解析几何经典例题
解析几何经典例题
圆锥曲线的定义是“圆锥曲线方程”这一章的基础,对这些定义我们有必要深刻地理解与把握。这里就探讨一下圆锥曲线定义的深层及其综合运用。 一、椭圆定义的深层运用
例1. 如图1,P 为椭圆上一动点,为其两焦点,从的外角的平分线作垂线,垂足为M ,将F 2P 的延长线于N ,求M 的轨迹方程。
图1
解析:易知
故
在中,
。
则点M 的轨迹方程为
二、双曲线定义的深层运用
例2. 如图2,为双曲线
的平分线作垂线,垂足为M ,求M 的轨迹方程。
的两焦点,P
为其上一动点,从
图2
解析:不妨设P 点在双曲线的右支上, 延长F 1M 交PF 2的延长线于N , 则即
,
在
故点M 的轨迹方程为
三、抛物线定义的深层运用 例3. 如图3,AB 为抛物线短距离。
的一条弦,|AB|=4,F 为其焦点,求AB 的中点M 到直线y =-1的最
图3
解析:易知抛物线的准线l :,
作AA ”⊥l ,BB ”⊥l ,MM ”⊥l ,垂足分别为A ”、B ”、M ”
则
即M 到直线的最短距离为2
故M 到直线y =-1的最短距离为。
评注:上述解法中,当且仅当A 、B 、F 共线,即AB 为抛物线的一条焦点弦时,距离才取到最小值。一般地,求抛物线的弦AB 的中点到准线的最短距离,只有当四、圆与椭圆、圆与双曲线定义的综合运用 例4. ①已知圆为( )
(即通径长)时,才能用上述解法。
,M 为圆上任一点,MP 的垂直平分线交OM 于Q ,则Q 的轨迹
图4
②已知圆,M 为圆上任一点,MP 的垂直平分线交OM 于Q ,则Q 的轨迹为( ) A. 圆 B. 椭圆
C. 双曲线 D. 抛物线
解析:①如图4,由垂直平分线的性质,知|QM|=|QP|, 而|QM|=|OM|-|OQ|=2-|OQ| 即|OQ|+|QP|=2>|OP|=
故Q 的轨迹是以O (0,0)、P 为焦点 长轴长为2的椭圆。应选B 。
②同理,利用垂直平分线的性质及双曲线的定义,可知点Q 的轨迹为双曲线的一支,应选C 。 五、椭圆与双曲线定义的综合运用
例5. 如图5,已知三点A (-7,0),B (7,0),C (2,-12)。①若椭圆过A 、B 两点,且C 为其一焦点,求另一焦点P 的轨迹方程;②若双曲线的两支分别过A 、B 两点,且C 为其一焦点,求另一焦点Q 的轨迹方程。
图5
解析:①由椭圆定义知,|AP|+|AC|=|BP|+|BC|, 即 故P 的轨迹为A (-7,0)、B (7,0)为焦点 实轴长为2的双曲线的一支,
其方程为;
②经讨论知,无论A 在双曲线的哪一支上
总有|QA|+|QB|=|AC|+|BC|=28>|AB|=14
故点Q 的轨迹为以A (-7,0)、B (7,0)为焦点
长轴长为28的椭圆,其方程为[练习]
。
为焦点,
为其顶点,若P 为两曲线
1. 已知椭圆E 的离心率为e ,左、右焦点为F 1、F 2,抛物线C 以的公共点,且
,则e =__________。
答案:
2. 已知⊙O :,一动抛物线过A (-1,0)、B (1,0)两点,且以圆的切线为准线,求动抛物线的焦点F 的轨迹方程。
答案:
圆锥曲线中的方法与运算
1. (与名师对话第51练) 已知抛物线
y 2=2x -1, 点A (2,0), 问是否存在过点A 的直线
l ,
使抛物线上存在不同的两点关于直线l 对称, 如果存在, 求出直线l 的斜率k 的取值范围; 如果不存在, 请说明理由.
分析: 这是一个求变量(斜率k ) 的取值范围问题, 我们必须给出与变量(斜率k ) 相关的变量(根据题设寻找) 的关系式(组), 显然, 这个关系式(组) 应由按题设揭示出的几何条件转换得到.
我们由题设揭示出的几何条件是: 抛物线上关于直线l 对称的不同的两点所在直线必须与抛物线有两个不同的交点, 并且交点为端点的线段的中点在直线l 上. 相应得到一个不等式和一个等式组成的变量关系式(组). 解这个关于式组即可得变量k 的取值范围. 解: 设直线l 的方程为
y =k (x -2) , 若k =0, 则结论显然成立, 即k =0可取. 若k ≠0,
1⎧y =-x +m , 1⎪2
y =-x +m 则直线PQ 的方程为, 由方程组⎨ 可得, y +2y -2kb +1=
0. k
k ⎪y 2=2x -1,
⎩
∵ 直线PQ 与抛物线有两个不同的交点, ∴
=4k 2-4(-2kb +1) >0, 即 k 2-1+2kb >0.
y 0=
y 1+y 2
=-k , 2
设线段PQ 的中点为G(x 0, y 0), 则∴ x 0
=-k (
y 1+y 2
) +km =-k (-k ) +km =k 2+km , 2
2
∵ 点G(x 0, y 0) 在直线l 上, ∴ -k =k (k
+km -2) , 由 k ≠0可得,
1-k 2m =
k
,
1-k 2
>0, k 2
2
综上所述, 直线l 的斜率k 的取值范围为-1
2
2. (与名师对话第51练) 已知M 直线l 过点(1,0),且与抛物线x =2y 交于A , B 两点,
O 为原点, 点 P 在y 轴的右侧且满足:OP =
(1)求点P 的轨迹C 的方程;
11
OA +OB . 22
A 到y 轴的
(2) 若曲线C 的切线的斜率为λ, 满足:MB =λMA , 点距离为a , 求a 的取值范围.
分析:由OP
11
=OA +OB 可知,点P 的轨迹C 就是弦AB 的中点的轨迹. 22
l
的斜率存在, 设为
解(1) 显然直线
k
, 则直线
l
的方程为:
y =(k x -1), 由方程组
k x -1),⎧y =(2
消去y 整理得x -2kx +2k =0, 设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) , ⎨2
⎩x =2y ,x 1+x 2=2k ,
∴
x p =
x 1+x 2
=k 2
,
y p =(k k -1)=k 2-k , 消去k
得点
P
的轨迹C 的轨迹方程为:
y =x 2-x .
∵ 4k
2
-8k >0, ∴ k 2,
y 轴的右侧, ∴ x =k >2, 故点P 的轨迹C 为抛物线y =x 2-x 上的一段弧.
轴的距离为a 就是点
∵ 点P 在分析: 点
A 到y A 的横坐标的绝对值. 因为曲线C 的切线的斜率为λ, 所以
λ=y ' =2x -1, 由x >2知, λ>3, 由此可知, 我们必须建立点A 的横坐标的绝对值关于λ的关系.
解(2): 设A (x 1, y 1)
, B (x 2, y 2) ,
则由MB =λMA 可知, (x 2, y 2) -(1,0)=λ[(x 1, y 1) -(1,0) ], ∴x 2
-1=λ(x 1-1) , y 2=λy 1 ,
=λx 1-λ+1, x 22=λx 12, ∴ [λx 1-(λ-1)]2=λx 12
≠1,
2
∴ x 2∵ λ
∴ λx 1-2λx 1+λ-1=0,
=
2λ±=1±2λ(λ>3) ,
λ
方法(一
) x 1
>3),
∴
a
=x 1=∴ a
∈(1-
⋃(1,1+. 3
3
1
方法(二)
(x 1-1) 2=
λ
, (λ>3),
∴ 0
1
λ
112
, 0
1且1-
∴ a
∈(1-
⋃(1,1+. 3
3
3. (与名师对话第51练) 已知抛物线的方程为x 为θ(0
2
=2py (p >0) , 过点M (0,m ) 且倾斜角
π2) 的直线交抛物线于A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) 两点, 且x 1x 2=-p . 2
(1)求m 的值;
(2)若点M 分
AB 所成的比为λ, 求λ关于θ
的函数关系式.
分析: 要求m 的值, 必须给出关于m 的方程. 解(1): 设过点M
(0,m ) 且倾斜角为θ(0
π2
) 的直线的方程为
y =kx +m .
⎧y =kx +m ,2
由方程组⎨消去y 整理得x -2pkx -2pm =0, 则x 1x 2=-2pm ,
2
⎩x =2py ,
∵ x 1x 2
=-p 2, ∴ -2pm =-p 2, m =
=
p . 2
(0
分析: 由m
p
可知过点M (0,m ) 且倾斜角为θ2π2
) 的直线为
y =kx +
p
. 先建立关于2
k 的函数关系式, 再转换为关于θ的函数关系式. 解(2): ∵ 关于θ的函数关系式,
⎧x 1=-λx 2,
p p ⎪
∴ AM =λMB , (0,) -(x 1, y 1) =λ[(x 2, y 2) -(0,)], ⎨p p
22-y 1=λ(y 2-), ⎪⎩22
由(1)可知x 1+x 2
=2pk , x 1x 2=-p 2,
⎧x 1=-λx 2,
⎪22
由方程组⎨x 1+x 2=2pk , 可消去x 1, x 2, p 得, λ-2(2k +1) λ+1=0.
⎪2x x =-p , ⎩12
∵ 0
π
, ∴ λ
2
2
2
(1-sin θ) 21-sin θ
故λ=2k +1-2
2tan θ+1-2tan ==
1+sin θcos 2θ
4. (与名师对话第51练)
已知方向向量为v =(1.
的直线l 过点(0,-2)和椭圆
x 2y 2
C:2+2=1 a b
(a >b >0) 的焦点, 且椭圆C 的中心关于直线l 的对称点在椭圆C 的右准线上.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)是否存在过点E(-2,0)的直线m 交椭圆C 于M , N , 满足:OM
⋅ON =
cot ∠MON ≠0(O 为原点) ? 若存在, 求出直线m 的方程; 若不存在, 请说明理由.
x 2y 2
+=1,F 是它的左焦点,M 6.(与名师对话第52练20) 椭圆C 的方程为
189
是椭圆C 上的一个动点,O 为坐标原点.
(1) 求(2) 若标.
解(1): 设点G (x , y ) (y≠0) , M(x1,y 1) 由题设可知
,F(-则x
OFM 的重心G 的轨迹方程;
OFM 的重心G 对原点和点P(-2,0)的张角∠OGP 最大, 求点G
的坐
)
=
x 1-3y
,y =133
, ∴ x 1=3x +3,y 1=3y ,
∴
2
(x +1)
OFM 的重心G 的轨迹方程为+y 2=1 (y ≠0).
2
2
(x +1)
+y 2=1的两个焦点. 下面证明当点P(-2,0)是椭圆
2
(2) 由(1)可知, 原点和点M 与椭圆
2
(x +1)
+y 2=1的短轴的端点重合时张角∠OGP 最大. 2
方法(一) 用椭圆的定义
设椭圆C 上的一个动点M 到椭圆的两个焦点的距离为r 1、r 2,则由椭圆的定义可知r 1+r 2=2
2.
在∆MOP 中,
r 1+r 2-OP 2
COS ∠OGP =
2r 1r 2
22
r 1+r 2-4(r 1+r 2) 2-4-2r 1r 2==
2r 1r 22r 1r 2
(当且仅当r 1
22
(22) 2-4-2r 1r 244
==-2+≥-2+
r 1r 2(r 1+r 2) 22r 1r 2
4
=0
∴ 当r 1
=r 2时, 等于号成立)
=r 2, 即点
M 与短轴的端点重合时张角∠OGP 最大, 最大角为90, 这时点M 的坐标为
(-1,1)、(-1,-1).
方法(二) 用椭圆的焦半径公式
2
(x +1)x 22
+y 2=1, 原张角+y =1平移到中心在原点的位置, 这时椭圆的方程为将椭圆
22
∠OGP
就是在点P 处的两条焦半径的夹角. 设点P 的坐标为(
x 0,y 0
),
则
22
x 0)+x 0)-4
x 0211cos ∠F 1PF 2===⋅x 02∈[0,2] 22-x 02)2-(22x 02当x 0
=0时, cos ∠F 1PF 2=0, 当x 02∈(01],, (0,2]时, cos ∠F 1PF 2∈
∠F 1PF 2的最大值为900, 这时相应点P 的坐标为(0,±1), 在椭圆的原位置
故cos ∠F ,, 1PF 2∈[01]相应点P 的坐标为(-1,±1).
7.
x 2y 2
-=1的两个焦点F 1,F 2的距 (与名师对话第52练21) 已知动点P 与双曲线
23
1. 9
离之和为定值, 且cos ∠F 1PF 2的最小值为-(1) 求动点P 的轨迹方程;
(2) 若已知点D (0,3),点M ,N 在动点P 的轨迹上, 且DM 数λ的取值范围
;
=λDN , 求实
(3) 若已知点D (1,1), 点M ,N 在动点P 的轨迹上, 且MD =DN , 求直线
MN 的方程.
x 2y 2
-=1的两个焦点F 1,F 2为其焦点 分析: 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线
23
的椭圆, 因此动点P 的轨迹方程可以用待定系数法求得.
x 2y 2
-=1的两个焦点F 1,F 2为其焦点 解(1): 由题设可知, 动点P 的轨迹是以双曲线
23x 2y 2
的椭圆, 设其方程为2+2=1 (a >b >0).
a b
可以证明(仿例6) 当动点
P
在椭圆的短轴的端点时
cos ∠F 1PF 2
的值最小, 这时
1012a 2-201022
1-=-cos ∠F 1PF 2==1-, ∴ , a =9. ∴ b =4, 222
a 92a a
x 2y 2
+=1. ∴ 动点P 的轨迹方程为94
分析: 由DM
=λDN 可知, 点D , M , N 共线, 直线
MN 的变化可以用其斜率表示(直线的方程为
y =kx +3, 这时要
下面用直线方程
k 作讨论), 也可以用t 表44z 示(直线的方程为x =t (y -3) , 这时不需要对t 作讨论).
y =kx +3求解.
解法(一): 由DM =λDN 可知, 点D , M , N 共线.
1
=或λ=5. 5
若直线MN 的斜率不存在, 则λ
⎧y =kx +3,
若直线MN 的斜率存在, 设直线MN 的方程为y =kx +3, 则由方程组⎨可得,
22
⎩4x +9y =36, (9k 2+4) x 2+54kx +45=0,
设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则x 1+x 2
=
-54k 45
, x x =. 12
9k 2+49k 2+4
又由DM
=λDN 可得, x 1=λx 2,
45-54k -54k λ(54k ) 2λ
, x =∴ x 1=, ∴ =2
(1+λ)9k 2+4(1+λ)9k 2+4(1+λ) 2(9k 2+4) 29k 2+4
59k 2+454λ
⋅=⋅(9+) . =∴
k 2324k 2(1+λ) 2324
∵ ∆=(54k )
2
-4⨯45(9k 2+4) ≥0, ∴ k 2≥
5
. 9
∴
115λ1
5536(1+λ) 4
综上所述,
1
≤λ≤5. 5
分析:用点M , N 的坐标表示直线MN 的变化. 解法(二): 由DM
=λDN 可知, 点D , M , N 共线.
x 12y 12x 22y 22
+=1, +=1. 设M (x 1, y 1), N (x 2, y 2) , 则9494
∵ DM
=λDN , ∴ x 1=λx 2 , y 1=λy 2-3λ+3,
∴
λ2x 22
9λ2x 22λ2y 22(λy 2-3λ+3) 2
+=λ2. +=1,
944
3(2λy 2-3λ+3)(1-λ) (λy 2-3λ+3) 2λ2y 22
=1-λ2, -=1-λ2, ∴
444
∴ λ
=1或
3(2λy 2-3λ+3) 113λ-5
=1+λ, -2≤y 2=≤2, λ>0解得≤λ≤5.
546λ
(x 0≠0) 作斜率 (x 0,y 0)y =ax 2(a
8. 抛物线C 的方程为
为k 1,k 2的两条直线分别交抛物线C 于. k 2+λk 1=0(λ≠0且λ≠-1)
A (x 1, y 1), B (x 2, y 2) 两点(P 、A 、B 三点各不相同), 且满足
(1) 求抛物线C 的焦点坐标和准线方程; (2) 设直线(3)当λ
AB 上一点M 满足:BM =λMA , 证明线段PM
的中点在
y 轴上;
=1时, 若点P 的坐标为(1,-1),求∠PAB 为钝角时点A 的纵坐标y 1的取值范围.
分析: 将a 看作常量. 解(1): 抛物线C 的方程为
x 2=
1
y (a
C 的焦点坐标为(014a
), 准线方程为
y =-
1. 4a
分析: 从形式上看, 线段PM 的中点坐标与k 1、k 2、λ相关, 而实际上肯定横坐标可以消元为0.
解(2): 由题设可知, 直线PA 的方程为:
(+y 0,⎧y =k 1x -x 0)
, 由方程组可y =k (x -x )+y ⎨1002
⎩y =ax ,
得, ax
2
-k 1x +k 1x 0-y 0=0, 即ax 2-k 1x +k 1x 0-ax 02=0,
=
k 1k
-x 0, 同理 x 2=2-x 0, a a
∴ x 1
∵ BM ∵ k 2
, x M ==λMA , ∴ x M -x 2=λ(x 1-x M )
λx 1+x 2
=
1+λ
λ(
k 1k
-x 0)+(2-x 0)
1+λ
, ∴ x M =-x 0, +λk 1=0(λ≠0且λ≠-1)
∴ 线段PM 的中点横坐标为0, 即线段PM 的中点在分析:
y 轴上.
解(3): 由题设和题(2)可知, 抛物线C 的方程为
y =-x 2
,
, 又λ=1, 故x 1=-(k 1+1)
x 2=k 1-1,
∴
22, B A ((-k 1+1),-(k 1+1))(k 1-1,-(k 1-1))
∴
, AP =, AB =(2k 1,4k 1)(k 1+2,k 12+2k 1)
∵
∠PAB
为钝角,
P 、A 、B
三点各不相同, ∴
AP ⋅AB
即有
∴ k 1∴ ∴
1
1
y 1=(k 1+1) 2, k 1
y 1
1. 4
9. 已知椭圆C 的中心在原点, 焦点在X 轴上,
一条经过点(3交椭圆C 于A,B 两点, 交X 轴于M 点, 又
(1) 求直线l 的方程;
(2) 求椭圆C 的长轴长的取值范围. 解(1): 直线l
的方程为
且方向向量为a =的直线l
(-2AM =2MB .
y =x -3)-分析: “直线l 与椭圆C 有两个不同的交点”可以转化为一个关于a ,b 的不等式, 向量等式
AM =2MB 可以转化为一个关于a ,b 的等式.
解(2):
⎧422⎪y =x -3)
22
由方程组⎨可得(b +a )y y +b 2-a 2b 2=0. 5⎪b 2x 2+a 2y 2=a 2b 2,
⎩
b 2-a 2b 2
设设A (x 1, y 1) , B (x 2, y 2) ,
则y 1+y 2=. ,y 1y 2=
24b +a 2b 2+a 255
由
AM =2MB 可知, y 1=2y 2 ,
b 2-a 2b 2
∴
y 1=y 2=∴ =
42422
b +a 2(b 2+a 2)b +
a 2b 2+a 2
5555
2
5a (a 2-1)
>0 ∴ 4b =
9-a 2
2
322
b ,
∵
=(224
) -4(b 2+a 2)(b 2-a 2b 2) >0, ∴ 5a 2+4b 2>5,
52
⎧5a 2(a 2-1)
⎧5a (a -1) >0, ⎪2>0, ⎪9-a ⎪2∴ ⎨9-a 2 ∴ ⎨ 1
22
⎪5a 2+5a (a -1) >5, ⎪5a 2+4b 2>5,
⎩⎪9-a 2⎩
2
2
415a (a 2-1)222
a 9, 9
9-a
222
∴ 1
a 2
41, 1
2
. , 即椭圆C 的长轴长的取值范围为10. 自点
A (0,-1) 向抛物线C:y =x 2作切线AB, 切点为B , 且点B 在第一象限, 再过线
段AB 的中点M 作直线l 与抛物线C 交于不同的两点E,F, 直线AE,AF 分别交抛物线C 于P,Q 两点. (1) 求切线AB 的方程及切点B 的坐标; (2) 证明PQ =λAB
(λ∈R ) .
(x 0, y 0)
, 过点B 的切线的方程为
解(1): 设切点B
的坐标为
y =2x 0(x -x 0) +x 02,
∵ 切线过点
A (0-, 1) , ∴ -1=2x 0(-x 0) +x 20, x 0=1,
∵ 点B 在抛物线上, ∴ ∴ 切线AB 的方程为 分析: 即证明
y 0=1,
y =2x -1, 切点B 的坐标为(1,1).
AB ∥PQ .
M
的坐标为
(2) 证明: 由(1)可知, 线段AB 的中点
1
(,0) , 设直线l 2
的方程为
1
y =k (x -) , E (x 1, x 12) , F (x 2, x 22) , P (x 3, x 32) , Q (x 4, x 42) .
2
1⎧
y =k (x -), 11⎪
由方程组⎨2 可得x 2-m x +m =0, 故x 1+x 2=m , x 1x 2=m .
22⎪y =x 2,
⎩
PQ =(x 4-x 3, x 42-x 32) =(x 4-x 3)(1, x 4+x 3) .
x 32+1x 12+1
∵ A,E,P三点共线, ∴ =, x 1x 3=1 , 同理x 2x 4=1,
x 1x 3
∴ PQ =(
x +x 2(x 1-x 2) 1111x -x
-)(1,+) =12(1,12) =(1,2) x 2x 1x 2x 1x 1x 2x 1x 2m
2(x 1-x 2)
∈R ) .
m
由
AB =(1,2)可知, PQ =λAB (其中λ=
x 2y 2
11. 设双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右顶点为A, P 为双曲线上异于点A 的一个动点, 从A 引双
a b
曲线的渐近线的两条平行线与直线OP 分别交于Q 和R 两点.
(1) 证明:无论P 点在什么位置, 总有
2
OP =OQ ⋅OR
(O为坐标原点);
(2) 若以OP 为边长的正方形的面积等于双曲线的实, 虚轴围成的矩形的面积, 求双曲线的离心率的取值范围.
(1) 证明: 设直线OP 的方程为
y =kx , 直线
AR 的方程为
y =
b
(x -a ) a
, AQ 的方程为
b
y =-(x -a ) .
a
b ⎧y =(x -a ), -ab -kab -ab -kab ⎪
R (, ) (, ) , OR 由方程组⎨ 得 , ∴ =a
ak -b ak -b ak -b ak
-b ⎪y =kx , ⎩
同理OQ =(
ab kab
, ) ,
ak +b ak +b
=
∴
OQ ⋅OR
-ab -kab -ab -kab (, ) ⋅(, ) ak -b ak -b ak -b ak -b
a 2b 2(1+k 2)
=.
a 2k 2-b 2
设P (m , n ) ,
⎧x 2y 2
a 2b 2k 2a 2b 2⎪2-2=1, 22
由方程组⎨a 得m =2, n =2b 22
b -a k b -a 2k 2
⎪y =kx , ⎩
a 2b 2(1+k 2)
∴ OP =. 222
b -a k
2
∵ 直线OP 过原点, ∴ b
2
-a k >0, ∴ OP =OQ ⋅OR
22
2
.
(2) 解: 由题设知,
a 2b 2(1+k 2) 4b 2-ab 2
>0, =4ab , k =222
b -a k ab +4a 2
2
b 2又k
a
解得a
圆锥曲线的一个统一性质
4b 2-ab b 2
a ab +4a
, (恒成立))
e >
———由一道高考题引发出的思考
题(2001年全国·理):
设抛物线y 2=2px(p>0)的一个焦点为F ,经过点F 的直线交抛物线于A 、B 两点,点C 在抛物线的准线上,且BC ∥x 轴。证明:直线AC 经过原点O 。
参考答案给出了如下的几何证法:
证明:如图,记x 轴与抛物线准线l 的交点为E , 过A 作AD ⊥l ,D 是垂足.则 AD ∥FE ∥BC . 连结AC ,与EF 相交手点N ,则
|EN ||CN ||BF ||NF ||AF |
==, =
|AD ||AC ||AB ||BC ||AB |
根据抛物线的几何性质,|AF |=|AD |,|BF |=|BC |
∴|EN |=
|AD |⋅|BF ||AF |⋅|BC |
==|NF |,
|AB ||AB |
即点N 是EF 的中点,与抛物线的顶点O 重合, 所以直线AC 经过原点O .