间接测量结果估计及其数据处理_田社平

42计量技术　1998. №5

误差与数据处理

间接测量结果估计及其数据处理

田社平

(上海交通大学仪器工程系, 上海200030)

摘　要　对间接测量结果的估计存在先平均法和后平均法的争论〔1、2〕。本文从误差理论和数据处理的角度对两种处理方法进行了比较完整的论述, 纠正了在后平均法中的差错, 为间接测量结果的估计提供了一定的理论依据。文中还通过实例给出了间接测量结果估计的其它方法。关键词　间接测量　算术平均值　误差　数据处理

i (i =1, 2, …, n ) , 则x 的最佳估x i 的标准差为e

一、引　言

间接测量是指通过直接测量与被测的量之间有一定函数关系的其它量, 按照已知的函数关系式计算出被测的量。要准确求取间接测量

结果, 应先求出间接被测量的分布规律, 以其数学期望作为最佳估计值[1]。但是, 被测量分布规律的获取相当困难。因此, 实际中往往采用先平均法和后平均法。究竟应该选用哪一种方法, 存在一定的争论。本文通过对间接测量的数据处理的讨论, 对上述问题给出了一个明确的答案, 并纠正了其中的某些错误观点。

二、算术平均值

为了问题讨论的方便, 先给出算术平均值的有关结论。假设测量值中只存在随机误差而不包含系统误差和粗大误差。由随机误差的特性可得如下结论:

引理1　对被测量x 进行n 次独立等精度测量, 得到测量值x 1, x 2, …, x n , 设x 的真值

n [3]

[1、2]

计值为

-=∑i /∑x , i =1e i =1e i i

-的标准差为e -且x x =1/

。∑i i =1e

n

n

n

三、间接测量结果的数据处理

为了求得间接测量结果的估计值, 必须对

直接测量得到的数据进行处理。为了问题叙述的方便, 不失一般性, 本文仅讨论一元函数的间接测量, 即

y =f (x ) (1)

式中, y 为被测量; x 为与被测量y 有关的可直接测得的量。式(1) 为x 、y 之间的函数关系, 连续, 且d f /dx 存在。

现在对x 进行n 次独立等精度重复测量, -是x 的最佳估计值, 一种求间接测量结由于x

果的方法是用-y =f (-x ) 作为y 的估计值, 即所谓先平均法。此时有如下结论:定理1:假设直接量x 与间接量y 之间满足关系式(1) , x 的真值为_(待估) , 对x 作n 次独立等精度测量, 其算术平均值为-x , 则当n 时, f (-x ) 依概率收敛于f (_) 。

证明:因为f (x ) 连续, 且d f /dx 存在, 由拉格朗日中值定理得:

f (-x ) -f (_)=f ′(a ) (-x -_) (2)

其中a 属于-x 与_之间的一个实数。于是,

--_) |(3) |f (-x ) -f (_) |=|f ′(a ) ||(x

, f -(_, 为_, 令-x =

∑x

i =1

i

/n , 则有:当n

-依概时, x

率收敛于_。

　　引理2[3]　如果对被测量x 进行n 次独立

不等精度测量, 得测量值x i (i =1, 2, …, n ) , 其

n

n

i

相应的权为p i , 令-x =∑p

i =1-i , 则x 是被x i /∑p i =1, 因此有如下推论:

测量x 的最佳估计值。

由于权与方差成反比

[3]

2,

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依概率收敛于f (_);

(2) 当f ′(a ) ≠0时, 对任意的X >0, 取X 1=X /|f ′(a ) |。

--_|

--_|

(5)

-) -f (_) |

所以当n 时, f (-x ) 依概率收敛于f (_) 。

定理2:如果用-y =f (-x ) 作为y 的估计值,

--则-y 的标准差为e y =|d f /dx |x =x e /n , 其中为x 的标准差。e

定理2的证明可直接由误差传播公式得到。

由直接测量值x i 通过式(1) 还可以得到:

(7) y i =f (x i ) 　(i =1, 2, …, n ) 此时可获得n 个间接测量值y i 。如果y i 的

误差满足随机误差特征, 则y 的估计值亦可以由y i 得到。由于y i 通过式(7) 而得, 各个y i 的权不一定相等, 故须用y i 的加权算术平均值来表示y 的估计值。即所谓后平均法。

定理3:如果由式(7) 得到的间接测量值y i (i =1, 2, …, n ) , 其误差满足随机误差特征, 则y 的估计值可由下式得到:

n

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=e , 对x 作n 次独立等精度测量, 则有

--)=∑f (x i )=k -y =f (x x n i =1

-(y )=E (-y )=k _=E (y ) , e

n

说明先平均法和后平均法一样, 均是y 的

n

2

且

无编估计。

例2　已知y =x 2, x 的条件同例1, 则用先

-2, 平均法:　-y 1=x

E (-y 1)=E (-x 2)=_2+≠f (_)=_2,

n

--e y 1=

n -显然, y 1是y 的有偏估计。用后平均法:-y 3=n /

-　　　　　e y 2=2e /

2

∑

i =

n

, 1x i

n

∑

i =1

x 2i

n

用近似平均法:

2--y 3=∑x i , 　ey = 3

n i =1n

n

n

∑x

i =1n

2

i

-y =∑

i

(|x e ) 2

i

d x

n

n

i =1

/∑i =1

(|x e ) 2

i

d x

,

222

此时, E (-y 3)=∑E (x i )=∑(_+e )

n i =1n i =1

2

=_2+e ≠f (_)=_2。

从例2可以看出, -y 1虽然是y 的有偏估计, 但n 取相当大时, -y 1作为y 的估计值可以达到任意准确度, 而-y 2、-y 3则没有这样的效果。显然,

-y 1要优于-y 2或-y 3。例3　已知y =x 2, 且x ～N (0, 1) , 对x 进行n 次独立等精度测量得x i (i =1, 2, …, n ) , 则x i 的误差为

e xi =x i -0=x i

显然e xi 满足随机误差的特征, 而y i =x i 2的误差为

222

e y i =y i -0=x i =e x i ≥0

-y =且e

-1/2

[∑], 其中e 为x i =12

(|x e ) d x i

的标准差。

证明:因为y i =f (x i ) , 由误差传播公式有

2

e y =(|x e ) 2, 其中e 为x 的标准差。i i

d x

由推论1即可得到结论。在实际测量中, 测量值x i 一般相差不大,

此时若|x 也相差不大, 则可用下式来近似

d x i

表示估计结果。

x , 其--(i ) , 且e y =|y =n ∑f x i =1d x i

n

中e 为x 的标准差。

1E (n

e yi 不满足随机误差的抵偿性特征, 因此用y i 的(加权) 算术平均值来估计y 的结果是不允许的。

在实际测量中, 被测量总是大于零。例3虽

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五、结　论

(1) 对间接测量结果的数据处理, 既可以采用先平均法, 又可以采用后平均法, 但必须注意它们的适用条件; 同时, 还可以根据实际情况采用更合理的处理方法。

(2) 对于先平均法, 当测量次数趋于无穷大时, 其估计结果具有无偏性, 在实际测量中可以适当增加测量次数从而保证估计结果的准确性。对于后平均法, 当y i 的误差满足随机误差的特征时, 其加权平均值亦代表了间接测量结果。

22

估计间接测量结果有严格的条件, 即满足定理3的条件。

四、间接测量结果估计的其它方法上面讨论了估计间接测量结果的先、后平均法。在实际测量过程中, 还必须通过具体的情况选择最优的数据处理方法。下面通过举例加以说明。

〔3〕例4, 独立测得正方形的两边分别为x 1和x 2, 它们的标准差都为e , 求正方形面积S 及其标准差e s , 这里, x 1≈x 2≈x 。

解:有三种解法,

1) S =[(x 1+x 2) /2], e S =2x e 2) S =(x 1+x 2) /2,e S =2x e

3) S =x 1 x 2, e S =x 2e +x 1e ≈2x e

从误差的观点看, 上述三种解法均成立; 从实际的物理意义来说, 3) 更合理。因为加工一个正方形是主观上的要求, 而客观上常常是加工出一个矩形(有时不垂直, 这暂不考虑) , 矩形的面积为x 1 x 2, 而不能采用1) 、2) 两种方法, 因为不能证明上述三种方法计算的S 是恒等的。例4说明了特殊情况下间接测量结果的处理方法。

(上接41页)

2

2

2

22

2

2

2

2

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2

2

(3) 本文讨论的有关结论同样适用于二维或多维函数的间接测量结果的估计以及通过对直接量进行独立不等精度测量来求得间接测量结果的情况。由于本文篇幅所限, 不再赘述。

参考文献

[1]陈西园. 间接测量结果的最佳估计值. 计量技术, 1996

(8)

[2]陈峰等. 间接测量结果估计的探讨. 计量技术. 1995(8) [3]肖明耀. 误差理论与应用. 计量出版社, 1985年

[4]费业泰. 误差理论与数据处理. 机械工业出版社, 1989年[5]何迎晖等, 数理统计. 高等教育出版社, 1989年

表3、4是在两台核子秤上分别标定的结果。

表3　　水泥熟料链斗输送机标定结果

标定序号

1

23

W o (kg ) 1107. 251055. 751030. 00

W (kg ) [1**********]6

e (%) -1. 8-0. 1-1. 4

三、结束语

应用在水泥熟料链斗或链板输送机上的核子秤, 只要精心设计, 测量不确定度限在约2%是可以达到的。

核子秤是一种不同于以称重传感器为基础的计量秤, 使用中会出现这样或那样的问题并不奇怪, 在分析出现的问题时, 应充分考虑这些特点, 才能得出正确的结论。

表4

123

水泥熟料链板输送机标定结果

W o (kg ) 2. 733. 133. 83

W (kg ) 2. 7293. 1633. 842

e (%) -0. 041. 040. 31

标定序号