二元函数的全微分求积
第24卷
V01.24
第5期
No.5
重庆理工大学学报(自然科学)
JournalofChongqingUniversityofTechnology(NaturalScience)
2010年5月
Mav.2010
二元函数的全微分求积
张勇军
(海南大学信息科学技术学院,海口570228)
摘要:介绍了二元函数全微分求积的3种不同方法:利用平面上曲线积分的求法、利用不
定积分求出原函数的方法和利用全微分方程求解的方法。用实例证明了3种方法的可行性。关键词:二元函数;全微分;求积中图分类号:0172
文献标识码:Aof
文章编号:1674—8425(2010)05—0111—04
DifferentialforDualisticFunctions
QuadratureComplete
ZHANG
(Hannan
Yong-jun
571737,China)
University,Haikou
Abstract:Thispaperintroducesthreedifferentmethods,themethodusingquadratureofplanes,themethodusingindefinitequadraturetogetoriginalfunctions
curvesoil
and
the
method
usingcomplete
ex—
differentialequations,togetthequadratureofthecompletedifferentialfordualisticfunctions.Theamplesinthispaperprovethefeasibilityofthosethreemethods.Keywords:dualisticfunction;completedifferential;quadrature.
全微分是多元函数微分学中一个非常重要的概念,它反映了多元函数函数值的增量与其自身的自变量及其偏导数之间的一种关系。通过多元函数的全微分,在一定的条件下可以求得满足一定关系的函数解析式,从而得出各个变量之间的关系。对于全微分方程,通过建立的数学模型求解是一种行之有效的方法。
1
二元函数的全微分求积‘1。6】
平面上曲线积分与路径无关的定义和条件
定义l设G是一个区域,p(髫,Y)和Q(x,Y)在区域G内具有一阶连续的偏导数。如果对于G内任
1.1
意指定的2点A和B,以及G内从点A到点B的任意2条曲线£。,£:,等式lPdx+Qdy=f
J厶
J
Pdx+Qdy
b
恒成立,就称曲线积分LP也+Qdy在G内与路径无关,否则与路径有关。
定理l设区域G是一个单连通区域,函数p(x,Y),Q(x,Y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积
・收稿日期:2010—12—14
基金项目:教育部农林院校大学数学教学规范的研究与实践项目(高教司函(2007)143)作者简介:张勇军(1977一),男,陕西渭南人,硕士研究生,讲师,主要从事大学数学研究。
112
重庆理工大学学报
分fPdx+Qdy在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为o)的充分必要条件是答:粤在
JL
d,,
d石
G内恒成立。
1.2表达式p出+Qdy是某个二元函数M(戈。Y)的全微分的条件及u(x。Y)求法
定理2设区域G是一个单连通区域,函数P(戈,Y),Q(x,Y)在G内具有一阶连续偏导数,则曲线积
分f
Pdx+Qdy
J工
G内为某一函数u(髫,y)的全微分的充分必要条件为娑:笔在G内恒成立。
Oy
d菇
1)利用平面上曲线积分的求法
设已知条件娑:竽在G内恒成立,则由定理2.--f知,起点为坞(Xo,Yo),终点为肘(x,y)的曲线积分在暇
。
cry
区域G内与路径无关,于是这个曲线积分写作J(即川P以+Qdy。当起点眠(‰,yo)固定时,这个积分的值取决于终点肘(石,),),故它是x,y的函数,记作u(戈,y),即Ⅱ(菇,y):J(m加)Pdx+Qdy,u(戈,y)=J柏p(x,yo)
dx+丘Q(x,y)dy,M(z,,,)=LQ(xo,y)dy+丘尸(x,y)dx。
2)利用不定积分求原函数
设已知条件娑=警在G内恒成立,因为函数“(并,),)满足罢=P(戈,,),考=Q(x,ydT
d。cd。cO~
),故u(菇,),)=,詈
J
dx
dx=,尸(x,y)dx+9(,,),其中9(,,)是),的待定函数(u(石,y)=,詈母=.rQ(x,y)dy+妒(戈),9(戈)是菇的
待定函数),由此得考=专[,P(x,y)出+妒(,,)]=专[,P(菇,,,)以】+妒’(),),又u必须满足考=Q(x,y),
故茜[J
P(x,y)dx]+妒’(),)=Q(菇,,,),从而求得妒(y),所以求得u(髫,,,)。3)利用全微分方程求解的方法定义2设一阶微分方程为
P(x,Y)dx+Q(x,y)=0
(1)
如果它的左端恰好是某一个函数u=“(髫,Y)的全微分:du(x,Y)=P(x,Y)dx+Q(x,Y)dy,那么方程(1)就叫做全微分方程。・
定理3一阶微分方程P(戈,Y)dx+Q(菇,Y)=0是全微分方程的充分必要条件是
业:鲤
Oy
Ox
若p(x,y)出+Q(菇,y)=o,且筹=鲤Ox,则有du(茁,,,)=P(戈,,,)出+Q(x,y)d),,即u(戈,,,)=c,其中
C为任意的常数。
2实例
验证在整个xoy面内,xy2dx+髫2),以是某个函数的全微分,并求出一个这样的函数。
解:因尸=矿,Q一_*2了,且=O砂P=2夥=署在整个川面内恒成立,故夥2出+戈2,,以是在整个叫面内某
个函数的全微分;求解函数u(x,y),使其满足du(x,,,)=xy2dx+戈2yd,,。
张勇军:二元函数的全微分求积
113
方法1利用公式Ⅱ(省,,,)=L尸(菇,yo)dx+y。Q(省,y)dy,则有
“(名,,,)=虎:矿以+x2ydy=foA掣2出+x2y妙+fAsxy2dx+x2y妙=。+f菇2纳X2f,,dy=竿
方法2利用不定积分求H(龙,),)。因为函数u满足塑Ox=矿,故
“=缈以=孚州y)
其中:妒(y)是,,的待定函数;由此得考=菇2y+97(y),又扯必须满足考=z2,,,故戈2y+妒7(y)=石2y,从而
妒7(,,)=o,妒(,,)=c,所求函数为u(茗,),)=等2
2+c,c为任意的实常数。
方法3利用全微分方程求解。因蒡=2矽=鲁,故夥2出+茁2),妙=o,设乩(戈,,,)=xy2dx+x2y妙,
即du=o,dH(并,y)=d(等22),也(茗,y)=d(等22+c),故z‘(石,y)=盟2+c,c为任意的实常数。
3
空间曲线积分与路径无关的条件
定理4设空间区域G是一维单连通域,函数P(x,y,z),Q(x,Y,名),R(x,Y,石)在G内具有一阶连续
的偏导数,则空间曲线积分JPdx+Qdy+Rdz在G内与路径无关(或沿G内任意闭曲线的曲线积分为
O)的充分必要条件是
翌一盟鲤一塑塑一一OP
Oy—Ox’Oz—Oy’Ox—Oz
…
、‘7
在G内恒成立。
定理5设空间区域G是一维单连通区域,函数P(x,y,z),Q(x,Y,Z),R(龙,Y,Z)在G内具有一阶连
续的偏导数,则表达式f
Pdx+Qdy+Rdz在G内成为某一函数H(髫,,,,彳)的全微分的充分必要条件是式
(2)在G内恒成立;当该条件满足时,函数(不计一常数之差)可用下式求出
M(”,。)2k肭)P如+Qd,,+Rdz
或用定积分表示为
,(*,Y,z)。
u(Ⅵ力=L咏,Yo,Zo)d茁+f—Q(x,y,zo)dy+£m,Y,z)dz
其中纸(菇。,%,知)为G内某~定点,点M(x,Y,:)∈G。
4
(3)
结束语
介绍了二元函数全微分求积的3种不同方法:平面上曲线积分的求法、不定积分求出原函数的方法
和全微分方程求解的方法。通过公式(3)可求得满足条件(2)的三元函数,采用的是曲线积分法。是否
114
-—_——-_一L
重庆理.3L大学学报
IIl●—●—__—_●●●—-__—●—__—___●—-——●—-——_-_--—————___●■—●—一
还可以利用不定积分法和微分方程法求解三元函数U(x,Y,:),是值得进一步思考和探讨的问题。参考文献:
同济大学应用数学系.高等数学[M].5版.北京:高等教育出版社,2002.
王金金,李广民,于力.新编高等数学学习辅导[M].西安:西安电子科技大学出版社,1999.
1J1J
l=l心p
同济大学基础数学教研室.高等数学解题方法与同步训练[M].上海:同济大学出版社,1998.
l!l陋№
李成章,黄玉民.数学分析[M].2版.北京:科学出版社,2004.李大华.工科数学分析[M].2版.武汉:华中科技大学出版社,2004.张传义,包革军,张彪.工科数学分析[M].北京:科学出版社,2001.
(责任编辑刘舸)
(上接第99页)
[2]
“∞t剜oc_thostLs瓯r∞l
rool
ButL
J。JeffreyL,NksonPIJ.HiddenProcesses:
On
qiuyJn|暮.,hlde..proc
3
The
例
富SSSSSSSSS
ImplicationforIntrusi
ofthe2003IEEE
Detection[C]//Pr
Off
£t00t∞loczIholtqluyanl#ps—IIUZ[
l
PlD岫’u制啪vSZ幅S
0.0O.0O.OO.O0.OO.OO.OO.O0.0O。OO.O
0.00.00.00.00.00.0O.OO.O0.OO.OO.O
1456
000000O0OO
2’●S69lO●I707l72
0
1_Ⅳ
7
oeeedingsnited
Workshop
AssuranceU-
4BO?07O?00
77
StatesMilitaryAcademy,WestPoint.NewYork:
r∞tr∞t
footroott00trootr00troot
IEEEPress.2003.
[3]
嘲*般撇擞w
w
赵炯.Linux内核完全注释[M].j匕京:机械工业出版社.2004:56—62.
O?O?0
7
SwSw
O?O?
r∞t[4]袁源.基于LKM的Linux安全检测器的设计与实现[J].计算机应用研究,2005(7):131—133。
图6执行进程隐藏之后的进程
[5]EanielP,Bovet,MarcoC.深入理解Linux内核[M].3
版.北京:电子工业出版社。2006:44—48.
5结束语
本文在研究Linux2.6系统的内核运行原理的基础上,分析了基于Linux2.6内核下的进程隐藏机制,提出一种进程隐藏方法,即利用截获proe调用函数来替换VFS原来的系统调用,当遍历proe下的进程目录时,将自己要隐藏的进程过滤,从而达到隐藏进程的目的。
[6]
倪继利.Linux内核分析及编程[M].北京:电子工业出版社。2005:89—92.
[7]毛德操,胡希明.Linux内核源代码情景分析:下册[M].杭州:浙江大学出版社,2001.
[8]邢丹,李艺.LKM机制脆弱性分析[c]//全国第16
届计算机科学与技术应用(CAcIS)学术会议论文
集.北京:【出版者不详】,2004:67—69.
[9]
Michael
BeckHarald.Linux内核编程指南[M].3
版.北京:清华大学出版社,2004.[10]
贾明.Linux下的c编程[M].北京:人民邮电出版社。200l:205—207.
Mess,Rombini.LINUX设备驱动程序[M].j匕京:中
参考文献:
[1]ButlerJ,UndercofferJ
L。Pinkst
on
J.Hidden
国电力出版社。舢.
Proc踟:The
[C]∥Pr
formatiN
on
ImplicationforIntrusionDetecfi
[12]
on
李善平,陈文智.边学边干Linux内核指导[M].杭州:浙江大学出版社,2002:40—47.
oeeedingsofthe2003AssuranceUnited
IEEEWorkshop
Off
In-
StatesMilitaryAcademy.
[13]陈莉军.Linux操作系统内核分析[M].北京:人民邮电出版社.2000:90一91.
Y:WestPoint.2003:1092—1099.
(责任编辑刘舸)