如何用数学方法推翻阿基里斯追龟悖论?
02-05
这个悖论在数学上有一个错误的前提假设：误以为无限个数（有限数）相加一定是无限。
首先，每追一次乌龟，所需的路程会越来越少。其次，这个过程会重复无数次，也就是说共有无数条这样的路程。
我们想问的是：无限次的这些路程之和等于多少？是正无穷吗？
比如第一次追乌龟走了1m，第二次走了二分之一米，第三次四分之一米……………………
那么总路程1+0.5+0.25+0.125…………等于几？
如果等于无穷，说明追不上乌龟的情况可以从0m一直维持到正无穷远，换句话说，永远追不上乌龟，即悖论成立。
如果等于一个有限数，即等于x，就说明追不上乌龟的情况只能维持到距离起点x米的地方。换句话说，不但能追上，而且会在x米处相遇并超过乌龟。
无穷个数有可能是有限数吗？我们知道数学中无穷级数求和就是回答这个问题，一旦级数收敛结果必然是有限数。
简单来说，追龟的模型中，可以证明所有路程和一定是有限数，也就是说肯定能追上。
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其实这个悖论在数学中非常著名，第二次数学危机正是在讨论这个问题，促使人们思考无穷的世界，最终使微积分被提出和完善。
然而，以上这些也只是数学上的解释，但是我们是否解决了芝诺的哲学上的挑战呢？芝诺要证明的是运动是虚假的，时间空间不是连续的。
看起来我们似乎解决了芝诺的问题，但是想想看上面数学解答的前提是：时空是连续的。
换句话说，我们的证明只是在说：假如时空是连续的，这个悖论是错的。但我们却不能用这个证明去否认时空是不连续的。
这就引发了一个更有趣的问题：数学模型是否真的能正确描述现实中的物理现象呢？恐怕没有答案