01-分类讨论思想例题含解析

分类讨论思想例题分析

[线段中分类讨思想的应用]——线段及端点位置的不确定性引发讨论。 例1已知直线AB 上一点C ，且有CA=3AB，则线段CA 与线段CB 之比为_3：2_或_3：4____。

练习：已知A 、B 、C 三点在同一条直线上，且线段AB=7cm，点M 为线段AB 的中点，线段BC=3cm，点N 为线段BC 的中点，求线段MN 的长.

解析：(1)点C 在线段AB 上： (2)点C 在线段AB 的延长线上 例2下列说法正确的是（ ）

A 、 两条线段相交有且只有一个交点。

B 、如果线段AB=AC那么点A 是BC 的中点。

C 、两条射线不平行就相交。

D 、不在同一直线上的三条线段两两相交必有三个交点。

[

OM 平分∠AOB ，ON 平分∠BOC ，[练习]已知∠AOB =60o , 过O 作一条射线OC ，射线OE 平分∠AOC ，射线

OD 平分∠AOB 60o 这两种情况下，都有∠DOE===30o

22

小结：（对分类讨论结论的反思）——为什么结论相同？虽然∠AOC 的大小不确定，但是所求的∠DOE 与∠AOC 的大小无关。我们虽然分了两类，但是结果是相同的！这也体现了分类讨论的最后一个环节——总结的重要性。

[三角形中分类讨论思想的应用]

一般有以下四种类型：一是由于一般三角形的形状不确定而进行的分类；二是由于等腰三角形的腰与底不确定而进行的分类；三是由于直角三角形的斜边不确定而进行的分类；四是由于相似三角形的对应角(或边) 不确定而进行的分类。

1、三角形的形状不定需要分类讨论

2AD =BD ·DC ，例4、 在△ABC中，∠B＝25°，AD 是BC 上的高，并且则∠BCA

的度数为_____________。

解析：因未指明三角形的形状，故需分

类讨论。 如图1，当△ABC的高在形内时，

2AD =BD ·DC ，由 得△ABD∽△CAD，进而

可以证明△ABC为直角三角形。由 ∠B＝

25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝

65°。 如图2，当高AD 在形外时，此时

2AD =BD ·DC ，△ABC为钝角三角形。 由

得△ABD∽△CAD 所以∠B＝∠CAD＝25°

∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°

2、等腰三角形的分类讨论：

a、在等腰三角形中求边：等腰三角形中，对给出的边可能是腰，也可能是底边，所以我们要进行分类讨论。

例5、已知等腰三角形的一边等于5，另一边等于6，则它的周长等于_________。

[练习]若等腰三角形一腰上的中线分周长为9cm 和12cm 两部分，求这个等腰三角形的底和腰的长。

简析：已知条件并没有指明哪一部分是9cm ，哪一部分是12cm ，因此，应有两种情形。若

11⎧⎧+=9, +x x x x =12, ⎪⎪⎪⎪22设这个等腰三角形的腰长是x cm ，底边长为y cm ，可得⎨或⎨解得

⎪1x +y =12, ⎪1x +y =9. ⎪⎪⎩2⎩2

⎧x =6, ⎧x =8, 或⎨即当腰长是6cm 时，底边长是9cm ；当腰长是8cm 时，底边长是5cm 。 ⎨y =9, y =5. ⎩⎩

b 、在等腰三角形中求角：等腰三角形的一个角可能指底角，也可能指顶角，所以必须分情况讨论。

例6、已知等腰三角形的一个内角为75°则其顶角为（ ）

A. 30°B. 75°C. 105°D. 30°或75°

[练习]1、等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为45°，求这个等腰三角形的顶角的度数。

简析：依题意可画出图1和图2两种情形。图1中顶角为45°，图2中顶角为135°。

2、在ΔABC 中，AB=AC，AB 的中垂线与AC 所在直线相交所得的锐角为50°，则底角∠B=____________。

3、直角三角形中，直角边和斜边不明确时需要分类讨论

例7、 已知x ，y 为直角三角形两边的长，满足

的长为_____________。

解析：由x 2-4+y 2-5y +6=0，则第三边x 2-4+y 2-5y +6=022y x -4=0，可得且-5y +6=0

⎧x 1=2⎧x 2=2⎨⎨y =2y =3 分别解这两个方程，可得满足条件的解⎩1，或⎩2

由于x ，y 是直角边长还是斜边长没有明确，因此需要分类讨论。

22 当两直角边长分别为2，2时，斜边长为2+2=22；

当直角边长为2，斜边长为3时，另一直角边的长为；

当一直角边长为2，另一直角边长为3时，斜边长为。

综上，第三边的长为2或或。

4、相似三角形的对应角(或边) 不确定而进行的分类。

例8、如图所示，在△ABC 中，AB =6，AC =4，P 是AC 的中点，过P 点的直线交AB 于点Q ，若以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形相似，则AQ 的长为（ ）

(A)3(B)3或4

3(C)3或

34 (D)43

B C

析解：由于以A 、P 、Q 为顶点的三角形和以A 、B 、C 为顶点的三角形有一个公共角（∠A ），因此依据相似三角形的判定方法，过点P 的直线PQ 应有两种作法：一是过点P 作PQ

AQ AP AQ 2，即=，解得AQ =3；二是过点P =64AB AC

AQ AP AQ 2作∠APQ =∠ABC ，交边AB 于点Q ，这时 APQ ABC ，于是有，即=，=46AC AB

44解得AQ =. 所以AQ 的长为3或，故应选(B)。 33∥BC ，这样根据相似三角形的性质可得

四、本节小结

分类讨论思想是在解决问题出现不确定性时的有效方法。线段及端点的不确定；角的一边不确定；三角形形状不确定；等腰三角形腰或顶角不确定；直角三角形斜边不确定；相似三角形对应角（边）不确定等，都需要我们正确地运用分类讨论的思想进行解决。分类讨论思想不仅可以使我们有效地解决一些问题，同时还可以培养我们的观察能力和全面思考问题的能力。