文科解三角形练习题及解答
开封高中2016届高一数学综合卷三
一、选择题
1. 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对边的长分别为a ,b ,c ,若b +c =2a ,3sin A=5sin B,则角C =( B )
π2π3π5πA. B. C. D. 3346
12. 在△ABC 中,a =3,b =5,sin A=,则sin B=( B ) 3
155 B. C. D .1 593
3.在锐角△ABC 中,角A ,B 所对的边长分别为a ,b. 若2asin B=3b ,则角A 等于( A )
ππππ C. D. 34612
14.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c. 若asin Bcos C+csin Bcos A=b ,2
ππ2π5π且a>b,则∠B =( A ) B. C. D. 6336
ππ5.△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知b =2,B =,C =ABC 64
的面积为( B )A .2 3+2 B. 3+1 C.2 3-2 D. 3-1
6. △ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c. 若B =2A ,a =1,b =3,则c =( B )
A .2 3 B .2 C. 2 D .1
7. 设△ABC 的内角A ,B ,C 所对的边分别为a ,b ,c ,若bcos C+ccos B=asin A,则△ABC 的形状为( A ) A .直角三角形 B .锐角三角形 C .钝角三角形 D .不确定
二.解答题
8.设△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,(a+b +c)(a-b +c) =ac.
(1)求B ;(2)若sin Asin C=3-1,求C. 4
解:(1)因为(a+b +c)(a-b +c) =ac ,所以a 2+c 2-b 2=-ac. 由余弦定理得cos B =a 2+c 2-b 21=-,因此B =120°. 2ac 2
(2)由(1)知A +C =60°,所以cos (A-C) =cos Acos C+sin Asin C=cos Acos C-sin Asin
3-113C +2sin Asin C=cos(A+C) +2sinAsin C2×=A -C =30°或A -C =-242
30°,
因此C =15°或C =45°.
9. 如图1-6,在等腰直角△OPQ 中,∠POQ =90°,OP =2 2,点M 在线段PQ 上. 若OM =5,求PM 的长;
图1-6
解:在△OMP 中,∠OPM =45°,OM 5,OP =2 2,
由余弦定理得,OM 2=OP 2+MP 2-2OP·MP·cos 45°,得MP 2-4MP +3=0, 解得MP =1或MP =3.
10.在△ABC 中,角A ,B ,C 对应的边分别是a ,b ,c. 已知cos 2A-3cos(B+C) =1.
(1)求角A 的大小; (2)若△ABC 的面积S =5 3,b =5,求sinB sin C的值.
解:(1)由cos 2A-3cos(B+C) =1,得2cos 2A +3cos A-2=0,
1即(2cos A-1)(cos A+2) =0,解得cos A=或cos A=-2(舍去) . 2
π因为0<A <π,所以A =. 3
1133(2)由S =bc sin A=bc =5 3,得bc =20,又b =5,知c =4. 2224
由余弦定理得a 2=b 2+c 2-2bc·cos A=25+16-20=21,故a 21.
b c bc 2035又由正弦定理得sin Bsin C=sin A·=sin 2A =a a a 2147
11.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,已知sin Asin B+sin Bsin C+cos
2πa 2B =1. 若C 的值. 3b
解:由题意得sin Asin B+sin Bsin C=2sin 2 B,
因为sin B≠0,所以sin A+sin C=2sin B,
2π由正弦定理,有a +c =2b ,所以c =2b -a ,由C ,及余弦定理得(2b-a) 2=a 2+b 23
+ab ,
a 3即有5ab -3b 2=0,所以. b 5
12. 在△ABC 中,内角A ,B ,C 所对的边分别是a ,b ,c. 已知bsin A=3csin B,a =
23,cos B=3
(1)求b 的值;
π(2)求sin (2B - 3
a b 解:(1)在△ABC 中,由bsin A=asin B,又由bsin A=3csin B,可得sin Asin B
2a =3c ,又a =3,故c =1. 由b 2=a 2+c 2-2accos B,cos B=b =6. 3
251(2)由cos B=,得sin B=,进而得cos 2B=2cos 2 B-1=-,sin 2B=2sin Bcos B339
4 =9πππ4 5+3所以sin2B -=-. 33318
13.在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A
3+C) 5
(1)求sin A的值;
→→(2)若a =4 2,b =5,求向量BA 在BC 方向上的投影.
3解:(1)由cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin(A+C) =- 5
3得cos(A-B)cos B-sin(A-B)sin B=-. 5
33则cos(A-B +B) ,即cos A=- 554又0
(2)由正弦定理,有a b =, sin Asin B
bsin A2所以,sin B==. a 2
π由题知a>b,则A>B,故B =. 4
根据余弦定理,有
3, (4 2) 2=52+c 2-2×5c ×⎛⎝5解得c =1或c =-7(负值舍去) .
2→→→故向量BA 在BC 方向上的投影为|BA|cos B=2
14.在锐角△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且2asin B= 3b.
(1)求角A 的大小;
(2)若a =6,b +c =8,求△ABC 的面积.
a b 解:(1)由2asin B= 3b 及正弦定理= sin Asin B
π 3sin A=. 因为A 是锐角,所以A =. 23
(2)由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得b 2+c 2-bc =36. 又b +c =8,所以bc =
17 3由三角形面积公式S ,得△ABC 的面积为. 23
15.在△ABC 中,内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c ,且a 2=b 2+c 2+3bc.
(1)求A ;
(2)设a =3,S 为△ABC 的面积,求S +3cos Bcos C的最大值,并指出此时B 的值.
b 2+c 2-a 2-3解:(1)由余弦定理得cos A==. 2bc 2bc 2
5π又因为0
1(2)由(1)得sin A=,又由正弦定理及a 3得 2
11asin BS =·asin C=3sin Bsin C, 22sin A
因此,S +3cos Bcos C=3(sin Bsin C+cos Bcos C)=3cos(B-C) .
π-A π所以,当B =C ,即B 时,S +3cos Bcos C取最大值3. 212