期为证明:(1)f (x +
π
2
π
2
π
2
)=|sin (x +
π
2
)|+|cos (x +)|
=|cos x |+|sin x |=f (x ) (2)假设存在0<T<
π
2
使f (x +T)=f (x )
即|sin (x +T)|+|cos (x +T)|=|sin x |+|cos x | 令x =0得sin T+cos T=1 即sin (T+又0<T<
π2
π
4
π
4
)=
π
4
22
π
4
,<T+
22
<
3π4
∴sin (T+)>
π2
此为矛盾
由(1)(2)两步可知为f (x )=|sin x |+|cos x |的最小正周期.
x x
3、证明f (x )=sin 证明:假设f (x )=sin即sin
x +T =sin
x
不是周期函数.
是周期函数则存在T≠0使f (x +T)=f (x )
令x =0则sin 则
T
=0
=kπ,k∈Z ①
2T =sin
T =0
令x =T则sin
∴
2T
=nπ,n∈Z ②
n k =
22
②÷①得(n∈Z ,k∈Z )此为矛盾 不是周期函数.
2
∴f (x )=sin
x
4、 证明f (x )=sinx +cos x 不是周期函数.
2
证明:假设f (x )=sin x +cos =f (x ),即sin (x +T)+cos
令x =0,cos
2
x 是周期函数,则存在T≠0使f (x +T)
2
2
(x +T)=sin x +cos x
2
T=1,则
T=2kπ,k∈Z ①
2
令x =-T,sin (-T)+cos 即sin T=0,则
T=1
T=nπ,n∈Z ② ①÷②得
2=
2k n
此为矛盾.
2
因此f (x )=sin x +cos x 不是周期函数.
上述有关最小正周期和非周期函数的证明都是采用了反证法.