巧解抛物线的对称性和平移问题
龙源期刊网 http://www.qikan.com.cn
巧解抛物线的对称性和平移问题
作者:刘诗根
来源:《读写算·基础教育研究》2016年第06期
在二次函数一章中抛物线的对称性和平移问题是一个重点内容,也是中考常考的知识点。掌握其对称和平移的规律能为我们解题带来很多方便,也能为我们从中节省很多时间。
一.抛物线关于x轴、y轴、原点对称的抛物线的解析式。对于求抛物线顶点式:y=a(x-h) +k关于x轴、y轴、原点对称的解析式,学生很容易想到先找到其顶点(h,k)关于x轴、y轴、原点的对称点,再根据对称后的开口方向决定是a还是-a,从而得出对称后的解析式。可对于求一般式y=ax +bx+c关于x轴、y轴、原点对称的解析式时,学生还是想到先将其化为顶点式后,再根据顶点式来求其对称后的解析式。这样做固然正确,但解答过程比较繁琐。其实抛物线的对称规律与点的对称规律一样:关于x轴对称横坐标不变,纵坐标变为它的相反数;关于y轴对称纵坐标不变,横坐标变为其相反数;关于原点对称横、纵坐标都变为它的相反数。
例:求抛物线y=-2x +3x-6关于x轴对称的抛物线的解析式时只需将y变为-y,即:-y=-2x +3x-6,然后化为一般形式y=2x -3x+6即可;求抛物线y=-2x +3x-6关于y轴对称的抛物线的解析式时只需将x变为-x ,即:y=-2(-x) +3(-x)-6,然后化为一般形式y=-2x -3x-6即可;求抛物线y=-2x +3x-6关于原点对称的抛物线的解析式时将x变为-x, y变为-y,即:-y=-2(-x) +3(-x)-6,然后化为一般形式y=2x +3x+6即可。
二.求抛物线上、下、左、右平移的抛物线的解析式。对于求抛物线顶点式:y=a(x-h) +k上、下、左、右平移后的解析式学生也不是问题,即:上加下减,直接加、减在k上,左加右减,直接加、减在x上,而对于求一般式y=ax +bx+c平移后的解析式时学生也想到将其化成顶点式后再平移。其实没这个必要,也可直接在一般式中进行,即上或下平移时直接在c上加或减,左或右平移时直接在x上加或减。例:将抛物线y=5x -2x+6向右平移3个单位再向上平移2个单位的解析式为:y=5(x-3) -2(x-3)+6+2,化为一般式得:y=5x -32x+59。 其实,这些规律学生也并非不能接受。因为抛物线是由一些点组成的图形,其对称性自然满足点的对称规律。平移只需总结出:上、下平移直接加、减在常数项上,左、右平移直接加、减在自变量上即可。