与勾股定理有关的古题
口河
南
.
刘现伟
,
人 们很 早 以 前就 知道 了勾 股 定理 即使 在 古 代
人 们也 会 运 用勾股
定理 去解 决许多 实际 问题 下 面
.
,
我们就选 择几 个 有趣 的事 例 向大家介
绍
一
下
一
.
、
算秋 千 索长
明代有
“
一
例
里有
一
1
位 杰 出 的数 学 家 叫程 大位 在 他所 著 的 《 法 统 宗 》 算
,
道 荡秋千
”
的题
:
平 地 秋 千 未起
,
踏 板
.
一
尺 离地
,
送 行 两 步 与 人 齐 仕 女 佳 人 争蹴
,
五 尺 人
高 曾记
,
:
终 朝 笑语 欢 嬉
。
良工 高士 素好 奇
算 出 索长 有
,
几 ?
一
它 的大概 意思 是
,
:
当秋 千 静 止 时 它 的踏板 离地 的距 离 为
一
尺 (
一
种
,
非 法定 长度单位 ) 将秋 千 的踏板 往 前 推两 步 (这 里 的每
的踏板 与人
● 一
步合五 尺 ) 它
样高
,
这 个人 的身高 为五 尺 当然 这 时秋 千 的绳 索 是 呈 直
. ;
●
●
●
●
●
●
线 状 态 的 现 在 问 :这 个 秋 千 的 绳 索 有 多 长 ? - 据题 探索 ( 如 苑 解 :根廿 学 生意 诬 化 示 意 图 创 新图 1 ) 设 图 中 的 O A 为 秋 千 的 绳 索 效画 出
.
地平 面
挚
,
,
,
CD
为
,
B C
为身高是
5
尺 的人
,
A E
为 两 步 (相 当于
10
尺 )的距 离 A 处 为 踏
,
答 案 :将 圆 筒 沿 表 面 展 开 成 为
所示
得A C的长 即可
; E
一
个矩形
,
,
如 图4
整 个 彩 纸 也 随之 被 分 成 了相 等 的4 段
.
只需求
(
R
t A
A B C
t:
O
,
,
A B
:
36
c m
,
B C
:
单
斗
:
27
(c
m
)
.
由勾 股 定 理
4 C
'
—
—
得
~
=
C
=
V
A B
2
+
B C
、石 孕 珂
=
4 5
(c
m
m
)
.
/
图
4
曰
故 整 个 彩 纸 的 v~
t
4 5
~
4
=
180
(e
)
.
,
●
,
●
●
●
●
●
●
●
0
●
●
,
,
板 的静 止 位置
设 OA
FA B F
=
以D
,
为 踏板 离 地 的距 离 长 度 等 于 1尺
,
.
≈
尺
:
则
—
D曰
=
:
0 A
—
=
x
尺
.
瀵圹
引 引 刻 D
曰E
日C 10
E C
'
5
1
=
4
(尺 )
.
=
EA
=
尺
,
T~ R
X t /
OB F
中 利用勾股定理
,
,
可得
OB
。
=
0 j 社+ B P
,
,
即z
.
.
。
=
(∞
一
4
) 。+
尺
10
2
.
展开
解 得z
=
14 5
故秋千绳索的长度 为
14 5
.
.
有多深
解 在
A B
.
:
根 据 题 意 画 出示 意 图 (如 图2 )
,
C
.
丑
R t △A B C
=
中
.
,
曰C
=
2
尺
.
A C
A B
+
+
=
B D
由勾 股 定 理 得
+
0
2
,
0
(A B
0 5 ) 2.
.
展 开
三
解 得A
.
B
.
=
3 75 尺
.
.
■
/
2
●
所 以 湖 7F N 3
、
7 5
尺
.
图
里 九 部数学专著《 章算术》 有这 样
和 尚扛 竿去 量 应
立
丈量 门宽 我 国最 早 的
城 外
一 一
例 学题
:
3
道 有 趣
的数
一
扇 矩 形 门
四
,
.
横 着量 之
对 角
此 门
又
尺 余
一
,
着量
之
二
尺
剩
.
复 比
比
.
斜 竿恰 好 端 抵 尽
还
2尺
—
L
.
D
宽 高各
几 何
.
有竹 竿有
一
几 深 ?
此 题 理 解起来 比较 容易
一
,
意思 是说
二
根竹竿 比
,
扇矩 形 门的宽长 四 尺 比 门 的高长
,
一
尺
与 门的对
.
角线正 好
同
一
样 长 求 门的宽和 高及 竹竿 的长
.
解 :根 据 题 意 作 出 示 意 图 ( 如 图 3 ) 显 然 和 尚 用
,
.
竹竿 量 了3 次 设 竹竿长 为z 尺
.
,
由勾 股 定 理 得
,
图 3
x
0
=
(x
-
2
) 。+ ( x
。
一
-
4
) 2.
=
整理 得z
12
,
x +
2 0 2
0
,
(戈
一
10
,
) (省
一
2 )
.
=
0
.
解 得 省 l=
所 以
四
、
,
10
z :=
(不 合题 意
6尺
,
舍去 )
=
门勋
B
=
门 高A
D
8尺
,
竹竿蜘
三
一
C
=
10 尺
.
折竹抵地
今 有竹 高
一
例4
丈
一
,
末 折 抵 地
,
,
去 本
尺
.
问
:
折 者 高几 何 ?
此题 的意思 是
尺 ) 将竹子折断
,
:
根竹子
原来高
,
丈
(
一
丈 为十
,
其顶端恰好抵 地
抵地 处 与原竹子 底部 利用勾股定理 解
距 离为三 尺
,
,
问 :原 处 还 有 多 高 的 竹 子 ?
,
.
决本题 可 先 画 图形 然后 求解
已 知A c +A 占
B C
=
解 :依 题 意 作 出 示 意 图 ( 如 图 4 )
=
.
10
(尺 )
A B
。
.
①
日C
。
,
B
C
3 尺
图4
.
§ 由 勾 股 定 王M C
。
一
=
劂J A C
.
‘
一
A B
‘
=
9
.
所 以 (A
C+A
-
剐 (A C 卅
=
B
) 9
=
I IJ r l) A C A B A
~
.
(尺 )
-
②
.
03 ~
-
,
得M
9 1
曰=
9 1
而
(尺 )
I~O B A
=
-
_
=
4 55
(尺 )
.
.
所 以原 处 还 有 4 55 尺 高 的竹 子
,
.
古 代 数 学 题 看 起 采比 较 有 趣 但 做 起 来 有
题 意
.
一
定难度 关键 是 要 读懂
,
.
。
能 从题 目中挑 出有 用 的信 息 然 后 利 用 所 学 的知 识 求 解
,
.
..;
I.
;
擎
牟 学生
数
诬化
探索 创 新 苑