点拨八年级数学上(R版)期末选优拔尖自测卷

期末选优拔尖自测卷 （120分,100分钟）

一、选择题（每题3分，共24分） 1. 下列运算正确的是（ ） A ．+=C ．

1a

1b

21

B ．a ÷b ×=a a +b b

x -y 1=-1 D ．3-1=-

3y -x

2. 若等腰三角形有两条边的长分别是3和1，则此等腰三角形的周长是（ ）

A ．5 B ．7 C ．5或7 D ．6

3. 若将代数式中的任意两个字母交换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，如a +b +c 就是完全对称式．下列四个代数式：①abc ；②ab +bc +ca ；③a 2b +b 2c +c 2a ；④(a -b )2．其中是完全对称式的是( ) A ．①②④ B ．①③ C ．②③ D ．①②③ 4. 若x 2+x -2=0, 则x 3+2x 2-x +2012的值是（ ）

A ．2014 B ．2013 C ． -201 4 D ．-2013 5. 若n 为整数，则能使

n +1

也为整数的n 有（ ） n -1

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6. 〈湖北仙桃〉如图1，在△ABC 中，AB =AC ，∠A =120°，BC =6 cm，AB 的垂直平分线交BC 于点M ，交AB 于点E ，AC 的垂直平分线交BC 于点N ，交AC 于点F ，则MN 的长为( )

A ．4 cm B ．3 cm C ．2 cm D ．1 cm

图1 图2 图3

7. 如图2所示，在直角三角形ABC 中，已知∠ACB ＝90°，点E 是AB 的中点，且DE ⊥AB ，DE 交AC 的延长线于点D 、交BC 于点F ，若∠D ＝30°，EF ＝2，则DF 的长是（ ）

A.5 B.4 C.3 D.2

8. 如图3所示，C 为线段AE 上一动点（不与点A ，E 重合），在AE 同侧分别作正△ABC 和正△CDE ，AD 与BE 交于点O ，AD 与BC 交于点P ，BE 与CD 交于点Q ，连接PQ ．以下四个结论：①△ACD ≌△BCE ；②AD =BE ；③∠AOB =60°；④△CPQ 是等边三角形．其中正确的是（ ）

A ．①②③④ B ．②③④ C ．①③④ D ．①②③ 二、填空题（每题3分，共24分） 9. 因式分解：a 3-6a 2+9a =___________．

1⎫201410. 计算：(-2014)+⎛ ⎪-(-1) =___________．

⎝2⎭

-1

11. 按图4所示程序计算：

图4

请将上面的计算程序用代数式表示出来并化简：_________．

12. 如图5，将△ABC 纸片沿DE 折叠，图中实 线围成的图形面积与原三角形面积之比为2∶3，

若图中实线围成的阴影部分面积为2，则 图5 重叠部分的面积为__________.

13. 〈辽宁沈阳〉已知等边三角形ABC 的高为4，在这个三角形所在的平面内有一点P ，若点P 到AB 的距离是1，点P 到AC 的距离是2，则点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是__________．

14. 在平面直角坐标系中，A （2，0），B （0，3），若△ABC 的面积为6，且点C 在坐标轴上，则符合条件的点C 的坐标为___________． 15. 如图6所示，在平面直角坐标系中，点A (2，2) 关于y 轴的对称点

-4)关于y 轴的对称点为D ．把一条长为2 014个单位为B ，点C (-2，

长度且没有弹性的细线(线的粗细忽略不计) 的一端固定在点A 处，并按A →B →C →D →A →„的规律紧绕在四边形ABCD 的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是__________．

图6 图7

16. 如图7的钢架中，焊上等长的13根钢条来加固钢架．若

AP 1=P 1P 2=P 2P 3= =P 13P 14=P 14A ，则∠A 的度数是________．

三、解答题（17、18题每题5分，23、25题每题9分，24题8分，26题12分，其余每题6分，共72分）

17. 如图8均为2×2的正方形网格，每个小正方形的边长均为1．请分别在两个图中各画出一个与△ABC 成轴对称、顶点在格点上，且位置不同的三角形．

图8

18. 如图9，△ABC 中，∠A =40°，∠B =76°，CE 平分∠ACB ，CD ⊥AB 于D ，DF ⊥CE 交CE 于F ，求∠CDF 的度数．

图9

a 2-4⎛1⎫

19. 在解题目：“当a =2 014时，求代数式⋅ 1-⎪-a +1的值”

a -3⎝a -2⎭

时，小明认为a 只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同的结果，你认为他说的有道理吗？请说明理由．

20. 已知M =4x 2-12xy +10y 2+4y +9，当式中的值最小？求此最小值.

x 、y 各取何值时，M 的

21. 是否存在实数x ，使分式

5x -44x +10

的值比分式的值大1？若存

x -23x -6

在，请求出x 的值；若不存在，请说明理由.

22. 如图10所示，AB ∥DC ，AD ⊥CD ，BE 平分∠ABC ，且点E 是AD 的中点，试探求AB 、CD 与BC 的数量关系，并说明你的理由

.

图10

23. 如图11，某船在海上航行，在A 处观测到灯塔B 在北偏东60°方向上，该船以每小时15海里的速度向东航行到达C 处，观测到灯塔B 在北偏东30°方向上，继续向东航行到D 处，观测到灯塔B 在北偏西30°方向上，当该船到达D 处时恰与灯塔B 相距60海里 （1）判断△BCD 的形状；.

（2）求该船从A 处航行至D 处所用的时间；

（3）若该船从A 处向东航行6小时到达E 处，观测灯塔在什么方向上？

图11

B ，灯塔B

24. 某地为某校师生交通方便，在通往该学校原道路的一段全长为300 m 的旧路上进行整修铺设柏油路面．铺设120 m后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务． (1)求原计划每天铺设路面的长度；

(2)若市政部门原来每天支付工人工资为600元，提高工效后每天支付给工人的工资增长了30%，现市政部门为完成整个工程准备了25 000元的流动资金．请问，所准备的流动资金是否够支付工人工资？并说明理由．

25. 如图12所示，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝10厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点．

图12

（1）如果点P 在线段BC 上以1厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时点Q 在线段CA 上由C 点向A 点运动．

①若点Q 的运动速度与点P 的运动速度相等，经过3秒后，△BPD 与△CQP 是否全等？请说明理由；

②若点Q 的运动速度与点P 的运动速度不相等，当点Q 的运动速度为多少时，能够使△BPD 与△CQP 全等？

（2）若点Q 以（1）②中的运动速度从点C 出发，点P 以原来的运动速度从点B 同时出发，都逆时针沿△ABC 三边运动，求经过多长时间点P 与点Q 第一次在△ABC 的哪条边上相遇？

26. 数学课上，老师出示了如下框中的题目， 在等边三角形ABC 中，点E 在AB 上，

点D 在CB 的延长线上，且ED ＝EC ， 如图13，试确定线段

AE 与DB 的数量关 图13 系，并说明理由. 小敏与同桌小聪讨论后，进行了如下解答： （1）特殊情况，探索结论

当点E 为AB 的中点时，如图14（1），确定线段AE 与DB 的数量关系，请你直接写出结论：AE ______DB （填“＞”“＜”或“=”）．

图14

（2）特例启发，解答题目

解：题目中，AE 与DB 的数量关系是：AE ______DB （填“＞”“＜”或“=”），理由如下：如图14（2），过点E 作EF ∥BC ，交AC 于点F ．（请你完成以下解答过程）

（3）拓展结论，设计新题

在等边三角形ABC 中，点E 在直线AB 上，点D 在直线BC 上，且ED =EC ，若△ABC 的边长为1，AE =2，求CD 的长．（请你直接写出结果）

参考答案及点拨 期末选优拔尖自测卷

一、1.C 点拨：因为+=

1a

1b

a +b 1

，所以A 错误；因为a ÷b ×=a ×ab b

x -y x -y 11a

×=2，所以Ｂ错误；因为=-=-1，所以C 正确；因为b b b y -x x -y 3-1=

1

，所以D 错误．应选C ． 3

2.B 点拨：分底边长为3和底边长为1两种情况讨论．

（1）若底边长为1，则这个等腰三角形的周长为7；（2）若底边长为3，这个等腰三角形不存在．故选B ．

3.A 点拨：根据完全对称式的定义可知abc 、ab +bc +ca 、(a -b )2是完全对称式，而a 2b +b 2c +c 2a 不是完全对称式，应选A ．

解答本题的关键是按照新定义，将四个代数式进行变换，然后对照确定正确选项．

4.A 点拨：方法1:由x 2+x -2=0得x 2+x =2， 所以原式=x (x 2+x )+x 2-x +2012=2x +x 2-x +2012 =x 2+x +2012=2+2012

=2014.

方法2：由x 2+x -2=0得x 2=2-x ，x 2+x =2,

所以原式=x (2-x )+2x 2-x +2012=x 2+x +2012=2+2012=2014. 5.D 点拨：原式=

(n -1)+2=1+

n -1

n +122

，要使为整数，则必须

n -1n -1n -1

为整数，因此n -1=2或-2或1或-1，解得n =3或-1或2或0；因此整数n 的值有4个， 应选D ．

6.C 点拨：如答图1，连接MA 、NA . ∵AB 的垂直平分线交BC 于M ，

交AB 于E ，AC 的垂直平分线交BC 于N ，交AC 于F ，∴BM =AM ，CN =AN ，∴∠MAB =∠B ，∠CAN =∠C ，∵∠BAC =120°，AB =AC ，∴∠B =∠C =30°，∴∠BAM =∠CAN =30°，∴∠AMN =∠ANM = 60°，∴△AMN 是等边三角形，∴AM =AN =MN ，∴BM=MN=NC ，∴MN =BC =2 cm，故选C ．

13

答图1

7.B 点拨：在Rt △AED 中，因为∠D ＝30°，所以∠DAE ＝60°；在Rt △ABC 中，因为∠ACB ＝90°，∠BAC ＝60°，所以∠B ＝30°；在Rt △BEF 中，因为∠B ＝30°，EF ＝2，所以BF ＝4；

连接AF ，因为DE 是AB 的垂直平分线，所以F A ＝FB ＝４，∠F AB ＝∠B ＝30°；因为∠BAC ＝60°，所以∠DAF ＝30°，因为∠D ＝30°，所以∠DAF ＝∠D ， 所以DF ＝AF ＝４. 故应选B. 8. A 点拨：由正△ABC 和正△CDE ，可知AC =BC ，∠ACB = ∠DCE =60°，CD =CE ，所以∠ACD =∠BCE ，所以△ACD ≌△BCE ，从而AD =BE ，∠CAD =∠CBE ；在△ACP 和△BPO 中，因为∠APC =∠BPO ，∠CAD =∠CBE ，所以由三角形内角和定理可得∠AOB = ∠ACB ＝60°；由条件可证△PCD ≌△QCE ，所以PC ＝QC ，又∠PCQ ＝60°，所以△CPQ 是等边三角形．应选A ．

二、9. a (a -3)2 点拨：原式=a (a 2-6a +9)=a (a -3)2．因式分解时，首先考虑提取公因式，再考虑运用乘法公式分解，同时注意要分解到不

能分解为止．

10. 2 点拨：原式=1+2-1=2．在无括号的实数混合运算中，先计算乘方，再计算乘除，最后进行加减运算．

11. (2a +a 2)÷a -a =2 点拨：由流程图可得(2a +a 2)÷a -a =2+a -a =2． 12. 2 点拨：设重叠部分的面积为x , 则实线围成的图形面积为2+x ，三角形ABC 面积为2+2x ．由题意得2+x =(2+2x )，解得x =2． 13. 1和7 点拨：点P 可在三角形内和三角形外，需要分情况求解．设点P 到△ABC 三边AB 、AC 、BC （或其延长线）的距离分别为h 1、h 2、h 3，△ABC 的高为h ．（1）当点P 在等边三角形ABC 内时：连接P A 、PB 、PC ，利用面积公式可得h 1+h 2+h 3=h ，则h 3=1，所以点P 到BC 的最小距离是1；（2）当点P 在等边三角形ABC 外时（只考虑P 离BC 最远时的情况）：同理可得h 1+h 2+h =h 3，此时h 3=7. 综上可知，点P 到BC 的最小距离和最大距离分别是1和7.

14. （-2, 0）、（6, 0）、（0, -3）、（0, 9）点拨：分点C 在x 轴上和点C 在y 轴上两种情况讨论，可得符合条件的点C 的坐标．（1）当点C 在x

0) ，则x -2⨯3=6，解得x =6或-2，因轴上时，设点C 的坐标为(x ，

1

2

23

此点C 的坐标为（-2, 0）、（6, 0）；（2）当点C 在y 轴上时，设点C 的坐标为(0，y ) ，则y -3⨯2=6，解得y =-3或9，因此点C 的坐标为（0, -3）、（0, 9）；综上得点C 的坐标为（-2, 0）、（6, 0）、（0, -3）、（0, 9）. 15. （2, -4） 点拨：因为A (2，2) 关于y 轴的对称点为B ，所以点B 的坐标为（-2, 2）；因为C （-2, -4）关于y 轴的对称点为D ，所以点D 的坐标为（2, -4），所以四边形ABCD 的周长为20，因为2 014÷

1

2

20=100„„14，说明细线绕了100圈，回到A 点后又继续绕了14个单位长度，故细线另一端到达点的坐标为（2, -4）. 本题利用周期的规律求解，因此求得细线绕四边形ABCD 一圈的长度是解题的关键. 16. 12° 点拨：设∠A =x ，∵AP 1=P 1P 2=P 2P 3= =P 13P 14=P 14A ， ∴∠A =∠AP 2P 1=∠AP 13P 14=x ，∴∠P 2P 1P 3=∠P 13P 14P 12=2x ， ∴∠P 3P 2P 4=∠P 12P 13P 11=3x ，„，∠P 7P 6P 8=∠P 8P 9P 7=7x ， ∴∠AP 7P 8=7x ，∠AP 8P 7=7x ，

在△AP 7P 8中，∠A +∠AP 7P 8+∠AP 8P 7=180°，即x +7x +7x =180°， 解得x =12°，即∠A =12°．

三、17. 解：如答图2所示，画出其中任意两个即可．

答图2

点拨：对称轴可以是过正方形对边中点的直线，也可以是正方形对角线所在的直线．本题可以通过折叠操作找到对称轴，从而确定轴对称图形．

18. 解：∵∠A =40°，∠B =76°，∴∠ACB =180 -40 -76 =64 ， ∵CE 平分∠ACB ，∴∠ACE =∠BCE =32°，∴∠CED =∠A +∠ACE =40°+32°=72°，∵DF ⊥CE ，CD ⊥AB ，∴∠CFD =∠CDE =90°，

∴∠CDF +∠ECD =∠ECD +∠CED =90°，∴∠CDF =∠CED =72°．

19. 解：小明说的有道理．

(a +2)(a -2)⋅a -3-a +1=a +2-a +1=3. a 2-4⎛1⎫

理由：⋅ 1--a +1=⎪

a -3⎝a -2⎭a -3a -2

所以只要使原式有意义，无论a 取何值，原式的值都相同，为常数3． 20. 解：M =4x 2-12xy +9y 2+y 2+4y +4+5=(2x -3y )2+(y +2)2+5， 因为(2x -3y )2≥0，(y +2)2≥0，所以当2x -3y =0且y +2=0，即x =-3且

y =-2时，M 的值最小，最小值为5.

21. 解：不存在. 理由：若存在，则

4x +105x -4

-=1. 3x -6x -2

方程两边同乘3(x -2)，得4x +10-3(5x -4)=3(x -2)， 解这个方程，得x =2.

检验：当x =2时，3(x -2)=0，原方程无解． 所以，不存在实数x 使分式

5x -44x +10

的值比分式的值大1．

x -23x -6

点拨：先假设存在，得到分式方程，再解分式方程，由分式方程的结果可说明理由. 22. 解：AB +CD =BC .

理由：如答图3，过点E 作EF ⊥BC 于点F . 因为AB ∥DC ，AD ⊥CD ， 所以AD ⊥AB .

因为BE 平分∠ABC ，所以EA=EF .

在Rt △ABE 和Rt △FBE 中，因为EA =EF ，BE =BE ， 所以Rt △ABE ≌Rt △FBE . 所以AB =BF .

因为E 是AD 的中点，所以AE =ED ，所以ED =EF . 在Rt △EDC 和Rt △EFC 中，因为ED =EF ，EC =EC ， 所以Rt △EDC ≌Rt △EFC . 所以DC =FC .

所以AB +DC =BF +CF =BC ，即AB +CD =BC .

答图3

23. 解：（1）由题意得：∠BCD =∠BDC =60°，∴∠CBD =60°. ∴△BCD 是等边三角形.

（2）由题意得：∠BAC =30°，∠ACB =120°， ∴∠ABC =∠BAC =30°， ∴AC =BC = BD =60海里，

∴AD = AC + CD =60+60=120（海里）， ∴t =120÷15=8（小时）.

∴该船从A 处航行至D 处所用的时间为8小时. （3）若该船从A 处向东航行6小时到达E 处，连接BE . 此时AE =15×6=90（海里），∴CE =90-60=30（海里）. ∴CE =DE =30海里. ∵△BCD 是等边三角形， ∴BE 是CD 的垂直平分线. ∴灯塔B 在该船的正北方向上.

24. 解：(1)设原计划每天铺设路面的长度为x m ． 根据题意得

120300-120

+=30．解之得x ＝9． 1+20x x

经检验：x ＝9是原方程的根, 且符合题意． 答：原计划每天铺设路面的长度为9 m． (2) 所准备的流动资金够支付工人工资． 理由：共支付工人工资为

300-120120

⨯600+⨯(1+30)⨯600=8000+13000=21000(元) ． 91+20⨯9

因为21000＜25000，所以所准备的流动资金够支付工人工资． 25. 解：（1）①因为t =3秒， 所以BP =CQ =1×3=3(厘米) ，

因为AB =10厘米，点D 为AB 的中点， 所以BD =5厘米．

又因为PC =BC -BP ，BC =8厘米， 所以PC =8-3=5(厘米) ， 所以PC =BD ．

因为AB =AC ，所以∠B ＝∠C ， 所以△BPD ≌△CQP ． ②因为v P ≠v Q ，所以BP ≠CQ ，

当△BPD ≌△CPQ 时，因为∠B ＝∠C ，AB =10厘米，BC =8厘米， 所以BP =PC =4厘米, CQ =BD =5厘米， 所以点P ，点Q 运动的时间为4秒，

所以v Q =厘米/秒，即当点Q 的运动速度为厘米/秒时，能够使 △BPD 与△CQP 全等.

（2）设经过x 秒后点P 与点Q 第一次相遇， 由题意，得x =x +2⨯10， 解得x =80．

所以点P 共运动了80厘米．

因为80=2×28+24，所以点P 、Q 在AB 边上相遇， 所以经过80秒点P 与点Q 第一次在△ABC 的边AB 上相遇. 26. 解：（1）＝ （2）＝；

在等边三角形ABC 中，∠ABC =∠ACB =∠BAC =60°，AB =BC =AC ， 因为EF ∥BC ，

所以∠AEF =∠AFE =60°=∠BAC ． 所以△AEF 是等边三角形， 所以AE =AF =EF ，

所以AB -AE =AC -AF ，即BE =CF . 因为ED =EC ， 所以∠EDB =∠ECB ，

又因为∠ABC =∠EDB +∠BED =60°, ∠ACB =∠ECB +∠FCE =60°, 所以∠BED =∠FCE ， 所以△DBE ≌△EFC ， 所以DB =EF ，

5

4

5454

所以AE =DB . (3)1或3.

点拨：(1)利用等边三角形三线合一知，∠ECB =30°，又ED =EC ，则∠D =30°，所以

∠DEC =120°，则∠DEB =30°=∠D , 所以DB ＝EB ＝AE ；(2)先证 △AEF 为等边三角形，再证△EFC ≌△DBE ，可得AE =DB ；(3)当E 在射线AB 上时，如答图4（1），AB ＝BC ＝EB ＝1，∠EBC ＝120°，所以∠BCE ＝30°，因为ED ＝EC ，所以∠D ＝30°，则∠DEB ＝90°，所以DB ＝2EB ＝2，所以CD ＝2+1＝3；

当E 在射线BA 上时，如答图4（2），过点E 作EF ⊥BD 于点F ，则∠BEF ＝30°，所以BF ＝BE ＝1.5, 所以CF ＝0.5，因为EC ＝ED ，EF ⊥CD ， 所以CD ＝2CF ＝1.

综上，CD 的长为1或3．

1

2

答图4