导数的计算方法技巧及应用

江西师范大学商学院学士论文

导数的计算方法技巧及其应用

The calculation method of derivative skills

and its application

导数的计算方法技巧及其应用

杨阳晟超

【摘要】 导数是微积分中的重要基础概念。当自变量的增量趋于零时，因变量的增量与自变量的增量之商的极限。在一个函数存在导数时，称这个函数可导或者可微分。可导的函数一定连续。不连续的函数一定不可导。导数实质上就是一个求极限的过程，导数的四则运算法则来源于极限的四则运算法则。

导数亦名纪数、微商（微分中的概念），是由速度变化问题和曲线的切线问题（矢量速度的方向）而抽象出来的数学概念，又称变化率。物理学、几何学、经济学等学科中的一些重要概念都可以用导数来表示。如：导数可以表示运动物体的瞬时速度和加速度（就匀速直线加速度运动为例：位移关于时间的一阶导数是瞬时速度，二阶导数是加速度）；可以表示曲线在一点的斜率（矢量速度的方向）；还可以表示经济学中的边际和弹性。以上说的经典导数定义可以认为是反映局部欧氏空间的函数变化。为了研究更一般的流形上的向量丛截面（比如切向量场）的变化，导数的概念被推广为所谓的“联络”。有了联络，人们就可以研究大范围的几何问题，这是微分几何与物理中最重要的基础概念之一。

【关键词】导数 微分 高阶导数 运算法则 导数的应用

The calculation method of derivative skills and its

application

Yang Yangshengchao

【Abstract 】 The derivative is the important basic concepts in calculus. When the independent variable increment tends to zero, the dependent variable and the increment of the independent variable increment business limit. In a function derivative, call this function can be mediated or differential. Differentiable function must be continuous. Discontinuous function must not guide. The derivative is essentially a demand limit, derivative of the four arithmetic operations from the limit of four arithmetic operations.

The derivative is also named counting, derivative ( differential concept), by the speed change and curve tangent problem ( vector velocity direction ) and the abstract mathematical concepts, also known as the rate of change. In geometry, physics, economics and other disciplines in some important concepts can be expressed by derivative. Such as : the derivative can be expressed in a moving object ( the instantaneous speed and acceleration on uniform linear acceleration motion for example: displacement on the time derivative is the instantaneous velocity, two derivative is acceleration ); can be expressed at a point of a curve slope ( vector velocity direction ); also can be expressed in the economics of the margin and elasticity. The above said

classic definition of derivative can be considered to reflect locally Euclidean space function change. In order to study more general manifolds vector bundle section (such as the tangent vector field ) changes, the concept of derivative being promoted as a so-called " contact ". A contact, people can study a wide range of problems in geometry, differential geometry and physics, which is one of the most important basic concepts.

【Key words】Derivative Differential Higher order derivative Rules of operation The application of derivative

目录

一、引言 . ....................................................................................... 5

二、导数概念 . ................................................................................ 5

（一）导数定义 . ....................................................................... 5

（二）导数几何意义 . ................................................................ 6

（三）左右导数 . ....................................................................... 6

（四）可导与连续的关系 . ......................................................... 7

三、导数的基本公式与运算法则 .................................................... 7

（一）基本求导法则与导数公式 ............................................... 7

（二）复合求导 . ....................................................................... 9

（三）反函数求导 .................................................................... 9

（四）隐函数求导 .................................................................. 10

四、高阶导数 . .............................................................................. 11

五、小结 . ......................................................... 错误！未定义书签。

参考文献 . ..................................................................................... 14

一、引言

数学中研究导数、微分及其应用的部分称为微分学，研究不定积分、定积分及其应用的部分称为积分学。微分学与积分学统称为微积分学。微积分学是高等数学最基本、最重要的组成部分，是现代数学许多分支的基础，是人类认识客观世界、探索宇宙奥秘乃至人类自身的典型数学模型之一。

从15世纪初文艺复兴时期起，欧洲的工业、农业、航海事业与商贾贸易得到大规模的发展，形成了一个新的经济时代。而十六世纪的欧洲，正处在资本主义萌芽时期，生产力得到了很大的发展。生产实践的发展对自然科学提出了新的课题，迫切要求力学、天文学等基础科学的发展，而这些学科都是深刻依赖于数学的，因而也推动了数学的发展。在各类学科对数学提出的种种要求中，下列三类问题导致了微分学的产生：

(1) 求变速运动的瞬时速度；

(2) 求曲线上一点处的切线；

(3) 求最大值和最小值。 这三类实际问题的现实原型在数学上都可归结为函数相对于自变量变化而变化的快慢程度，即所谓函数的变化率问题。牛顿从第一个问题出发，莱布尼茨从第二个问题出发，分别给出了导数的概念。

二、导数概念

（一）导数定义

定义：设函数y=f(x ) 在点x 0的某个邻域内有定义, 当自变量x 在x 0处取得增量∆x (点x 0+∆x 仍在该邻域内) 时, 相应地函数y 取得增量∆y =f (x 0+∆x )-f (x 0) ; 如果∆y 与∆x 之比当∆x →0时的极限存在, 则称函数y=f(x ) 在点x 0处可导, 并称这个极限为函数y=f(x ) 在点x 0处的导数, 记为y '|x =x 0, 即：

f '(x 0) =lim f (x 0+∆x ) -f (x 0) ∆y =lim ∆x →0∆x ∆x →0∆x

dy df (x ) 或 dx x =x 0dx x =x 0也可记为：y '|x =x 0，

（二）导数的几何意义

函数y =f (x ) 在点x 0处的导数f '(x 0) 在几何上表示曲线y=f(x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处的切线的斜率, 即

f '(x 0)=tanα

其中α是切线的倾角.

如果y=f(x ) 在点x 0处的导数为无穷大, 这时曲线y=f(x ) 的割线以垂直于x 轴的直线x=x0为极限位置, 即曲线y=f(x ) 在点M (x 0, f (x 0)) 处具有垂直于x 轴的切线x=x0. :

由直线的点斜式方程, 可知曲线y=f(x ) 在点M (x 0, y 0) 处的切线方程为 y-y 0=f '(x 0) （x-x 0）

过切点M (x 0, y 0) 且与切线垂直的直线叫做曲线y=f(x ) 在点M 处的法线如果 f '(x 0) ≠0, 法线的斜率为-1, 从而法线方程为 f (x 0)

y -y 0=-1(x -x 0) . f '(x 0)

（三）左右导数

'(x 0) =lim f (x ) 在x 0的左导数:f --h →0f (x 0+h ) -f (x 0) h

f (x 0+h ) -f (x 0) h f (x ) 在x 0的右导数:f +'(x 0) =lim +h →0

如果极限lim

如果极限lim h →-0f (x +h ) -f (x ) 存在,则称此极限值为函数在x 0的左导数 h f (x +h ) -f (x ) 存在,则称此极限值为函数在x 0的右导数 h h →+0

（四）可导与连续的关系

设函数y=f(x ) 在点x 0 处可导, 即lim ∆y =f '(x 0) 存在. 则 ∆x →0∆x

lim ∆y =lim ∆y ⋅∆x =lim ∆y lim ∆x =f '(x 0) ⋅0=0 ∆x →0∆x →0∆x ∆x →0∆x ∆x →0

这就是说, 函数y=f(x ) 在点x 0 处是连续的。所以, 如果函数y=f(x ) 在点x 处可导, 则函数在该点必连续。

另一方面, 一个函数在某点连续却不一定在该点处可导。

三、导数的基本公式与运算法则

（一）基本求导法则与导数公式

1．基本初等函数的导数

(1) (C ) '=0

(2) (x μ) '=μ x μ-1

(3) (sin x ) '=cos x

(4) (cos x ) '=-sin x

(5) (tan x ) '=sec 2x

(6) (cot x ) '=-csc 2x

(7) (sec x ) '=sec x ⋅tan x

(8) (csc x ) '=-csc x ⋅cot x

(9) (a x ) '=a x ln a

(10) (e x ) '=e x (11) (loga x ) '=1 x ln a

(12) (lnx ) '=1 x

(13) (arcsinx ) '=1 -x 2

1 -x 2(14) (arccosx ) '=-

(15) (arctanx ) '=1

2 1+x

(16) (arc cot x ) '=-1

2 1+x

2．函数的和、差、积、商的求导法则

设u =u (x ) , v =v (x ) 都可导, 则

(1) (u ±v ) '=u '±v '

(2) (C u ) '=C u '

(3) (u v ) '=u '⋅v +u ⋅v '

'u v '(4) u '=u v - v v 2

例1．y =2x 3-5x 2+3x -7, 求y '

解: y '=(2x 3-5x 2+3x -7) '= (2x 3) '-（5x 2) '+（3x ) '-（7) '= 2(x 3) '- 5（x 2) '+ 3

（x ) '

=2⋅3x 2-5⋅2x +3=6x 2-10x +3

例2. f (x ) =x 3+4cos x -sin π, 求f '(x ) 及f '( π. 22

解: f '(x ) =(x 3) '+(4cos x ) '-(sin π'=3x 2-4sin x 2

f '( π=32-4 24

（二）复合函数求导

设y =f (x ) , 而u =g (x ) 且f (u ) 及g (x ) 都可导, 则复合函数y =f [g (x )]的导数为 dy =dy ⋅du 或y '(x ) =f '(u ) ⋅g '(x ) dx du dx

例1 y =e x 3, 求dy . dx

解：函数y =e x 3可看作是由y =e u , u =x 3复合而成的, 因此

dy =dy du =e u ⋅3x 2=3x 2e x 3 dx du dx

例2．y =-2x 2, 求dy . dx

1dy -2122 解： =[(1-2x ) 3]'=(1-2x ) 3⋅(1-2x 2) '=-4x dx 31-2x 2) 2

（三）反函数求导

设x =f (y ) 在区间I y 内单调、可导且f '(y ) ≠0, 则它的反函数y =f -1(x ) 在I x =f (I y ) 内也可导, 并且

dy [f -1(x ) ]'=1 或=1

f (y ) dx dy

例1．设x =tan y , y ∈(- π, π为直接函数, 则y =arctan x 是它的反函数. 函数22

x =tan y 在区间(- π, π内单调、可导, 且 22

(tan y ) '=sec 2 y ≠0

因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(-∞, +∞) 内有

(a r c t x a ) 'n =1=1=11 =2y 1+x 2(t a y n ) s e 2c y 1+t a n

类似地有: (arc cot x ) '=-1

2 1+x

例2．设x =a y (a >0, a ≠1) 为直接函数, 则y =log a x 是它的反函数. 函数x =a y 在区间I y =(-∞, +∞) 内单调、可导, 且

(a y ) '=a y ln a ≠0

因此, 由反函数的求导法则, 在对应区间I x =(0, +∞) 内有

1 (loga x ) '=1=y y =1 (a ) a ln a x ln a

（四）隐函数求导

显函数: 形如y =f (x ) 的函数称为显函数. 例如y sin x , y =ln x ++e x . 隐函数: 由方程F (x , y ) =0所确定的函数称为隐函数.

例如：方程x +y 3 -1=0确定的隐函数为y 。 y =.

如果在方程F (x , y ) =0中, 当x 取某区间内的任一值时, 相应地总有满足这方程的唯一的y 值存在, 那么就说方程F (x , y ) =0在该区间内确定了一个隐函数。

把一个隐函数化成显函数, 叫做隐函数的显化。隐函数的显化有时是有困难的, 甚至是不可能的。 但在实际问题中, 有时需要计算隐函数的导数, 因此, 我们希望有一种方法, 不管隐函数能否显化, 都能直接由方程算出它所确定的隐函数的导数来。

例1．求由方程e y +xy -e =0 所确定的隐函数y 的导数.

解：把方程两边的每一项对x 求导数得

(e y ) '+(xy ) '-(e ) '=(0)'

即 e y ⋅y '+y+xy'=0

从而 y '=-y

y (x +e y ≠0) x +e

例2．求由方程y 5+2y -x -3x 7=0 所确定的隐函数y =f (x ) 在

x =0处的导数y '|x =0.

解：把方程两边分别对x 求导数得

5y ⋅y '+2y '-1-21x 6=0,

x . 由此得 y '=1+21

465y +2

因为当x =0时, 从原方程得y =0, 所以

x |=1. y '|x =0=1+21x =0465y +22

四、高阶导数

一般地, 函数y =f (x ) 的导数y '=f '(x ) 仍然是x 的函数. 我们把y '=f '(x ) 的导数

2y 叫做函数y =f (x ) 的二阶导数, 记作 y ''、f ''(x ) 或d

2, dx

即 y ''=(y ') ', f ''(x ) =[f '(x )]' 2y dy d

2=d ( dx dx dx

相应地, 把y =f (x ) 的导数f '(x ) 叫做函数y =f (x ) 的一阶导数.

类似地, 二阶导数的导数, 叫做三阶导数, 三阶导数的导数叫做四阶导数, ⋅ ⋅ ⋅, 一般地, (n -1) 阶导数的导数叫做n 阶导数, 分别记作

3d 4y d n y y ''', y (4), ⋅ ⋅ ⋅ , y (n ) 或d y , , ⋅ ⋅ ⋅ , 34n dx dx dx

函数f (x ) 具有n 阶导数, 也常说成函数f (x ) 为n 阶可导。如果函数f (x ) 在点x 处具有n 阶导数, 那么函数f (x ) 在点x 的某一邻域内必定具有一切低于n 阶

的导数.。二阶及二阶以上的导数统称高阶导数。

y '称为一阶导数，y ''，y '''，y (4)⋅ ⋅ ⋅y (n ) 都称为高阶导数。

例1．求函数y =e x 的n 阶导数.

解：y '=e x , y ''=e x , y '''=e x , y ( 4)=e x

一般地, 可得

y ( n ) =e x

即 (e x ) (n ) =e x

例2．求正弦函数与余弦函数的n 阶导数.

解：y =sin x

y '=c o x s =s i n x (+ π 2

y ''=c o s x (+ π=s i n x (+ π+ π=s i n x (+2⋅ π 2222

y '''=c o s x (+2⋅ π=s i n x (+2⋅ π+ π=s i n x (+3⋅ π 2222

y (4) =c o s x (+3⋅ π=s i n x (+4⋅ π 22

一般地, 可得

y (n ) =s i n x (+n ⋅ π, 即(sinx ) (n ) =sin(x +n ⋅ π 22

用类似方法, 可得(cosx ) (n ) =cos(x +n ⋅ π 2

五、小结

（1）导数和微分的概念；

（2）用导数定义和运算法则求导数

1）正确使用导数及微分公式和法则；

2）熟练掌握求导方法和技巧：求分段函数的导数，注意讨论分界点处左右导数是否存在和相等；求绝对值函数的导数，首先去掉绝对值符号，将函数用分段函数表示后再求导；对复合函数，求导时要由表及里，逐层求导，不要漏层；

3) 幂指函数的导数要用对数求导法计算，而对数求导法还可以简化为由若干个函数连乘、连除、根式、乘幂形式所构成的函数的求导；

（3） 高阶导数的计算（求函数的n 阶导数的方法）

1）直接法：求出函数的前几阶导数，分析所得的结果，找出规律性，然后写出n 阶导数的表达式，再用数学归纳法证明；

2）间接法：将给定的函数通过化简（一般化积为和差）或变量替换转换为熟知的高阶导数的函数求导(也可以利用泰勒公式求在某点的各阶导数值) ；

3）利用莱布尼兹公式[u (x ) v (x )](n ) ；

参考文献

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