通信原理课后习题

模块01 数字通信概论

1-1 已知二进制信源(0,1),若1符号出现的概率为解：由题意知0出现的概率为 I (0) =-log 2

3

=0. 415bit 4

1

, 求出现0符号的信息量。 4

3

，0符号出现携带的信息量为： 4

1-2 某4ASK 系统的四个振幅值分别为0,1,2,3，这四个振幅是相互独立的。

1111

（1） 振幅0,1,2,3出现的概率分别为, , , ，求每个振幅的信息量和各

2488

种振幅信息的平均信息量。

（2） 设每个振幅的持续时间（码元宽度）为2μs ，求此系统的信息速率。 解：（1）每个振幅的信息量如下：

1

I (0) =-log 2=1bit

21

I (1) =-log 2=2bit

4

1

I (2) =-log 2=3bit

81

I (3) =-log 2=3bit

8

各种振幅的平均信息量为：

111111

H =-log 2-log 2-log 2=0. 5+0. 5+0. 75=1. 75bit /symbol

224448

1

⨯1. 75=875kb /s （2）R b =R B ⋅H =-6

2⨯10

1-3 某4PSK 数字通信系统用正弦波的四个相位0，π2, π, 3π2来传输信息，设这四个相位是相互独立的。

（1） 若每秒钟内0，π2, π, 3π2出现的次数分别为500,125,125,250，求此

数字通信系统的码元速率和信息速率。

（2） 若每秒钟内这四个相位出现的次数均为250，求此数字通信系统的码

元速率和信息速率。

解：（1）R B =500+125+125+250=1000B

[***********]250250H =-log -log 2-log 2-log 2

[***********][***********]11111131

=-log 2-log 2-log 2-log 2=++=1. 75bit /sym bol

[1**********]R b =R B ⋅H =1000⨯1. 75=1. 75kb /s

（2）

R B =250⨯4=1000B

11

H =4(-log 2) =2bit /sym bol

44

R b =R B ⋅H =1000⨯2=2kb /s

1-4 某4PSK 数字通信系统，码t 元速率为1000B ，连续工作1小时后，接收端收到的错码为10个，试求此系统的误码率。 解：连续工作1小时后，系统的误码率为：

P =10

e 1000⨯3600

≈2. 78⨯10-6

1-5 某系统经长期测定，它的误码率P e =10-5，系统码元速率为1200B ，问在多

少时间内可能收到360个错误码元。

解：t =360

10-5

⨯1200

=3⨯104秒≈8. 3小时

模块02 信号

2-1 试求下列概率密度函数的数字期望和方差：

⎧ （1）f (x ) =⎪1

⎨2a , -a ≤x ≤a

⎪⎩0, 其他

⎧2

（2）f (x ) =⎪1⎨⎪2a e -x a x ≥0

⎩

0, 其他解：（1）E (X ) =⎰a x f (x ) dx =⎰a

x

1-a -a 2a =14a [x 2]a -a =0

E (X ) =⎰a 2a 21-a x f (x ) dx =⎰-a x 2a dx =16a [x 3]a a 22-a =3

D (X ) =E (X ) -E (X ) =a 2 22

3

（2）

E (X ) =⎰

+∞

+∞

-

x 2x 2a

dx =⎰∞

1

-

x 2

a

1

xf (x ) dx =⎰

x

1

2a

e =-10-4

de

[e

-

a

4

]∞0=

4x 2

E (X 2) =⎰+∞

0x 212a e -a dx =12a 2! a a

1! (2) 3=

8

（根据积分公式：⎰x 2n e -x 2/a 2

dx =2n ! a 2n +1n ! (2

) ）

D (X ) =E (X 2) -E 2(X ) =a 12a -1

8-16=16

2-2 已知X (t ) 和Y (t ) 是统计独立的平稳随机过程，且它们的自相关函数及功率谱密度函数分别为R X (τ), R Y (τ), P X (ω), P Y (ω) , 试求Z (t ) =X (t ) Y (t ) 的自相关函数和功率谱密度。

解：R Z (τ) =E [Z (t ) Z (t +τ)]=E [X (t ) Y (t ) X (t +τ) Y (t +τ)]=R X (τ) ⋅R Y (τ)

1

[P X (ω) *P Y (ω)] P Z (ω) =2π

2-3 设Z (t ) =X cos ωC t -Y cos ωC t 是一随机过程，若X 和Y 彼此统计独立，且均值都为0，方差均为σ2的高斯随机变量，试求： （1）Z (t ) 的均值和方差。

（2）Z (t ) 的一维概率密度函数。 （3）Z (t ) 的自相关函数。 解：（1）

E [Z (t )]=E [X cos ωc t -Y cos ωc t ]=E [X ]cos ωc t -E [Y ]cos ωc t =0

2

2

2

D [Z (t )]=D [X cos ωc t -Y cos ωc t ]=cos ωc t [D [X ]+D [Y ]]=2cos ωc t σ

（2）Z (t ) 为两高斯随机过程的线性组合，也为一高斯过程，概率密度如下： f (z ) =

12cos(ωc t ) σ

-

z 2

4cos (ωc t ) σ

e

（3）

R [Z (t 1, t 2)]=E [(X cos ωc t 1-Y cos ωc t 1)(X cos ωc t 2-Y cos ωc t 2)]=

=E [X 2cos ωc t 1cos ωc t 2-2XY cos ωc t 1cos ωc t 2+Y 2cos ωc t 1cos ωc t 2] =2σ2cos(ωc t 1) cos(ωc t 2)

2-4 当均值为0，双边功率谱密度为n 02的白噪声通过如图所示的RC 低通滤波器时，试求输出噪声的功率谱密度和自相关函数。

解：因为理想低通滤波器的传输特性可以表示成：

-j ωt ⎧⎪ke d , f ≤f H

H (f ) =⎨

⎪⎩0, 其它处

所以有:

H (f ) =k 2, f ≤f H

2

输出信号的功率谱密度为:

P Y (f ) =H (f ) P X (f ) =k 2

2

n 0

, f ≤f H

2

输出信号的自相关函数:

R Y (τ) =⎰P Y (f ) e j ωτdf =(k 2n 0/4π) ⎰

-∞

∞

f H

-f H

e j ωτdf =k 2n 0f H (sin2πf H τ/2πf H τ)

模块03 信道

3-1 简述窄带高斯白噪声中的“窄带”、“高斯”和“白”的含义。 答：“窄带”是系统的频带比起中心频率小得多；“高斯”是指噪声的概率密度函数服从正态分布；“白”是指噪声的功率谱密度函数是常数。

3-2 信道中常见的起伏噪声有哪些？其统计特性如何？

答：起伏噪声是一种持续波随机噪声，例如热噪声、散弹噪声和宇宙噪声等。起伏噪声（特别是热噪声）具有很宽的带宽，且始终存在，它是影响通信系统性能的主要因素。

3-3 已知有线电话信道的带宽为4KHz 。

（1）试求信道输出信噪比为20dB 时的信道容量。

（2）若在该信道中传送33.6kb/s的数据，试求接收端要求的最小信噪比。

S

解：（1）由题意知=20dB =100, 由信道容量的公式有：

N S

C =B log 2(1+) =4000log 2(1+100) =2. 663⨯104=26. 63kb /s

N

（2）最小信噪比应为：

33. 6

S

=24-1=336. 794

N

3-4 假设彩色电视图像由5⨯105个像素组成，每个像素有64种颜色，每种颜色有16个灰度级，若所有颜色和灰度级的组合机会均等，且统计独立。 （1）试求每秒传送25个画面所需的信道容量。

（2）如果接收端信噪比为30dB, 试求传送彩色图像所需的信道带宽。 解：（1）每个像素的信息量为：

1

=10bit I P =-log 2

64⨯16

每秒25个画面所含的信息量为：25⨯5⨯105⨯10=125Mb /s 此时信道容量至少为：C =125Mb /s

S

（2）由信道容量公式：C =B log 2(1+) 有：

N

C 125

==12. 54MHz B =

S log 21001

log 2(1+)

N

模块05 模拟信号的数字化传输

5-1 一个信号s (t ) =2cos 400πt +6cos 40πt ，用f s =500Hz 的抽样频率对它进行理想抽样，若抽样后的信号经过一个截止频率为400Hz 的理想低通滤波器，输出端会有哪些频率成分？

解：原始信号含有两个频率成分f 1=20Hz , f 2=200Hz ，抽样信号的频谱是连续信号的周期延拓，周期为500Hz ，经过理想低通滤波器后，存在的频率成分有：20Hz,200Hz,300Hz.

5-2 语音信号的带宽在300~3400Hz之间，假设采用f s =8000Hz 对其抽样，若输出端所需的峰值信号功率与平均量化噪声功率的比值为30dB ，试问均匀量化最小需要多少个电平？每个样值最少需要几个比特？

解：设最小需要L 个量化电平，每个样值最少需要N 比特，则有：

S q

=20lg L N q 即：30=20lg L

L ≈32

2N =L 又由

L =32, N =5

5-3 已知模拟信号抽样值的概率密度函数f (x ) 如下图所示。 （1）若按8电平进行均匀量化，试确定量化间隔和量化电平。 （

解∆=0. 25，量化电平为

{-0.875，-0.625，-0.375，-0.125,0.125,0.375,0.625,0.875}。

（2）按4电平进行均匀量化，信号功率S q 、噪声功率N q 如下： S q =⎰x f (x ) dx =⎰x (x +1) dx +⎰x 2(1-x ) dx =

-1

-1

1

2

2

1

1

≈0. 1667 6

N q =⎰

-0. 5

-1

(x +0. 75) 2(x +1) dx +⎰

10. 5

-0. 5

(x +0. 25) 2(x +1) dx +

=0. 0026041+0. 0078225+0. 0078125+0. 00260125≈0. 02084

S q 0. 1667=≈8 N q 0. 02084

5-4已知正弦波信号的最高频率f m =4kHz ，试分别设计一个PCM 系统，使系统的输出量化信噪比满足30dB 的要求，求系统的信息速率。

解：由信号的最高频率f m =4k H z ，根据抽样定义选取抽样频率为

⎰

0. 5

(x -0. 25) 2(1-x ) dx +⎰(x -0. 75) 2(1-x ) dx

f s =2. 2f m =8. 8k H z

设对抽样值最小采用L 个量化值，有：

S q

=20lg L =30dB , 则L ≈32

N q

每个量化值至少需要N 个二进制码进行编码，则有：

2N =L , 现在L =32，则N =5

这个PCM 系统的信息速率为：

R b =8800⨯5⨯log 22=4. 4Mb /s

5-5 已知语音信号的最高频率f m =3400Hz ，若用PCM 系统传输，要求量化信噪比为30dB ，试求该PCM 系统的带宽。 解：由量化信噪比有：

S q

=20lg L =30

N q 最小量化级L ≈32

每个量化值需N 位 二进制进行编码有：

2N =L , N =5系统带宽：B =N ⨯f m =5⨯3400=17kHz

5-6 设有离散无记忆信源X 为

⎛x ⎫⎛x 1x 2x 3x 4x 5x 6⎫ P (x ) ⎪⎪= 0. 30. 20. 20. 10. 10. 1⎪⎪ ⎝⎭⎝⎭

（1） 计算该信源的熵；

（2） 用霍夫曼编码方法对此信源进行编码； （3） 计算平均码长，并讨论霍夫曼编码的效率。 解：（1）

H (x ) =-∑p (x i ) log 2p (x i ) =-0. 3log 20. 3-0. 4log 20. 2-0. 3log 20. 1≈2. 446

i =16

（2）

x 1码字：11 x 4码字：010 x 2码字：10 x 5码字：001

x 3码字：011 x 6码字：000 （4） 平均码长为：

l =0. 3⨯2+0. 2⨯2+0. 2⨯3+0. 1⨯3⨯3=2. 5

编码效率为： H (x ) 2. 446

η=-=≈97. 84%

2. 5

l

-

模块07 数字信号的基带传输

7-1 设输入码流为{1100101010},试将其编码为（1）双相码，（2）CMI 码和

（3）AMI 码，并画出响应的波形。 解：

7-2 设输入码流为{0100110000}，试将其编码为HDB 3码，并画出其波形图。

解：

7-3 设某基带系统的频率特性是截止频率为1MHz 、幅度为1的理想低通滤波器。

（1）试根据系统无码间串扰的时域条件，求此基带系统无码间串扰的码速率。（2）若信息传输速率3Mb/s，该系统能否实现无码间串扰？ 解：

（1）理想低通滤波器的幅频特性为：

1⎧

1, f ≤⎪

2T S H (f ) =⎨

⎪0, 其它⎩

πt

冲激响应为：h (t ) =Sa ()

T s

滤波器截止频率为：

11

=106Hz ，则=2⨯106 f c =2T s T s

理想低通滤波器实现无码间串扰的最大码元速率为：

1

R B max ==2⨯106Baud

T s

（2）若信息传输速率为：R b =3⨯106b /s

若传送的是二进制码元，则有R B =R b =3⨯106Baud >R BMAX ，系统不能实现无码间串扰。

若传送的是四进制码元，则有R B =

R b

log 24

=1. 5⨯106Baud

统能实现无码间串扰。其它进制类推。

7-4 某给定低通型信道的带宽为3000Hz ，在此信道上进行基带传输，当基带形成滤波器特性分别为理想低通、50%升余弦滚降、100%升余弦滚降时，确定无码间串扰传输的最高码速率及相应的频带利用率。

解：对于升余弦滚降系统，所需带宽与码元传输速率的关系为：

1

W =(1+a ) R B

2

(1) 理想低通时，a =0

最大码元速率为：R B =2W =6000Baud

R B

=2B /Hz W

（2）a =50%升余弦滚降

2W 6000

==4000Baud 最大码元速率为：R B =频带利用率为：η=

1. 51. 5

R 4000

=1. 33B /Hz 频带利用率为：η=B =

W 3000

（3）a =100%生余弦滚降

2W

=3000Baud 最大码元速率为：R B =2

频带利用率为：η=

R B

=1B /Hz W

模块08 数字信号的频带传输

8-1 设发送数字信息为[1**********]0，试分别画出2ASK 、2FSK 、2PSK 和2DPSK 信号的波形。 解：

8-2 在某2FSK 系统中，发送符号“1”的频率f 1=980Hz ，发送符号“0”的频率f 2=2180Hz , 且发送概率相等，码元速率为R B =300B , 信道有效带宽为3000Hz ，信道输出端的信噪比为6dB . (1) 试求2FSK 信号的谱零点带宽。

(2) 若采用非相干解调，试求系统的误码率。 (3) 若采用相干解调，试求系统的误码率。 解：（1）2FSK 信号的谱零点带宽为：

1

B =f 2-f 1+2f s =2180-+2=1200+2R B =1200+600=1800Hz

T s

（2）若采用非相干解调，系统误码率为：

r

1-21-31

P e =e =e =3=0.0249

222e

（3）若采用相干解调，系统误码率为：

1r 131

erfc () =erfc () =erfc (1. 2247) ≈0. 035 22222

（查表知erfc (1. 28) =0. 07026580）

8-3 假设在4KHz 带宽的电话信道中分别采用2ASK 、2FSK 和2PSK 方式传输，发送载波幅度为10V ，电话信道衰减为1dB /km , n 0=1⨯10-8W /Hz ，要求系统 P e =

误码率为10-5。若采用相干解调，试分别求2ASK 、2FSK 和2PSK 能达到的最大通信距离。 解：(1)2ASK系统

接收机噪声功率为N =n 0⨯B 2ASK =10-8⨯4000=4⨯10-5W , 误码率都保持在10-5时，即相干解调P e =

1r

erfc () =10-5，查表求得r =36. 13，信号功率22

,

信

号

幅

度

为

：

为：

S =36. 13⨯4⨯10-5=144. 5⨯10-5W

a =2S =2⨯144. 5⨯10-5V =5. 38⨯10-2V , 由10V 衰减到5. 38⨯10-2V ，衰减的

10

=45. 3dB , 故2ASK 信号最远传输距离为分贝（dB ）数为20lg -2

5. 38⨯10

45.4km 。

（2）2FSK 系统

接收机上、下之路带通滤波器的带宽为2kHz 。接收机噪声功率为N =n 0⨯B 2FSK =10-8⨯2000=2⨯10-5W ，误码率都保持在10-5时，即相干解调 P e =

1r

erfc () =10-5, 查表求得r =18. 07，信号功率为： 22

S =18. 07⨯2⨯10-5=36. 14⨯10-5W

信号幅度为：a =2S =2⨯36. 14⨯10-5V =2. 69⨯10-2V

由10V 衰减到2. 69⨯10-2V ，衰减的分贝（dB ）数为

10

20lg =51. 4dB , 故2FSK 信号传输距离为51.4km. -2

2. 69⨯10

(3)2PSK系统

接收机噪声功率为N =n o ⨯B 2PSK =10-8⨯4000W =4⨯10-5W , 误码率都保持

1

在10-5时，即相干解调P e =erfc (r ) =10-5，查表求得r =9，信号功率为：

2

S =9. 035⨯4⨯10-5W =36. 14⨯10-5W , 可见2PSK 信号传输距离与2FSK 的相同，为51.3km.

模块09 数字复用技术 9-1 对于标准PCM30/32路制式基群系统，试计算： （1）每个时隙时间宽度； （2）每帧时间宽度； （3）信息传输速率； （4）每比特时间宽度。 解：（1）每个时隙时间宽度为

125

=3. 9μs t C =32

（2）每帧时间宽度为 T s =1/8000=125μs （3）信息传输速率为

R b =8000⨯32⨯8=2048kb /s

11

或 R b ===2048kb /s

t b 0. 488

（4）每比特时间宽度

3. 9

=0. 488μs t b =8

9-2 有32路模拟话音采用时分复用PCM 方式传输。每路话音信号带宽为4kHz , 采用奈奎斯特速率抽样和每样值8比特编码，PCM 脉冲宽度为τ。占空比为100%。试计算脉冲宽度τ。

解：抽样频率为f s =2f H =8kHz

总码率为：32⨯f s ⨯8=2048kb /s

1

=488ns 占空比为100%，则τ=T s =

2048⨯103

模块10 数字信号的最佳接收 10-1 什么是最佳接收？最佳接收准则是什么？

答：最佳接收就是研究在噪声干扰的情况下如何有效地检测信号，最佳接收理论又称为信号检测理论。

最佳接收准则是最大信噪比接收准则和最小差错概率接收准则。

10-2 简述匹配滤波器的工作原理，并说明匹配滤波器的传输函数和单位冲激响

应与输入信号的关系。

答：线性滤波器对接收信号滤波时，使抽样时刻上输出信号信噪比最大的线

性滤波器称为匹配滤波器。

匹配滤波器的传输特性为： H (f ) =kS *(f ) e -j 2πft 0

其中S (f ) 为输入信号的傅里叶变换。 匹配滤波器的冲激响应： h (t ) =ks (t 0-t )

其中s (t ) 为输入信号。

10-3 什么是最小差错概率准则？什么是似然比准则？什么是最大似然比准则？

三者之间有什么相同和不同之处？

答：使输出总的错误概率最小的接收准则称为最小差错概率准则。

P e =P (1) P e 1+P (0) P e 0

似然比准则为：

P (1) f 0(r ) >, 判为1

P (0) f 1(r ) P (1) f 0(r )

P (0) f 1(r )

2其中： ⎧1T s ⎫1

[]f (r ) =exp -r (t ) -s (t ) dt ⎨⎬00 k ⎰0n ⎩0⎭πσn

2⎧1T s ⎫1

[]f 1(r ) =exp -r (t ) -s (t ) dt ⎨⎬1k ⎰0 n 0⎩⎭2πσn

最大似然比准则为：P (1) =P (0) 时

若f 0(r ) > f 1(r ) ，则判为“0” 若f 0(r )

模块12 信道编码

12-1已知八个码组为000000,001110,010101, 011011,100011, 101101, 110110, 111000.

（1）试求该码组的最小码距。

（2）若该码用于检错，能检出几位错码？ （3）若该码用于纠错，能纠正几位错码？

（4）若该码同时用于检错和纠错，能检出、纠正几位错码？ 解：（1）通过计算该码组的最小码距为d 0=3 （2） 因为d 0≥2+1，所以该码组能检出2个错码。 (3) 因为d 0≥2⨯1+2，所以该码组能纠正1位错码。

（4）因为d 0≥1+1+1，所以该码组能检出1位错码、纠正1位错码。

12-2 已知某循环码的监督矩阵为：

⎡1101100⎤

⎥ 1110010 H =⎢⎢⎥

⎢⎣0111001⎥⎦

（1）试求其生成矩阵。

（2）写出所有可能的码组。 解：（1）有监督矩阵可知此循环码为（7,4）线性分组码。根据生成矩阵和监督矩阵的关系，可求出生成矩阵为：

⎡1000110⎤⎢0100111⎥

⎥ G =⎢

⎢0010011⎥⎢⎥0001101⎣⎦

（2）设所有可能的信息元为M,M 中每一行为一种可能的信息元，共16行即16种所有可能的信息元。M 与生成矩阵G 相乘，可得所有码组A 。矩阵A 中每一行就是一个码组，共有16个可能的码组。

MG =A

⎡0000⎤⎡0⎢0001⎥⎢0⎢⎥⎢⎢0010⎥⎢0⎢⎥⎢0011⎢⎥⎢0⎢0100⎥⎢0⎢⎥⎢0101⎢⎥⎢0⎢0110⎥⎡1000110⎤⎢0⎢⎥⎢⎢⎥

⎢0111⎥⎢0100111⎥⎢0⎢1000⎥⋅∙⎢0010011⎥=⎢1⎢⎥⎢⎥⎢⎢1001⎥⎣0001101⎦⎢1⎢⎥⎢1010⎢⎥⎢1⎢1011⎥⎢1⎢⎥⎢1100⎢⎥⎢1⎢1101⎥⎢1⎢⎥⎢1110⎢⎥⎢1⎢1111⎥⎢1⎣⎦⎣

12-3 已知（7,4）码的生成矩阵为：

⎡1000⎢0100G =⎢

⎢0010⎢

⎣0001

000000⎤001101⎥⎥010011⎥

⎥

011110⎥100111⎥

⎥

101010⎥110100⎥

⎥

111001⎥000110⎥

⎥

001011⎥

⎥

010101⎥011000⎥

⎥

100001⎥101100⎥

⎥

110010⎥ 111111⎥⎦

11011011

1⎤1⎥⎥ 1⎥⎥0⎦

（1）写出所有可能的码组。 （2）试求其监督矩阵。 解：（1）略。（同12-2同理）

（2）根据生成矩阵和监督关系，知监督矩阵为：

⎡1101100⎤

⎥ 1011010 H =⎢⎢⎥

⎢⎣1110001⎥⎦12-4 设线性码的生成矩阵为：

⎡001011⎤

⎥ 100101 G =⎢⎢⎥

⎢⎣010110⎥⎦

（1） 写出监督矩阵，确定（n,k ）码中的n 和k 。 （2） 写出该（n,k ）码的所有码字。

（3） 确定最小码距d 0，并分析其检纠错能力。 （4）

解：通过分析知该生成矩阵不是典型的生成矩阵，可通过矩阵运算，将其转变成典型生成矩阵，为：

⎡100101⎤

⎥ 010110 G =⎢⎢⎥

⎢⎣001011⎥⎦（1） 该码组为（6,3）线性分组码，监督矩阵为： ⎡110100⎤

⎥ 011010 H =⎢⎢⎥

⎢⎣101001⎥⎦

（2） 该码组中信息位为3为，所有可能的信息为23=8种，写成矩阵M ，M 为8行3列的矩阵，M 乘以生成矩阵G 得矩阵A ，A 中每行为一码组，所有可能的码组共8个，所以A 为8行6列的矩阵。详细如下： MG =A ⎡000⎤⎡000000⎤⎢001⎥⎢001011⎥⎢⎥⎢⎥⎢010⎥⎢010110⎥⎢⎥⎡100101⎤⎢⎥011011101⎢⎥⎢⎥∙010110=⎢⎥

⎥⎢100101⎥⎢100⎥⎢

001011⎥⎢⎥⎢⎣⎦⎢101110⎥101⎢⎥⎢⎥

⎢110⎥⎢110011⎥⎢⎥⎢⎥⎢111⎦⎥⎢111000⎦⎥⎣⎣

(3)根据线性分组码的封闭性，最小码距等于码组的最小码重。这组码的最小码距为d 0=3，能检测2位错码，能纠正1位错码，能同时检测1位错码和纠正1位错码。

12-5 已知（15，,11）汉明码的生成多项式为g (x ) =x 4+x 3+1，试求其生成矩阵和监督矩阵。 解：

⎡x 14+x 13+x 10⎤⎡[**************]⎤⎢13⎢[**************]⎥129⎥x +x +x ⎢⎥⎢⎥12118⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢11⎢⎥107⎥[**************]x +x +x ⎢⎥⎢⎥1096⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢⎥

G (x ) =⎢x 9+x 8+x 5⎥G =⎢[**************]⎥

⎢x 8+x 7+x 4⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢⎥763⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢652⎥⎢[**************]⎥x +x +x ⎢⎥⎢⎥

54

⎢x +x +x ⎥⎢[**************]⎥⎢4⎥⎢⎥3

x +x +[**************]1⎣⎦⎣⎦

可将G 矩阵不是典型的生成矩阵，通过矩阵运算可得生成典型生成矩阵。

⎡[**************]⎤⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥[**************]⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥G =⎢[**************]⎥

⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎢[**************]⎥⎢⎥⎣[**************]⎦监督矩阵为：

⎡[**************]⎤⎢[**************]⎥

⎥ H =⎢

⎢[**************]⎥⎢⎥[**************]⎣⎦12-6已知（7,3）循环码的监督关系式为： ⎧a 6+a 3+a 2+a 1=0⎪a +a +a +a =0⎪5210

⎨

a +a +a =051⎪6⎪⎩a 5+a 4+a 0=0

试求其循环码的监督矩阵和生成矩阵。 解：由监督关系式有： HA T =0

⎡⎢a 6⎤⎡⎢a ⎥⎢1001110⎤5

⎥⎡0⎤⎢0100111⎥⎢⎢a 4⎥⎢⎢1100010⎥⎢⎥⎥⎢a ⎥3

⎥=⎢0⎥

⎣0

11000

1⎥⎢⎢0⎥⎦⎢a 2⎥⎢a ⎥⎢⎣0⎥⎦⎢1⎥⎣a 0⎥⎦

由矩阵的初等变换可得典型监督矩阵

⎡⎢1011000⎤H =⎢

1110100⎥

⎢⎢1100010⎥⎥ ⎣0110001⎥⎦

根据监督矩阵和生成矩阵的关系可得生成矩阵为：

⎡1001110⎤

G =⎢⎢0100111⎥ ⎢0011101⎥

⎣⎥⎦

12-7 已知（15,5）循环码的生成多项式为g (x ) =x 10+x 8+x 5+x 4+x +1，（1）试求该码的生成矩阵；

（2）写出信息码为 m (x ) =x 4+x +1 时的码多项式。 解：（1）由生成多项式可得生成矩阵为：

⎡⎢x 14+x 12+x 9+x 8+x 5+x 4⎤⎢x 13+x 11+x 8+x 7+x 4+x 3⎥G (x ) =⎢⎢x 12+x 10+x 7⎥+x 6+x 3+x 2

⎥

⎢x 11+x 9+x 6+x 5+x 2+x ⎥⎢⎥⎣x 10+x 8+x 5+x 4+x +1⎥⎦

⎡⎢[**************]⎤[**************]⎥G =⎢⎢⎢[**************]⎥⎥

⎢[**************]⎥⎢⎥⎣[**************]⎥⎦(2)由信息码多项式得信息码元为m=（10011）,mG=A

⎡⎢[**************]⎤[**************]⎥[10011]

⋅⎢

⎢⎢

[**************]⎥⎥

⎢[**************]⎥

⎢⎥⎣0000101001

10011⎥[⎦

[**************]] 由码组可得码多项式为：

T (x ) =x 14+x 12+x 11+x 10+x 6+x 5+x 2+1

=

http://cs.fjzs.edu.cn/ketang/txyl/txtexts/txxitiwb/txli7.htm