初等几何研究模拟卷4答案

华东师大网络学院考卷

《初等几何研究》模拟考卷4答案

课程名称：__初等几何研究_______ 学生姓名：___________________ 学 号：___________________ 专 业：___________________

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一、（10分）叙述非欧几何的Poincare 上半平面模型, 并说明在Poincare 上半平面模型中欧

氏几何的平行公理不成立。

答:见讲义第一章第三节Poincare 上半平面模型的介绍.

二、（10分）凸四边形ABCD 中, 已知AB +CD =AD +BC , 则四边形ABCD 一定有内切圆.

C

图1 图2 图3

E

C

证(间接证法--穷举法)

假设结论不成立, 作一圆与AD 、AB 、BC 相切。

第一种情形，此圆与CD 相交，如图2，过D 作圆之切线与BC 的延长线交于E ，由切线性质知AB ＋DE ＝AD ＋BE ，而已知条件为AB ＋CD ＝AD ＋BC . 则 DC ＋CE ＝DE

这和三角形CDE 的两边之和DC ＋CE 大于第三边DE 矛盾.

第二种情形，此圆与CD 相离，如图3，过D 作圆之切线与BC 的交于E ，由切线性质及已知条件AB ＋CD ＝AD ＋BC ，得DE ＋EC ＝CD

这和三角形CDE 的两边之和DE ＋EC 大于第三边CD 矛盾. 证毕.

三、（10分）如图所示，在 ABC 中，AB >AC , BD , CE 分别是∠B , ∠C 的平分线，

求证：BD >CE

证明 设BD , CE 交于O .

由AB >AC ⇒∠C >∠B ⇒∠OCB >∠OBC ⇒OB >OC . 如果OD ≥OE , 显然有BD >CE , 结论证得. 如果OD

再过H 作HK //CE 交AB 于K , 过点H 作HG //BA 交CE 于G .

11

∠GHO =∠B

22

∴点G 必在线段OF 上.

111

∠BKH =∠BEC =∠A +∠C >∠A +∠B >∠B ,

222

∴BH >HK , HK =GE >FE , ∴BH +HO +OD >EF +OF +OC , 即 BD >CE .

四、（10分）证明斯蒂瓦特(Stewart)定理 在 PAB 中, 设C 是AB 边上任意一点, 则

B

PA 2⋅BC +PB 2⋅CA =PC 2⋅

AB +BC ⋅CA ⋅AB .

, PD ⊥AB 于D , 若点D 与点C 不重合, 则∠PCA 与证明 如图所示, 在 PAB 中作

∠PCB 必有一个为钝角, 一个为锐角. 不妨设∠PCA 为钝角, ∠PCB 为锐角, 则由广

勾股定理, 得

PA 2=PC 2+AC 2+2AC ⋅CD , ①

PB 2=PC 2+BC 2-2CB ⋅CD ②

①⨯BC +②⨯AC , 得

PA 2⋅BC +PB 2⋅CA =PC 2⋅BC +AC 2⋅BC +PC 2⋅CA +CB 2⋅CA =PC ⋅AB +BC ⋅CA ⋅AB

若点D 与点C 重合, 则结论显然成立.

2

五、（10分）求证三角形三边中点, 三高线的垂足, 垂心与定点连线的中点九点共圆.

证明 如图所示选取直角坐标系, 设A (0,2),B (2b ,0), C (2c ,0), 则A '(b +c ,0)

B '(c ,1), C '(b ,1), H (0,-2bc ), P (0,1-bc ), Q (b , -bc ), R (c , -bc ). 1⎧

AC :y =-(x -2c ), ⎪

由⎨c

⎪⎩BE :y =c (x -2b ),

⎛2c (1+bc )2c (c -b )⎫

得E , ⎪. 22

1+c ⎭⎝1+c

⎛2b (1+bc )2b (b -c )⎫

由对称性, 得F , ⎪. 又设过A ', B ', C ' 的圆方程为:22

1+b 1+b ⎝⎭

x 2+y 2+dx +ey +f =0. ⎧(b +c ) 2+02+d (b +c ) +e 0+f =0, ⎪

则由⎨c 2+1+d c +e +f =0,

2⎪b +1+d c +e +f =0, ⎩ 解得d =-(b +c ), e =bc -1, f =0.

因此, 过A ', B ', C ' 的圆方程为: x 2+y 2-(b +c ) x +(bc -1) y =0. 显然, D (0,0),P (0,1-bc ) 在该圆上.

同理, 由对称性, E , F , R , S 也在该圆上, 故A ', B ', C ', D , E , F , P , Q , R 九点共圆.

六、（10分）如图所示, 在 O (R ) 的直径AB 的延长线BX 上取三点C , D , E , 使得1

BC =CD =DE =R , 在A 点的切线AY 上取两点L , M , 使AL =R , AM =CL , 过点M 作

5

MN //LE , 交AX 于N , 求证AN 近似于该圆周长.

A

X

解 LE //MN , ∴AM :AN =AL :AE 111

由AM =CL , AL =R , AC =2R +R =

R ,

55 CL 2=AL 2+AC 2=R 2+R 13

又 AE =R

5 ∴CL =故 AN =

12121462

R =R 2525

AM AE =2R ≈2R ⨯3.1415919≈2πR AL

七、（10分）

设正六边形ABCDEF 的对角线AC , CE 分别被内点M , N

分成比为

AM CN

＝=r 的两段，如果B , M , N 三点共线，求r . AC CE

F

解 令正六边形的外接圆的圆心为O ,

R (O ,120)

连接BD , ND , 因为AC −−−−→CE , R (O ,120) 所以 MBC −−−−→ NDE .

因为B , M , N 三点共线, 所以∠BND =120. 以BD 为边作正 DBG , 则N , B , G , D

AM CN R (O ,120 )

＝=r , 所以M −−−−→N , AC CE

四点共圆, 显然C 是此圆的圆心, 从而CN =CB . 所以r =

CN CB ==CE CE 八、（15分） 如果两个多边形A ' B ' C ' D ' E ' 和ABCDE 相似, 相似比为k , 并且对应边平行, 则存在一个位似变换H , 使得

A ' B ' C ' D ' E ' =H (O , k ) (ABCDE ).

证明：见讲义第四章第三节位似变换的定理9。

九、（15分） 用实数模型证明欧氏平行公理 对于任何直线a 和不在其上的任何

点A ，至多有一条直线过A ，而且与直线a 共面，但不相交。

用实数模型将上述公理翻译成下述命题，即为：

已知实数比(a :b :c ) ，其中a 2+b 2≠0，实数偶(x 0, y 0)满足关系式

ax 0+by 0+c ≠0，则至多有一个实数比(a ':b ':c ') ，其中a '2+b '2≠0，使得a 'x 0+b 'y 0+c '=0，且方程组

⎧ax +by +c =0

⎨

'''a x +b y +c =0⎩

不存在解(x , y ) 证明 使方程组

ax +by +c =0⎧

⎨''''a x +b y -a x +b y =0(00)⎩

无解的条件是

a b c

==, a 'b '-a 'x 0+b 'y 0所以符合这个条件的实数比只能是

(a ':b ':c ')=(a :b :-(ax 0+by 0)),

而式中-(ax 0+by 0) ≠c