二元函数最值一个值得注意的问题
育管理
二元函数最值一个值得注意的问题
李放
摘要通过对二元函数最值教学中一个例证的分析，更加深刻的理解求二元函数最值问题，以避免错误的理解．
关健词极大值极小值最大值最小值驻点
四川理工学院理学院
基于以生两点－不能说明文献［１Ｊ中的论断是错误的，但这也正是我们教学中值得特别注意的地方。稍有疏忽，就会给学生造成误解。・
由于多元函数的最值问题远比一元函数的最值问题复杂，所以文献［１］中并没有给出任何
（＝）在通常遇到的实际问题中，如果根据
问题的性质。知道函数ｆ（ｘ，ｙ）的最大值（最
小值）一定在Ｄ的内部取得，而函数在Ｄ内只有一个驻点，那么可以肯定该驻点处的函数值就是
函数／（ｘ，ｙ）在Ｄ上的最大值（最小值）。这是在假设厂（ｘ，ｙ）在Ｄ内可微分的条件下，而
且这里的Ｄ可以是无界区域（或无界闭区域）。如例５（文献［１］Ｐ６５）；某厂要用铁板做一个体积
二元函数ｚ＝厂（五少）在它有意义的任何区
域内最值的求法．而是给出了两种特殊而又常用的情况下二元函数最值的求法，这是教师在教学中应特别讲清楚的问题．
三、推广结果
结合文献【ｌ】与文献［２］，可以得出下面结
一、文献［１］关于最大值（最小值）求法的描述
现行几乎所有的高等数学教材中，都是这样叙述有关二元函数求最值问题的：讨论二元函数
为２，１３的有盖长方体水箱。问长、宽、高各取怎么的尺寸时，才能使用料最省？这就是“实际问题”。
＝．教学中应注意的问题
教学中，有人举例说明文献［１］中上述论断是错误的。其例为ｔ
ｚ＝ｆ（五少）的极值问题时，如果函数在所
讨论的区域内具有偏导数，则由定理１（文献［１］Ｐ６２）可知，极值町能在驻点处取得。然而，如果函数在个别点处的偏导数不存在．这些点当然不是驻点，但也可能是极值点。例如函数
果：
若二元函数ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在形如Ｄ＝｛（ｊＬ力ＩＹ≥ｘ－＇１＂－１＞的无界闭区域ＤｄａｉＳ．
续，在Ｄ内可微分且只有有限个驻点，则
ｉ殳ｆ（ｘ，ｙ）＝ｘ２—３ｙ２＋ｙ３，易求
得该函数有两个驻点Ａ（Ｏ，０）与Ｂ（０，２），设Ｄ＝
厂（ｘ，ｙ）＝－４ｘ２－４－Ｙ２在（ｏ，ｏ）处的
偏导数不存在，但该函数在（０，Ｏ）处具有极大值。因此，在考虑函数的极值问题时，除了考虑函数的驻点外，如果有偏导数不存在的点，那么对这些点也应该考虑。
与一元函数类似，我们可以利用函数的极值来求函数的最大值和最小值。在文献［１］第一节
｛（ｘ，ｙ）ｌｙ≥ｘ＋ｌ＞。则Ａ不在Ｄ中，于
是Ｄ是仅含唯一驻点Ｂ（Ｏ，２）的区域，可以证明
Ｂ（Ｏ，２）是厂（工，ｙ）的极小值点，且
厂（Ｏ，２）＝－４，但有Ｄ中点ｃ（一３，一２）且
／（—３，——２）＝一１Ｉ，说明Ｂ（ｏ，２）不是
／（工，ｙ）在Ｄ上的最小值点．
又
如
设
ｈｎ厂（五）万‰）时。二元函数背（ｘ，ｙ）在Ｄ上无最大值；
ｆ（ｘ，ｙ）＝啪（或
ｆ（ｘ，）万‰）时．Ｙｚ一＝ｆ（ｘ，少）在Ｄ上无最小值；
（１）若ｆｉｒｎ
ｆ（ｘ，少）＝＋∞（或
（２）若场ｎ
ｌｉｌｎ
二元函数
（３）若ｆｉｒｎ
ｆ（ｘ，ｙ）＝Ｊ且
中已经指出，如果／（ｘ，少）在有界闭区域Ｄ上连续，则厂（ｘ，ｙ）在Ｄ上必定取得最大值和最
小值。这种使函数取得最大值或最小值的点既可能在Ｄ的内部．也可能在Ｄ的边界上．我们假定，函数在Ｄ上连续、在Ｄ内可微分且只有有限个驻点，这时如果函数在Ｄ的内部取得最大值（最小值），那么这个最大值（最小值）也是函数的极大值（极小值）。因此，在上述假定下，求函数的最大值和最小值的一般方法是：将函数
ｌ衲ｆ（ｘ，少）兰≯■先求出二元函数
／（工，ｙ）＝ｘ２（３一ｘ）一Ｊ，２，易求得该
函数有两个驻点Ａ（Ｏ，０）与Ｂ（２，０），设Ｄ＝
；ｌ三７（ｘ，ｙ）在Ｄ的内部的全部驻点处的函
数值设为Ａ－，Ａ２……。Ａ＿ｌ以及它在Ｄ的边界上的最
｛（ｚ，少）ＪＹ≤Ｘ一１｝，则Ａ不在Ｄ中，于
是Ｄ是仅含唯一驻点Ｂ（２，０）的区域，可以证明
值设为Ｂ，，＆，……，ｋ令ａ－－－－＇ｍＸ｛Ａ１。屯……，Ａ１１．
Ｂｔ，Ｂ２，
……，ＢＩ｝，ｂ－－－＇ｍｉｎ｛Ａｌ，Ａ２……。Ａ＿，
ａ（２，ｏ）是／（ｘ，ｙ）的极大值点，且厂（２，ｏ）＝４，但厂（—２，－３）＝１１，显然Ｂ（２．ｏ）不是ｆ（五ｙ）在Ｄ上的最大值点（文
献［２３Ｐ２６）。
上述两个举例中，初看起来。似乎有点道理，但仔细分析，不难看出其理解上的问题。其实文献［１］中只给出了如何求有界闭区域Ｄ上连续、在Ｄ内可微且只有有限个驻点的单纯由算式给出的二元函数最大值（最小值）以及如何求许多特殊的实际应用问题的最大值（最小值）（如文献Ｉｘ］例５Ｐ６５）．而前面举例的问题在于ｔ
（
Ｂ。，酝……，酗。对比ｓ，ｔ，ａ’ｂ之间的大小。若同
时成立ａ≥８，ａ≥ｔ，那么，ａ就是二元函数
ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）在无界闭区域Ｄ上的最大值，
否则。二元函数Ｚ＝／（】‘少）在无界闭区域Ｄ
上就没有最大值；若同时成立ｂ≤ｓ，ｂ≤ｔ。那么，
厂（ｘ，ｙ）在Ｄ内的所有驻点处的函数值及在Ｄ
的边界上的的最大值和最小值相互比较，其中最大的就是最大值，最小的就是最小值。但这种做
ｂ就是二元函数ｚ＝／（．ｋ少）在无界闭区域Ｄ上的最小值，否则，二元函数ｚ＝ｆ（工，ｙ）在
无界闭区域Ｄ上就没有最小值。
完全类似可以得到二元函数在形如ｚ＝ｆ（ｘｒｙ）
｛（ｘ，ｊ，）ＩＹ＞ｘ．４－１）无界开区域Ｄ上连续、可微分且只有有限个驻点的二元函数
法，由于要求出ｆ（ｘ，ｙ）在Ｄ的边界上的最大
值和最小值，所以相当复杂。在通常遇到的实际问题中，如果根据问题的性质，知道函数
厂（ｚ，力的最大值（Ｊｌｔ，Ｊ、值）一定在Ｄ的内部
取得，而函数在Ｄ内只有一个驻点，那么可以肯
一
）
闭区域
Ｄ
＝
定该驻点处的函数值就是函数厂（ｘ，Ｊ，）在Ｄ＿ｋ
的最大值（最小值）．
文献［１］的以上论述中，实际包含下面两层意思ｔ
｛（ｘ，ｙ）ＩＹ≥ｘ４－１｝或Ｄ＝｛（ｘ，ｙ）Ｉｙ≤Ｘ一１）都不是有界的
闭区域，而是无界的闭区域ｌ
（二）点Ｃ（－３，一２）或点（－２，－３）都是闭区
ｚ＝ｆ（ｘ，ｙ）最大值与最小值的求法。
参考文献
［１】同济大学数学考研室．高等数学［Ｍ］．高等教育出版社第四版２０００
［２］柴俊．关于＂－ｚ元函数最值的一个注记［Ｊ］．高等数学研究２００３（１）：２６
ｚ＝ｆ（ｘ，），）在其定义区域一…有界闭
区域Ｄ上的最大值和最小值的求法；
（一）讨论单纯由算式给出的二元函数域Ｄ的边界点，而最值是有可能在边界上取得的，无论Ｄ是有界闭区域，还是无界闭区域；
ｌ７２
ｌ
ＦＯＲＴＵＮＥＷＯＲＬＤ２Ｄ１０
万方数据
二元函数最值一个值得注意的问题
作者：作者单位：刊名：英文刊名：年，卷(期)：
李放
四川理工学院理学院中国科技财富FORTUNE WORLD2010(24)
参考文献(2条)
1. 同济大学数学考研室 高等数学 2000
2. 柴俊 关于二元函数最值的一个注记[期刊论文]-高等数学研究 2003(01)
本文链接：http://d.g.wanfangdata.com.cn/Periodical_zgkjcf201024065.aspx