解圆锥曲线离心率的求法大全

求解圆锥曲线离心率的方法

离心率是圆锥曲线的一个重要性质，在高考中频繁出现，下面例析几种常用求法。椭圆的离心率e∈（0，1），双曲线的离心率e>1，抛物线的离心率e=1．一、直接求出a、c，求解e

已知圆锥曲线的标准方程或a、c易求时，可利用率心率公式例１.已知双曲线曲线的离心率为（）A.

B.

C.

D.的准线是，解得

，即双曲线的右准线

，故选D．

，

的一条准线与抛物线

来解决。的准线重合，则该双

解：抛物线则

变式练习1：若椭圆经过原点，且焦点为F1(1，0)，F2(3，0)，则其离心率为()3211A.B.C.D.4324

解：由F1、F2的坐标知2c=3﹣1，∴c=1，又∵椭圆过原点，∴a﹣c=1，a+c=3，∴a=2，c=1,

c1

所以离心率e=C.

a2

变式练习２：如果双曲线的实半轴长为2，焦距为6，那么双曲线的离心率为()A.

2

B.

62

C.32

D2

c3

解析：由题设a=2，2c=6，则c=3，e=C

a2变式练习３：点P（-3，1）在椭圆

的左准线上，过点P且方向为

a=（2，-5）的光线，经直线A.

B.

C.

D.

反射后通过椭圆的左焦点，则这个椭圆的离心率为（）

解：由题意知，入射光线为，关于的反射光线（对称关系）为

，则解得．则。故选A。

二、构造a、c的齐次式，解出e

根据题设条件，借助a、b、c之间的关系，沟通a、c的关系（特别是齐二次式），进而得到关于e的一元方程，从而解得离心率e。例２.已知F1、F2是双曲线

的两焦点，以线段F1F2为边作正三

角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是（）

A.

B.C.

D.

。由焦半径公式

解：如图，设MF1的中点为P，则P的横坐标为

，

即

，得

，故选D。

，解得

x2y2

变式练习１：设双曲线221(0

ab到直线的距离为

A.2

4

B.3

)C.2

2D.

3

解：由已知，直线L的方程为bx+ay-ab=0.

ab3

由点到直线的距离公式，得c2=a2+b2,∴4ab=3c2,

a2+b24

两边平方，得16a2(c2﹣a2)=3c4.两边同除以a4，并整理，得3e4-16e2+16=0.

4c2a2+b2b2

解得e2＝4或e2＝0

aaa3

变式练习２：双曲线虚轴的一个端点为M，两个焦点为F1，F2，∠F1MF2＝120°，则双曲线的离心率为（）23

解：如图所示，不妨设M(0，b)，F1(-c,0),F2(c,0),则

|MF1|=|MF2|=2+b2.又|F1F2|＝2c，

|MF1|2+|MF2|2﹣|F1F2|2

在△F1MF2中，由余弦定理，得cos∠F1MF2＝2|MF1|·|MF2|

(c2+b2)+(c2+b2)﹣4c21b2﹣c21

120°＝﹣即2b2＋c2222+b2·2+b2

6﹣a213

∵b＝c﹣a，∴3a2＝2c2，∴e2＝e＝

B.

2c2﹣a2222

三、采用离心率的定义以及椭圆的定义求解

例３．设椭圆的两个焦点分别为F1

、F2，过F2作椭圆长轴的垂线交椭圆于点P，若△F1PF2为等腰直角三角形，则椭圆的离心率是________。解：如右图所示，有

2

2

2

（A）3（B）

6

（C）

（D）

3

c2c椭圆的定义2c

e===

a2a|PF1|+|PF2|

===

1

离心率的定义

四、根据圆锥曲线的统一定义求解

x2y2

例4.设椭圆22＝1(a>b>0)的右焦点为F1，右准线为l1，若过F1且垂直于x轴的弦

ab的长等于点F1到l1的距离，则椭圆的离心率是解：如图1所示，AB是过F1且垂直于x轴的弦，∵AD⊥l1于D，∴|AD|为F1到准线l1

1

|AF1|2111

的距离，根据椭圆的第二定义，e=即e=

|AD||AD|222

变式练习：

e

椭圆的第二定义

=

|AF2|==|AD|，则二次曲线

的离心率

五、构建关于e的不等式，求e的取值范围例5.设

的取值范围为（

）A.

B.

C.

D.（

）

π

另：由x2cotθ﹣y2tanθ=1，θ∈(0，，得a2＝tanθ，b2=cotθ,∴c2＝a2+b2＝tanθ+cotθ,

4πc2tanθ+cotθ

∴e2＝2cot2θ,∵θ∈(0，，∴cot2θ>1,∴e2>2，∴e>.故选D.

a4tanθ→例6如图，已知梯形ABCD中，｜AB｜＝2｜CD｜，点E分有向线段AC所成的比为λ，双曲23

线过C、D、E三点，且以A、B为焦点．当e的取值范围．

34

解：以AB的垂直平分线为y轴，直线AB为x轴，建立如图3所示的直角坐标系xOy，则CD⊥y轴.因为双曲线经过点C、D，且以A、B为焦点，由双

c

曲线的对称性知C、D关于y轴对称．依题意，记A(﹣c，0)，C(h),E(x0，

2

1

y0)，其中c=AB｜为双曲线的半焦距，h是梯形的高．

2

c

-c+λ·

2(λ-2)cy0＝λh设双曲线的方程由定比分点坐标公式得x02(1+λ)1+λ1+λx2y2c

为1，则离心率e=由点C、E在双曲线上，所以，将点C的坐标代入双曲线方程a2b2ac2h2c2λ﹣22λ2h2得﹣＝1①，将点E的坐标代入双曲线方程得()－()＝1

4a2b24a21+λ1+λb2

ce2h2h2e2e2λ﹣2212h2

②．再将e=②得1，∴1③，－(1④．

a4b2b2441+λ1+λb

2

将③式代入④式，整理得≤1－

e232324－4λ）＝1＋2λ，∴λ＝1－4e2+2343

33

7≤e≤10．所以双曲线的离心率的取值范围为［7，10］．e2+24

练习：

x2y2

1.（天津理4）设双曲线2−2=1(a>0,b>

0)且它的一条准线与抛物线

ab

y2=4x的准线重合，则此双曲线的方程为

x2y2

A.−=11224

x2y2B.−=14896

x22y2C.−=133

x2y2

D.−=136

）

2.（全国2文11）已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于（A．

1

3

B

C．

12

D

x2y24

3.（2006全国II）已知双曲线1的一条渐近线方程为y＝，则双曲线的离心率为

3a2b2

（A5

3

(B)43

(C)54

(D)32

4．（2006山东卷）在给定椭圆中，过焦点且垂直于长轴的弦长为2，焦点到相应准线的距

(A)2

离为1，则该椭圆的离心率为(B)

2

(C)212

(D)

24

5．（2006山东卷）在给定双曲线中，过焦点垂直于实轴的弦长为2，焦点到相应准线的距

离为

1

，则该双曲线的离心率为2

(A)

22

(B)2(C)

2(D)22

x2r2

6.（安徽理9）如图，F1和F2分别是双曲线2−2=1(a≻0,b≻0)的

ab

两个焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△F2AB是等边三角形，则双曲线的离心率为（A）3

（B）5

（C）

2

（D）1+3

x2y2

7.（湖南文9）设F1、F2分别是椭圆2+2=1(a>b>0)的左、右焦点，P是其右准线

ab

（c为半焦距）的点，且F1F2=F2P，则椭圆的离心率是

A

B.

12

C.

D

.

x2y2

8.（全国2理11）设F1，F2分别是双曲线2−2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，

ab

使∠F1AF2=90º，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为

(A)

(B)

(C)

(D)

x2y2

9.（2006福建卷）已知双曲线2−2=1(a>0,b

ab

60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线离心率的取值范围是

A.(1,2)B.(1,2)C.[2,+∞]D.(2,+∞)

x2y2

10.（北京文4）椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别

ab

为M，N，若MN≤2F1F2，则该椭圆离心率的取值范围是（Ａ．⎜0

⎥

）

⎛⎝1⎤2⎦

Ｂ．⎜0⎛⎜⎝⎦

Ｃ．⎢

1⎟

⎡1⎞

⎣2⎠

Ｄ．⎞

1⎟⎟⎣⎠

ca2

答案：1.由==

1可得ab=c=3.故选D

ac

2.已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，∴a=

2b，椭圆的离心率e=

cD。=

ab4c5

3.双曲线焦点在x轴,

由渐近线方程可得=,可得e===,故选A

a3a3x2y22b2a22

4.不妨设椭圆方程为2+2=1（a>b>0），

则有=−c=1，据此求出e＝

abac2x2y22b2a21

5.不妨设双曲线方程为2−2=1（a>0，b>0）

，则依题意有=c−=，

abac2

据此解得e＝2，选C

x2r2

6.解析：如图，F1和F2分别是双曲线2−

2=1(a≻0,b≻0)的两个

ab

焦点，A和B是以O为圆心，以OF1为半径的圆与该双曲线左支的两个交点，且△连接AF1，∠AF2F1=30°，|AF1|=c，|AF2|=3c，

∴2a=−1)c，F2AB是等边三角形，

双曲线的离心率为1+，选D。

a2a2

7.由已知P（,c），所以2c=(−c)2+(3c)2化简得

cca2−2c2=0⇒e=

c2=a2．

x2y2

8.设F1，F2分别是双曲线2−2=1的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90º，

ab

且|AF1|=3|AF2|，设|AF2|=1，|AF1|=3，双曲线中2a=|AF1|−|AF2|=

2，

2c==，∴

离心率e=

，选B。x2y2

9.双曲线2−2=1(a>0,b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60o的直线与双曲线

ab

的右支有且只有一个交点，则该直线的斜率的绝对值小于等于渐近线的斜率

222ca+b

3，离心率e2=2=≥4，∴e≥2，选C2

aa

bb

，∴≥aa

x2y2

10.椭圆2+2=1(a>b>0)的焦点为F1，F2，两条准线与x轴的交点分别为M，N，

aba2a22

若|MN|=2，|F1F2|=2c，MN≤2F1F2，则，D。≤2c，该椭圆离心率e≥

cc2

设点P(x0,y0)为曲线上的点一．椭圆的焦半径公式：

１．到左焦点的距离：d=a+ex0；２．到右焦点的距离：d=a−ex0．二．双曲线的焦半径公式：

１．到左焦点的距离：

２．到右焦点的距离：

⎧a−ex0,x0≤−a;

d=a−ex0=⎨．

ex−a,x≥a.0⎩0

⎧−a−ex0,x0≤−a;

d=a+ex0=⎨；

a+ex,x≥a.00⎩