导数2014-2016高考文科数学试题

三年高考（2014-2016）数学（文）试题分项版解析

第三章 导数

一、选择题

1. 【2015高考北京，文8】某辆汽车每次加油都把油箱加满，下表记录了该车相邻两次加油时的情况．

注：“累计里程“指汽车从出厂开始累计行驶的路程在这段时间内，该车每100千米平均耗油量为（ ） A ．6升 B．8升 C．10升 D．12升

2. 【 2014湖南文9】若0

A. e 2-e 1>ln x 2-ln x 1 C. x 2e 1>x 1e 2

x

x

x

x

B. e 2-e 1

x

x

x x

D.x 2e 1

3. 【2015高考湖南，文8】设函数f (x ) =ln(1+x ) -ln(1-x ) ，则f (x ) 是( )

A 、奇函数，且在（0,1）上是增函数 B 、奇函数，且在（0,1）上是减函数 C 、偶函数，且在（0,1）上是增函数 D 、偶函数，且在（0,1）上是减函数

4. 【2014全国2，文11】若函数f (x )=kx -Inx 在区间(1, +∞)单调递增，则k 的取值范围是（ ）

（A ）(-∞, -2] （B ）(-∞, -1] （C ）[2, +∞) （D ）[1, +∞)

5. 【2016高考新课标1文数】若函数f (x ) =x -是（ ）

1

sin 2x +a sin x 在(-∞, +∞)单调递增, 则a 的取值范围3

（A ）[-1,1]（B ）⎢-1, ⎥（C ）⎢-, ⎥（D ）⎢-1, -⎥

3333

⎡⎣

1⎤⎦⎡11⎤⎣⎦⎡

⎣

1⎤⎦

6. 【2014全国1，文12】已知函数f (x ) =ax 3-3x 2+1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0>0，则a 的

取值范围是( )

(2, +∞) （B ）(1, +∞) （C ）(-∞, -2) （D ）(-∞, -1)

7. 【2016高考四川文科】设直线l 1，l 2分别是函数f (x )= ⎨

⎧-ln x ,0

图象上点P 1，P 2处的切线，l 1

⎩ln x , x >1,

与l 2垂直相交于点P ，且l 1，l 2分别与y 轴相交于点A ，B ，则△P AB 的面积的取值范围是( ) (A)(0,1) (B) (0,2) (C) (0,+∞) (D) (1,+ ∞)

8. 【2016高考四川文科】已知a 函数f (x ) =x 3-12x 的极小值点，则a =( )

(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2

9. 【2015高考福建，文12】“对任意x ∈(0,

π

2

) ，k sin x cos x

A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ． 充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件

10. (2014课标全国Ⅰ，文12) 已知函数f (x ) ＝ax 3－3x 2＋1，若f (x ) 存在唯一的零点x 0，且x 0＞0，则a 的取

值范围是( ) ．

A ．(2，＋∞) B ．(1，＋∞) C ．(－∞，－2) D ．(－∞，－1)

3211. 【2014辽宁文12】当x ∈[-2,1]时，不等式ax -x +4x +3≥0恒成立，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．[-5, -3] B ．[-6, -] C ．[-6, -2] D ．[-4, -3]

9

8

二、填空题

1. 【2014高考广东卷. 文.11】曲线y =-5e x +3在点(0, -2)处的切线方程为________.

-x -1

2. [2016高考新课标Ⅲ文数]已知f (x )为偶函数，当x ≤0 时，f (x ) =e 则曲线y =f (x )在(1,2) -x ，

处的切线方程式_____________________________.

3. 【2015高考陕西，文15】函数y =xe x 在其极值点处的切线方程为____________.

4. 【2015高考新课标1，文14】已知函数f (x )=ax 3+x +1的图像在点(1, f (1))的处的切线过点(2,7)，

则

a = .

5. 【2014，安徽文15】若直线l 与曲线C 满足下列两个条件：

(ii ) 曲线C 在P 附近位于直线l 的两侧， (i ) 直线l 在点P (x 0, y 0)处与曲线C 相切；则称直线l 在点P 处“切

过”曲线C ，

下列命题正确的是_________(写出所有正确命题的编号) ①直线l :y =0在点P (0, 0)处“切过”曲线C ：y

=x 3

②直线l :x =-1在点P (-1, 0)处“切过”曲线C ：y =(x +1) 2 ③直线l :y =x 在点P (0, 0)处“切过”曲线C ：y =sin x ④直线l :y =x 在点P (0, 0)处“切过”曲线C ：y =tan x ⑤直线l :y =x -1在点P (1, 0)处“切过”曲线C ：y =ln x

6. 【2015高考天津，文11】已知函数f (x )=ax ln x , x ∈(0, +∞) , 其中a 为实数, f '(x )为f (x )的导函

数, 若f '(1)=3 , 则a 的值为 ．

7. 【2015新课标2文16】已知曲线y =x +ln x 在点(1,1) 处的切线与曲线y =ax 2+(a +2)x +1 相切,

则a = ．

三、解答题

1. 【2014高考北京文第20题】（本小题满分13分）

已知函数f (x ) =2x 3-3x .

（1）求f (x ) 在区间[-2,1]上的最大值；

（2）若过点P (1,t ) 存在3条直线与曲线y =f (x ) 相切，求t 的取值范围；

（3）问过点A (-1,2), B (2,10),C (0,2)分别存在几条直线与曲线y =f (x ) 相切？（只需写出结论）

x 2

-k ln x ，k >0． 2. 【2015高考北京，文19】（本小题满分13分）设函数f (x )=2

（I ）求f (x )的单调区间和极值；

（II ）证明：若f (x )存在零点，则f (x

)在区间上仅有一个零点．

(

3. 【2014高考广东卷. 文.21】(本小题满分14分) 已知函数f (x )=

(1) 求函数f (x )的单调区间；

13

x +x 2+ax +1(a ∈R ). 3

(2) 当a

⎛⎝1⎫⎛1⎫⎛1⎫

, 使得 ,1f x =f ()0⎪ ⎪ ⎪.

2⎭⎝2⎭⎝2⎭

2x

4. 【2016高考新课标1文数】（本小题满分12分）已知函数f (x )=(x -2)e +a (x -1)．

(I)讨论f (x )的单调性；

(II)若f (x )有两个零点, 求a 的取值范围.

25. 【2015高考广东，文21】（本小题满分14分）设a 为实数，函数f (x )=(x -a )+

x -a -a (a -1)．

（1）若f (0)≤1，求a 的取值范围； （2）讨论f (x )的单调性； （3）当a ≥2时，讨论f (x )+

4

在区间(0, +∞)内的零点个数． x

6. 【 2014湖南文21】已知函数f (x ) =x cos x -sin x +1(x >0) .

（1）求

f (x ) 的单调区间；

（2）记x i 为

f (x ) 的从小到大的第i (i ∈N *)个零点，证明：对一切n ∈N *，有

1112++ +

7. 【2016高考新课标2文数】已知函数f (x ) =(x +1)ln x -a (x -1) .

（I ）当a =4时，求曲线y =f (x ) 在(1, f (1))处的切线方程；（Ⅱ）若当x ∈(1, +∞)时，f (x ) ＞0，求a 的取值范围.

8. 【2014山东. 文20】（本题满分13分)

设函数f (x ) =a ln x +

x -1

, 其中a 为常数. x +1

（1）若a =0，求曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线方程； （2）讨论函数f (x ) 的单调性.

9. [2016高考新课标Ⅲ文数]设函数f (x ) =ln x -x +1．

（I ）讨论f (x ) 的单调性； （II ）证明当x ∈(1,+∞) 时，1

x -1

（III ）设c >1，证明当x ∈(0,1)时，1+(c -1) x >c x .

10. 【2015高考山东，文20】设函数

处的切线与直线（Ⅰ）求a 的值；

平行.

. 已知曲线

在点(1, f (1))

（Ⅱ）是否存在自然数k ，使得方程f (x ) =g (x ) 在(k , k +1) 内存在唯一的根？如果存在，求出k ；如果不存在，请说明理由；

（Ⅲ）设函数m (x ) =min{f (x ), g (x )}（min {p , q }表示，p , q 中的较小值），求m (x )的最大值.

11. 【2016高考北京文数】（本小题13分）

设函数f (x )=x +ax +bx +c .

3

2

（I ）求曲线y =f (x ). 在点0, f (0)处的切线方程；

（II ）设a =b =4，若函数f (x )有三个不同零点，求c 的取值范围；

2

（III ）求证：a -3b ＞0是f (x ). 有三个不同零点的必要而不充分条件.

()

12. 【2014高考陕西版文第21题】设函数f (x ) =ln x +

（1）当m =e （e 为自然对数的底数）时，求

m

, m ∈R . x

f (x ) 的最小值；

（2）讨论函数g (x ) =

x

f '(x ) -零点的个数；

3

f (b ) -f (a )

b -a

（3）若对任意b >a >0,

13. 【2016高考山东文数】(本小题满分13分)

设f (x )=x ln x –ax 2+(2a –1) x ，a ∈R . (Ⅰ) 令g (x )=f' (x ) ，求g (x ) 的单调区间；

(Ⅱ) 已知f (x ) 在x =1处取得极大值. 求实数a 的取值范围.

14. 【2014全国2，文21】（本小题满分12分）

已知函数

f (x ) =x 3-3x 2+ax +2，曲线y =f (x ) 在点(0,2)处的切线与x 轴交点的横坐标为-2.

（Ⅰ）求a ； （Ⅱ）证明：当k

15. 【2016高考天津文数】（（本小题满分14分）

设函数f (x ) =x -ax -b ，x ∈R ，其中a , b ∈R （Ⅰ）求f (x ) 的单调区间；

（Ⅱ）若f (x ) 存在极值点x 0，且f (x 1) =f (x 0) ，其中x 1≠x 0，求证：x 1+2x 0=0； （Ⅲ）设a >0，函数g (x ) =|f (x ) |，求证：g (x ) 在区间[-1, 1]上的最大值不小于.

316. 【2016高考浙江文数】（本题满分15分）设函数f (x ) =x +

3

1

4

1

，x ∈[0,1]. 证明：1+x

2

（I ）f (x ) ≥1-x +x ；

（II ）

33

17. 【2014四川，文21】已知函数f (x ) =e x -ax 2-bx -1，其中a , b ∈R ，e =2.71828 为自然对数

的底数。

（Ⅰ）设g (x ) 是函数f (x ) 的导函数，求函数g (x ) 在区间[0,1]上的最小值； （Ⅱ）若f (1)=0，函数f (x ) 在区间(0,1)内有零点，证明：e -2

18. 【2015高考四川，文21】已知函数f (x ) ＝－2lnx ＋x 2－2ax ＋a 2，其中a >0.

(Ⅰ) 设g (x ) 为f (x ) 的导函数，讨论g (x ) 的单调性；

(Ⅱ) 证明：存在a ∈(0，1) ，使得f (x ) ≥0恒成立，且f (x ) ＝0在区间(1，＋∞) 内有唯一解.

19. 【2016高考四川文科】（本小题满分14分）

设函数f (x ) =ax -a -ln x ，g (x ) =（Ⅰ）讨论f(x)的单调性； （Ⅱ）证明：当x ＞1时，g (x)＞0；

（Ⅲ）确定a 的所有可能取值，使得f (x ) >g (x ) 在区间（1，+∞）内恒成立.

2

1e

-x ，其中q ∈R ，e=2.718„为自然对数的底数. x e

20. 【2014全国1，文21】设函数f (x )=a ln x +

的切线斜率为0 （1）求b;

1-a 2

x -bx (a ≠1)，曲线y =f (x )在点(1，f (1))处2

（2）若存在x 0≥1, 使得f (x 0)

a

，求a 的取值范围。a -1

2x

21. 【2015高考新课标1，文21】（本小题满分12分）设函数f (x )=e -a ln x .

（I ）讨论f (x )的导函数f '(x )的零点的个数； （II ）证明：当a >0时f (x )≥2a +a ln

2

. a

22. 【2014年. 浙江卷. 文21】（本小题满分15分）

已知函数f (x )=x 3+3|x -a |(a >0) ，若f (x ) 在[-1,1]上的最小值记为g (a ) . （1）求g (a ) ；

（2）证明：当x ∈[-1,1]时，恒有f (x ) ≤g (a ) +4.

23. 【2015高考浙江，文20】（本题满分15分）设函数f (x ) =x 2+ax +b ,(a , b ∈R ) .

a 2

+1时，求函数f (x ) 在[-1,1]上的最小值g (a ) 的表达式； （1）当b =4

（2）已知函数f (x ) 在[-1,1]上存在零点，0≤b -2a ≤1，求b 的取值范围.

24. 【2014高考重庆文第19题】（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）

已知函数f (x ) =

x a 31

+-ln x -，其中a ∈R ，且曲线y =f (x ) 在点(1, f (1)) 处的切线垂直于y =x .

24x 2

（Ⅰ）求a 的值；

（Ⅱ）求函数f (x ) 的单调区间与极值.

32

25．【2015高考重庆，文19】已知函数f (x ) =ax +x （a ∈R ）在x=-

4

处取得极值. 3

(Ⅰ) 确定a 的值，

(Ⅱ) 若g (x ) =f (x ) e ，讨论的单调性.

x

26. 【2014，安徽文20】（本小题满分13分）

23

设函数f (x ) =1+(1+a ) x -x -x ，其中a >0

（I ）讨论f (x ) 在其定义域上的单调性；

（II ）当x ∈[0,1]时，求f (x ) 取得最大值和最小值时的x 的值，

(x -1) 2

27. 【2015高考福建，文22】已知函数f (x ) =ln x -．

2

(Ⅰ) 求函数f (x )的单调递增区间； （Ⅱ）证明：当x >1时，f (x )

（Ⅲ）确定实数k 的所有可能取值，使得存在x 0>1，当x ∈(1, x 0) 时，恒有f (x )>k (x -1)．

28. 【2015高考安徽，文21】已知函数f (x ) =

ax

(a >0, r >0)

(x +r ) 2

（Ⅰ）求f (x ) 的定义域，并讨论f (x ) 的单调性； （Ⅱ）若

a

=400，求f (x ) 在(0, +∞) 内的极值. r

23

ax (a >0), x ∈R 3

29. 【2014天津，文19】已知函数f (x ) =x 2-

（1） 求f (x ) 的单调区间和极值；

（2）若对于任意的x 1∈(2,+∞) ，都存在x 2∈(1, +∞) ，使得f (x 1) ⋅f (x 2) =1，求a 的取值范围

4

30. 【2015高考天津，文20】（本小题满分14分）已知函数f (x ) =4x -x , x ? R ,

（I ）求f (x ) 的单调区间;

（II ）设曲线y =f (x ) 与x 轴正半轴的交点为P , 曲线在点P 处的切线方程为y =g (x ) , 求证:对于任意的正实数x , 都有f (x ) £g (x ) ;

a 1（III ）若方程f (x )=a (a 为实数) 有两个正实数根x 1，x 2，且x 1

3

31. 【2014年普通高等学校招生全国统一考试湖北卷21】π为圆周率，e =2. 71828⋅⋅⋅为自然对数的底

数.

（1）求函数f (x ) =

ln x

的单调区间； x

3

（2）求e 3，3e ，e π，πe ，3π，π这6个数中的最大数与最小数；

（3）将e 3，3e ，e π，πe ，3π，π这6个数按从小到大的顺序排列，并证明你的结论.

3

32. 【2015高考湖北，文21】设函数f (x ) ，g (x ) 的定义域均为R ，且f (x ) 是奇函数，g (x ) 是偶函数，

f (x ) +g (x ) =e x ，其中e 为自然对数的底数.

（Ⅰ）求f (x ) ，g (x ) 的解析式，并证明：当x >0时，f (x ) >0，g (x ) >1； （Ⅱ）设a ≤0，b ≥1，证明：当x >0时，ag (x ) +(1-a )

f (x )

33. 【2014福建, 文22】（本小题满分14分）

已知函数

的图像与y 轴交于点A ，曲线y =f (x ) 在点A 处的切线斜率为-1. f (x ) =e x -ax （a 为常数）

（1）求a 的值及函数f (x ) 的极值；

2

（2）证明：当x >0时，x

x

（3）证明：对任意给定的正数e ，总存在x 0，使得当x ∈(x 0, +∞) 时，恒有x

34. (2014课标全国Ⅰ，文21) 设函数f (x ) ＝a ln x ＋

斜率为0.

(1)求b ；

(2)若存在x 0≥1，使得f (x 0)

1-a 2

x －bx (a ≠1) ，曲线y ＝f (x ) 在点(1，f (1))处的切线2

a

，求a 的取值范围． a -1

35. 【2015新课标2文21】（本小题满分12分）已知f (x )=ln x +a (1-x ).

（I ）讨论f (x )的单调性；

（II ）当f (x )有最大值, 且最大值大于2a -2时, 求a 的取值范围.

36. 【2014辽宁文21】（本小题满分12分）

已知函数f (x ) =π(x -cos x ) -2sin x -

2，g (x ) =(x -π证明：（Ⅰ）存在唯一x 0∈(0,（Ⅱ）存在唯一x 1∈(

2x

-1.

π

π

2

) ，使f (x 0) =0；

π

2

, π) ，使g (x 1) =0，且对（1）中的x 0+x 1>π.