13讲 一次函数与实际问题含答案 精品讲义

一次函数与实际问题

中考要求

例题1、一次时装表演会预算中票价定位每张100元，容纳观众人数不超过2000人，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）之间的函数图象如图所示，当观众人数超过1000人时，表演会组织者需向保险公司交纳定额平安保险费5000元（不列入成本费用）请解答下列问题： ⑴求当观众人数不超过1000人时，毛利润y （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式和成本费用s （百元）关于观众人数x （百人）的函数解析式；

⑵若要使这次表演会获得36000元的毛利润，那么要售出多少张门票？需支付成本费用多少元？（注：当观众人数不超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用；当观众人数超过1000人时，表演会的毛利润=门票收入—成本费用—

平安保险费）

例题精讲

解：⑴由图象可知：当0≤x ≤10时，设y 关于x 的函数解析y=kx-100，

∵（10，400）在y=kx-100上，∴400=10k-100，解得k=50 ∴y=50x-100，s=100x-(50x-100)，∴s=50x+100 ⑵当10

∵（10，350），（20，850）在y=mx+b上， ∴解得∴y=50x-150 ∴s=100x-(50x-150)-50∴s=50x+100 ∴≤x ≤10)

50x-150 (10

20)

令y=360，当0≤x ≤10时，50x-100=360 解得x=9.2 s=50x+100=50×9.2+100=560 当10

例题2、甲乙两名同学进行登山比赛，图中表示甲乙沿相同的路线同时从山脚出发到达山顶过程中，个自行进的路程随时间变化的图象，根据图象中的有关数据回答下列问题：

⑴分别求出表示甲、乙两同学登山过程中路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式；（不要求写出自变量的取值范围）

⑵当甲到达山顶时，乙行进到山路上的某点A 处，求A 点距山顶的距离； ⑶在⑵的条件下，设乙同学从A 点继续登山，甲同学到达山顶后休息1小时，沿原路下山，在点B 处与乙同学相遇，此时点B 与山顶距离为1.5千米，相遇后甲、乙各自沿原路下山和上山，求乙到大山顶时，甲离山脚的距离是多少千米？

时）

解：⑴设甲、乙两同学登山过程中，路程s （千米）与时间t （时）的函数解析式分别为s 甲=k1t ，

s 乙=k2t 。由题意得：6=2 k1，6=3 k2，解得：k 1=3，k 2=2 ∴s 甲=3t，s 乙=2t ⑵当甲到达山顶时，s 甲=12（千米），∴12=3t 解得：t=4∴s 乙=2t=8（千米） ⑶由图象可知：甲到达山顶并休息1小时后点D 的坐标为（5，12） 由题意得：点B 的纵坐标为12-代入s 乙=2t，解得：t=∴点B （

2121

，）。 42

21

4

321=， 22

设过B 、D 两点的直线解析式为s=kx+b，由题意得 2121

t+b= 解得： k=-6 42

∴直线BD 的解析式为s=-6t+42

∴当乙到达山顶时，s 乙=12，得t=6，把t=6代入s=-6t+42得s=6（千米）

例题3、教室里放有一台饮水机，饮水机上有两个放水管。课间同学们到饮水机前用茶杯接水。假设接水过程中水不发生泼洒，每个学声所接的水量是相等的。两个放水管同时打开时，它们的流量相同。放水时先打开一个水管，过一会再打开第二个水管，放水过程中阀门一直开着。饮水机的存水量y （升）与放水时间x(分钟) 的函数关系如下图所示： ⑴求出饮水机的存水量y （升）与放水时间x(分钟) （x≥2）的函数关系式；

⑵如果打开第一个水管后，2分钟时恰好有4个同学接水结束，则前22个同学接水结束共需要几分钟？

⑶按⑵的放法，求出在课间10分钟内最多有多少个同学能及时接完水？

y（升）1817

8

O 2

12

x（分钟）

9

1094

5

解：⑴设存水量y 与放水时间x 的函数解析式为y=kx+b,

把（2，17）、（12，8）代入y=kx+b,得∴y=-

994188x+ (2≤x ≤) 1095

⑵由图象可得每个同学接水量为0.25升，

则前22个同学需接水0.25×22=5.5（升），存水量y=18-5.5=12.5（升） ∴12.5=-994

x+ 解得 x=7 105

9944949

×10+=，用去水18-=8.2（升）8.2÷0.25=32.8 10555

∴前22个同学接水共需要7分钟。 ⑶当x=10时，存水量y=-

∴课间10分钟内最多有32个同学能及时接完水。

例题4、日照市是中国北方最大的对虾养殖产区，被国家农业部列为对虾养殖重点区域；贝类产品西施舌是日照特产．沿海某养殖场计划今年养殖无公害标准化对虾和西施舌，由于受养殖水面的制约，这两个品种的苗种的总投放量只有50吨．根据经验测算，这两个品种的种苗每投放一吨的先期投资、养殖期间的投资 以及产值如下表： （单位：千元/吨）

养殖场受经济条件的影响，先期投资不超过360千元，养殖期间的投资不超过290千元．设西施舌种苗的投放量为x 吨 （1）求x 的取值范围；

（2）设这两个品种产出后的总产值为y （千元），试写出y 与x 之间的函数关系式，并求出当x 等于多少时，y 有最大值？最大值是多少？

解：设西施舌的投放量为x 吨，则对虾的投放量为（50-x ）吨，

⎧9x +4(50-x ) ≤360, ⎧x ≤32, 根据题意，得：⎨ 解，得：⎨ ∴30≤x ≤32；

3x +10(50-x ) ≤290. x ≥30. ⎩⎩ （2）y =30x +20(50-x )=10x +1000．

∵30≤x ≤32，100>0，∴1300≤x ≤1320，∴ y 的最大值是1320， 因此当x =32时，y 有最大值，且最大值是1320千元.

课堂训练

1、某软件公司开发出一种图书管理软件，前期投入的开发广告宣传费用共50000元，且每售出一套软件，软件公司还需支付安装调试费用200元。

（1）试写出总费用y （元）与销售套数x （套）之间的函数关系式。

（2）如果每套定价700元，软件公司至少要售出多少套软件才能确保不亏本。

2、某工厂现有甲种原料280kg ，乙种原料190kg ，计划用这两种原料生产A ，B 两种产品50件，已知生产一件A 产品需甲种原料7kg 、乙种原料3kg ，可获利400元；生产一件B 产品需甲种原料3kg ，乙种原料 5kg ，可获利350元． （1）请问工厂有哪几种生产方案？

（2）选择哪种方案可获利最大，最大利润是多少？

3、小明、小颖两名同学在学校冬季越野赛中的路程y （千米）与时间x （分）的函数关系如图所示。

（1）根据图象提供的数据，求比赛开始后，两人第一次相遇所用的时间； （2）根据图象提供的信息，请你设计一个问题，并给予解答

4、运动会前夕, 小明和小亮相约晨练跑步. 小明比小亮早1分钟离开家门,3分钟后迎面遇到从家跑来的小亮. 两人沿滨江路并行跑了2分钟后, 决定进行长跑比赛, 比赛时小明的速度始终是180米/分, 小亮的速度始终是220米/分. 下图是两人之间的距离y （米）与小明离开家的时间x （分钟）之间的函数图象, 根据图象回答下列问题： ⑴请直接写出小明和小亮比赛前的速度.

⑵请在图中的( )内填上正确的值, 并求两人比赛过程中y 与x 之间的函数关系式. （不用写自变量x 的取值范围）

⑶若小亮从家出门跑了14分钟后, 按原路以比赛时的速度返回, 则再经过多少分钟两人相遇？ y （

5、小聪和小明沿同一条路同时从学校出发到宁波天一阁查阅资料，学校与天一阁的路程是4千

米，小聪骑自行车，小明步行，当小聪从原路回到学校时，小明刚好到达天一阁，图中折线O －A －B －C 和线段OD 分别表示两人离学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系，请根据图象回答下列问题：

（1）小聪在天一阁查阅资料的时间为__________分钟，小聪返回学校的速度为_______千米/分

钟。

（2）请你求出小明离开学校的路程s （千米）与所经过的时间t （分钟）之间的函数关系; （3）当小聪与小明迎面相遇时，他们离学校的路程是多少千米？

6

(1) 请分别求出甲、乙两队行驶路程y 与时间t (t ≥0) 之间的函数关系； (2) 出发后，t 为何值时，甲、乙两队行驶的路程相等？

7、如图①，A 、B 、C 三个容积相同的容器之间有阀门连接．从某一时刻开始，打开A 容器阀门，以4升/分的速度向B 容器内注水5分钟，然后关闭，接着打开B 阀门，以10升/分的速度向C 容器内注水5分钟，然后关闭．设A 、B 、C 三个容器的水量分别为y A 、y B 、y C (单位：升) ，时间为t (单位：分) ．开始时，B 容器内有水50升．y A 、y C 与t 的函数图象如图②所示．请在0≤t ≤10的范围内解答下列问题：

(1) 求t ＝3时，y B 的值．

(2) 求y B 与t 的函数关系式，并在图②中画出其图象． (3) 求y A ∶y B ∶y C ＝2∶3∶4时t 的值．

8．张师傅驾车运荔枝到某地出售，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油

站加油若干升，油箱中剩余油量y (升) 与行驶时间t (小时) 之间的关系如图所示． 请根据图象回答下列问题：

(1) 汽车行驶 小时后加油，中途加油 升； (2) 求加油前油箱剩余油量y 与行驶时间t 的函数关系式； (3) 已知加油前、后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，图①

图②

9、某单位急需用车, 但又不准备买车, 他们准备和一个体车主或一国营出租车公司其中的一家订月租车合同. 设汽车每月行驶x 千米, 应付给个体车主月租费是y 1元, 应付给出租车公司的月租费是y 2元,y 1和y 2分别与x 之间的函数关系图象（两条射线），观察图象回答下列问题：

（1）每月行驶的路程在什么范围内时, 租国营公司的车合算？ （2）每月行驶的路程等于多少时, 两家车的费用相同？

（3）如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米, 那么这个单位租那家的车合算？

10、某市电话的月租费是20元，可打60次免费电话（每次3分钟），超过60次后，超过部分每次0. 13元。

（1）写出每月电话费y （元）与通话次数x 之间的函数关系式； （2）分别求出月通话50次、100次的电话费； （3）如果某月的电话费是27. 8元，求该月通话的次数

11、某公司经营甲、乙两种商品，每件甲种商品进价12万元，售价14.5万元；每件乙种商品进价8万元，售价10万元，且它们的进价和售价始终不变．现准备购进甲、乙两种商品共20件，所用资金不低于190万元，不高于200万元． (1)该公司有哪几种进货方案?

(2)该公司采用哪种进货方案可获得最大利润? 最大利润是多少?

(3)若用(2)中所求得的利润再次进货，请直接写出获得最大利润的进货方案．

12、某工厂现有甲种原料226kg ，乙种原料250kg ，计划利用这两种原料生产A ，B 两种产品共40件，生产A ，B 两种产品用料情况如下表： 设生产A 产品x 件，请解答下列问题：

（1）求x 的值，并说明有哪几种符合题意的方案； （2）若甲种原料50元／kg ，乙种原料40

元／kg ，说明（1）中哪种方案较优？

专题：一次函数与实际问题

练答案：

1、解（1）y =50000+200x

（2）设软件公司至少要售出x 套软件才能保证不亏本，则有 700x ≥50000+200x 。解得x ≥100。

∴软件公司至少要售出100套软件才能确保不亏本。 2、解：（1）设生产A 产品x 件，生产B 产品(50-x ) 件，则

⎧7x +3(50-x ) ≤280

解得：30≤x ≤32.5． ⎨

⎩3x +5(50-x ) ≤190

x 为正整数，∴x 可取30，31，32．

①当x =30时，50-x =20，即生产A 产品30件，生产B 产品20件； ②当x =31时，50-x =19，即生产A 产品31件，生产B 产品19件； ③当x =32时，50-x =18，即生产A 产品32件，生产B 产品18件。 （2）①的利润为：30⨯400+20⨯350=19000元；

②的利润为：31⨯400+19⨯350=19050元； ③的利润为：32⨯400+18⨯350=19100元． ∴选择③可获利最多，最大利润为19100元

3、解（1）设AB 的解析式为y =kx +b ，把A （10，2），B （30，3）代入得

1⎧k =，⎪⎧2=10k +b ，13⎪20

y =x + 解得∴，当y =2.5时，x =20。 ⎨⎨

32023=30k +b ，⎩⎪b = 。⎪2⎩

∴比赛开始后20分钟两人第一次相遇。 （2）只要设计问题合理，并给出解答，均正确

4、解：（1）小明：（540-440）/1=100（m/min）; 小亮：440/2-100=120（m/min）

⎧80=7k +b

（2）由题意可设y=kx+b，当x=7时，y=(220-180)×（7-5）=80，⎨，解得：

⎩0=5k +b ⎧k =40

，∴关系式为y=40x-200 ⎨

⎩b =-200

（3）将x=15代人（2）中关系式，得y=400，则相遇时间为400/(180+220)=1(min)

5、(1)15;4/15

⎧0=0+b ⎧k =4/45

(2)设s=kx+b，由图象可知⎨，解得：⎨，则s=4t/45.

4=45k +b b =o ⎩⎩

（3）由图可知，两人在30＜t ＜45内相遇，设此时间内小聪离校距离与时间的函数关系式为

⎧4=30m +n ⎧m =-4/15

s=mt+n，∵⎨，∴⎨∴关系式为s=-4t/15+12

⎩0=45m +n ⎩n =12

⎧s =4t /45⎧s =3

则方程⎨的解⎨即为相遇时s 、t 值，即路程为3km 时，两人相遇。

s =-4t /15+12t =135/4⎩⎩⎧2t (0≤t ≤200)

6、（1）甲y=12t/5(t≥0) ；乙y=⎨

＜t ≤450) ⎩16t /5-240(200

⎧y =12t /5200＜t ≤450 （2）时，两人相遇，则⎨联立，解得t=300（s ）

y =16t /5-240⎩7、（1）由题意可知yB=50+4×3=62（L ） （2）设yB=kt+b，当0≤t ≤5时，y B =4t+50

当5＜t ≤10时，y B =50+4×5-10（t-5）（3）①0≤t ≤5时，yc=70，当ya=35时，符合题意，

由图可知，此范围内ya 最小值为40，所以此时无解；

②5＜t ≤10时，ya=40，则只需yb=60，求得t=6，此时，yc=80，符合题意。

8、（1）3；31

图① 图②

⎧50=b ⎧k =12

（2）设关系式y=kt+b，图象过（0,50），（3,14）则⎨，解得⎨

14=3k +b b =50⎩⎩

∴y=12t+50

（3）由题意可知，需行驶210/70=3(h),即t=6时，延长图象交t 于（7,0），∴够用 9、观察图象可知, 当x=1500（千米）时, 射线y1和y2相交；在0≤x1500时,y1在y2下方. 结合题意, 则有

（1）每月行驶的路程小于1500千米时, 租国营公司的车合算； （2）每月行驶的路程等于1500千米时, 两家车的费用相同；

（3）由2300>1500可知, 如果这个单位估计每月行驶的路程为2300千米, 那么这个单位租个体车主的车合算.

⎧20(0≤x ≤60) ⎨

y y x 10、（1）由题意得：与之间的函数关系式为：＝⎩20+0. 13(x -60)(x >60) （2）当x ＝50时，由于x ＜60，所以y ＝20（元）

当x ＝100时，由于x ＞60，所以y ＝20+0. 13(100-60) ＝25.2（元） （3）∵y ＝27.8＞20 ∴x ＞60

∴20+0. 13(x -60) =27. 8 解得：x ＝120（次）

11、 (1)设购进甲种商品x 件，乙种商品(20-x)件．

190≤12x+8(20-x)≤200 解得7.5≤x ≤10． ∵ x为非负整数，∴ x取8，9，lO

有三种进货方案：购甲种商品8件，乙种商品12件

购甲种商品9件，乙种商品ll 件 购甲种商品lO 件，乙种商品10件 (2)购甲种商品10件，乙种商品10件时，可获得最大利润最大利润是45万元 (3)购甲种商品l 件，乙种商品4件时，可获得最大利润

⎧7x +3(40-x ) ≤226，⎨

12、解：（1）根据题意，得⎩4x +10(40-x ) ≤250.

这个不等式组的解集为25≤x ≤26.5． 又x 为整数，所以x =25或26． 所以符合题意的生产方案有两种： ①生产A 种产品25件，B 种产品15件； ②生产A 种产品26件，B 种产品14件．

（2）一件A 种产品的材料价钱是：7⨯50+4⨯40=510元． 一件B 种产品的材料价钱是：3⨯50+10⨯40=550元． 方案①的总价钱是：25⨯510+15⨯550元． 方案②的总价钱是：26⨯510+14⨯550元．

25⨯510+15⨯550-(26⨯510+14⨯550) =550-510=40

元．

由此可知：方案②的总价钱比方案①的总价钱少，所以方案②较优．