现代控制理论习题答案(2)

第二章

0102-3 已知矩阵A001,试用拉氏反变换求eAt 2540s1s1 解：sIA025s4

s24s5s41

1

(sIA)12s(s4)s(s1)2(s2)2

2s25ss

21(s1)2s2



222

(s1)2s1s2244

2

s1s2(s1)

322



(s1)2s1s2354



(s1)2s1s2388



(s1)2s1s2

122

 2(s1)s1s2



122



(s1)2s1s2134

2

(s1)s1s2

s24s5s41

1

(sIA)12s(s4)s(s1)2(s2)2

2s25ss

21(s1)2s2



222

(s1)2s1s2244

2

s1s2(s1)

322



(s1)2s1s2354



(s1)2s1s2388



(s1)2s1s2

3tet2et2e2t3tet5et4e2t3tet8et8e2t

122



(s1)2s1s2



122

2

(s1)s1s2134



(s1)2s1s2

tetete2t



tet2et2e2t tet3et4e2t

eAtL1(sIA)1



2tete2t



2e2t2tet2et2tet4et4e2t

2-4 用三种方法计算以下矩阵指数函数eAt, （1） A

01

 40

解：（1）化为约旦标准型

IA

12

40 12j,22j 

4

1

1

1

T112j2j

 T1

2

114j 2

4j

2jt

eAtTT

1

1

1e01

14j2j2j0

e2jt21

12

4j

1

(e2jte2jt)1j(e2jte2jt)2412jt2jt1cos2tj(ee))2(e2jte2jt

)

2sin2tcos2sin2t2t

（2）拉普拉斯变换

sIAs11s4s

(sIA)1

s1s2

44ss244s24

eAtL1(sIA)1



cos2t1sin2t

 2sin2tcos22t

（3）凯莱-哈密顿定理

1

2jt1

12je1

0212j2jt12e2jte2jtcos2t1

e1

4

j4j

12sin2t 

eAt10101

0I1Acos2t012sin2t40



 cos2t1sin2t

2sin2tcos22t

(2) A11

41

1(ete3t

1解：(t)

2

)4(ete3t)t3t

1 

(ee)(et

e3t2)

2

1s2s4s24

2-5 下列矩阵是否满足状态转移矩阵的条件，如果满足，试求出与子对应的A阵

1（2）(t)

1

2

(1e2t)

0e2t

1(et3t

1(et（4）(t)

2

e)4

e3t)1 

(ete3t

)2(ete3t

)

状态转移矩阵的条件

(t)A(t)

(0)I

(t)()(t)

求取A的方法：

L((t))(sIA)1(t)A(t)(t)AA(t)

t0

解

（2）此矩阵是状态转移矩阵

11(11L((t))s2ss2)

01

 s2



(sIA)1

1111(sIA)s(s2)

s2

2(s)1

2s



0s

s10s2

（4）此矩阵是状态转移矩阵

1111L((t))1

2(1

s1s3)4(s1s3)



1s11s3

)112(s11s3)

 1s11(s1)(s3）4s1

(sIA)1

3

A0102

s1111

sIAA

4s141

2-6 求下列状态空间表达式的解

010xxu001 y10x

解：A

01

 00

1

s2 1s

1

s11s1s1

(sIA)sIA2s0s00s



1t

eAtL1(sIA)1

01



x(t)eAtx0(t)Bu()d

t

1t1t1t01ttt

d1001101d 011

221tt1tt

22

1t1t

2-7 试证本章2-3，在特定控制作用下，状态方程式（2-25）的解，式（2-30），式（2-31）和式（2-32）成立

（2）u(t)k(t),x(0)x0

x(t)eAtx0eA(t)BK()d

t

ex0eA(t)BK()d

At

0

eAtx0eAtBK

（3）u(t)K1(t),x(0)x0

4

（4）u(t)

Kt1(t),x(0)x0

2-9

根据系统的方框图可得

1x1ku1x

2x1u2 x

y2x1x2

110x1k0xx10x01u22

x

y211

x2eAtL1(sIA)1



 

s1011s011

LL1s1s1s(s1)1

11

s1L

11s(s1)

ss1



01s



ett1e

0

1

G(T)e

AT

eTT1e0 1

5

k0

B

01HedtB

0T

AT

T

eTT1e0k0dt101

T

1eTT1e

当T=0.1时

T

0k0k(1e)0



T01k(T1eT)T

e0.10

G(T)G(0.1) 0.1

11e

k(1e0.1)0

H(T)H(0.1) 0.1

k(0.9e)0.1

当T=1时

e10

G(T)G(1) 1

11ek(1e1)0

H(T)H(0.1) 1

1ke

2-11

根据上面的模拟结构图，求去连续的状态方程，进而化成离散状态方程。

6