圆锥曲线一般方程的参数化问题
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数学通报2015年第54卷第6期
圆锥曲线一般方程的参数化问题
朱正元
(中央民族大学理学院100081)
1
引言
参数t取值同上.
在新课标高中数学教材中,对于椭圆、双曲线此即(2.1)的参数方程,而t的几何意义是表示过和抛物线三种圆锥曲线的参数方程都作了介绍,P。点的直线的斜率.
但通常是从标准方程进行参数化的.由于参数方程应该指出,如果曲线通过原点,则不需再作移有着广泛的应用,本文将讨论几种关于圆锥曲线一轴;如果曲线不通过原点,可取P。(z。,Y。)为曲线般方程参数化的简便方法,且几何特征也较明显.与坐标轴的交点会比较简便.
2圆锥曲线一般方程的参数化
方法二假设(2.1)可以写作
设在直角坐标系下圆锥曲线方程为
胡一弦=0
(2.8)
F(x,y)三以z2+2^z3,+63,2+29z+2乃+c—O
形式,其中a,J|9,7,艿均是z,Y的一次函数.n2+h2+b2≠0
(2.1)
令
求其参数方程.
口一W
(2.9)
方法一
在曲线F(z,y)=0上,任取一点
则有
Po(zo,Yo),则
目t=艿
(2.10)
F(z。,Yo)=0
(2.2)
将(2.9)与(2。lO)两个方程联立,即可将z,Y用t取P。为新原点,作移轴
的有理函数表示.
∞鼻耋
陇3,
以下分别讨论双曲线、抛物线方程参数化的一些方法.
则(2.1)化为3双曲线方程的参数化
凹72+2hx7Y7+by72+297z7+2厂y7=0(2.4)
其中
(1)对于双曲线标准方程
97=盯o+hyo+g,厂=h:co+byo+厂(2.5)
等一菩b一1
2
1
(3.1)、u。1
7
口2
过P。作直线Y7一tx7(t是参数),则此直线与(2.4)的交点除原点外将是:
如果化为参数方程,除令詈一sec臼可得其参数方
。
一,一一2(,7f+97)
&2+2ht+乜
(2・6’
程/Ixv一=6atsaenc;之外,还可以用下述方法求得.
J
√一二绁!!±鲤
2+2ht+口
我们知道
bt
其中£≠_』‘一矗± ̄/^2一口6)/6,^2一口6≥o,6≠o
三一y,=0
(3.2)
l-a/2h,6—0,^≠0
为它的一条渐近线,则与它平行的直线为
利用(2.3)、(2.5)和(2.6)可得
三一孚一£参数£≠0
(3.3)
J“
,,一丝!!!二;!垫!±金!二坚!二兰堑!二!堑
沈2+2忽+n于是(3.1)可以写作
1.,一二!!堑!±垫!±!盟!:二墨!坚!±曼!!±型!
J
幻2+2ht+口
£(三+孚)一1
(3.4)
将(3.3)与(3.4)联立,解得
万方数据
2015年第54卷第6期数学通报
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fz一号(÷+t)
。y一虿lt一‘J
b,1
。、
(2)当曲线F(z,Y)一0表示双曲线时,可用同样方法求它的参数方程.
设
y—mx+k
(3.6)
为F(x,y)的一条渐近线,它与原曲线相交于两个无穷远点,将(3.6)代入原方程,则z2和z的系数应为0.因为这里只需确定渐近线的方向优,故令z2的系数为0,即
口+2hm+bm2—0
(3.7)
又与渐近线(3.6)平行的直线为
Y一眦+A,A是参数
(3.8)
将(2.1)与(3.8)联立并利用(3.7),解得
一一一
:塑!±星盆±£
j4
2@+6re)。A.-{-2(g+fm’
(3.9)
【一(2h+bin)A2+29A—fm
J
2(^+bm)A+2(g+加)
其中,若h+bm:J:O,则A≠一万g+再f磊m,若h+bin一
0,设g+加≠0,此时一。。<A<Cx3.
4抛物线方程的参数化
(1)对于抛物线标准方程
y2—2px
(4.1)
如果化为参数方程,除令了=2pt得其参数方程
r:2pt2之外,还可以用下述方法求得.
Iy52pt
我们知道,它的一组平行弦中点的轨迹是一条与主轴平行的直线,即抛物线的直径.它的方程为
y=t,t为参数
(4.2)
与原方程联立,解得
广一巧
—cxD<t<+。。
(4.3)
、y—t
(2)当曲线F(z,y)一0表示抛物线时,可用同样的方法求它的参数方程.
若口≠o,利用抛物线的判别条件h2--ab=0,将F(x,y)一0改写为
F(x,y)=(ax+hy)2+2agx+2afy+凹一0
(4.4)
可以求得它的直径方程
纰+hy+A一0,A是参数
(4.5)
万方数据
于是(4.4)可写作
2agx+2afy+aC+A2=0
(4.6)
将(4.5)与(4.6)联立,设以(口厂一gh)≠0解得
h2A2—2口以+ach
J。
2a(。af--砂)
~。。<A<+。。
l,,一二堡(墨!二!照±丝2
。
2a(af—gh)
(4.7)
5
n次代数曲线方程参数化简述
对于强(≥2)次代数曲线方程的参数化可利
用直线与曲线的重复点的方法加以讨论,限于篇幅,以下只给出一些基本结论.
在曲线的参数方程
z一厂(t),y—g(t)tl≤t≤t2
(5.1)
中,如果f(t)与g(£)均为参数t的有理函数,则
此曲线称为有理曲线.如果曲线方程
F(z,y)=0
(5.2)
的左端可表成
F(x,y)一∑A加z’Y。
其中P、q是正整数或零,且max(P+q)一,z,则(5.2)所表示的曲线称为平面咒次代数曲线,简称z=zo+It,y=yo+mt
一∞<t<+。。
(5.3)
代入(5.2)可得如下形式:
F(xo+It,yo+mt)一no+口lt+…+a.t”一0
(5.4)
在方程(5.4)中,如果假设
no一口l一…一口rl=0,0<夕<72,则无论z、m取何值,t有P个零根,也就是直线(5.3)与曲线(5.2)有P个交点重合于点P。(z。,
y。).将点P。(z。,Y。)称为曲线的P次重复点.
譬如,圆锥曲线是无重复点的有理曲线;如果
九次曲线有去(n--1)(n--2)个二重点,则它是有
理曲线.
参考文献
1高存明主编.普通高中课程标准实验教科书B版(数学选修4
—4)[M].北京:人民教育出版社,2007
2朱鼎勋等.空间解析几何[M].北京:北京师范大学出版
社,1984
咒次曲线.将直线方程