算术表达式与二叉树

目录

一、系统开发的背景 ................................................................................................................ 1 二、系统分析与设计 ................................................................................................................ 1 （一） 系统功能要求 ............................................................................................................. 1 （二） 系统模块结构设计 ..................................................................................................... 1 三、系统的设计与实现 ............................................................................................................ 3 （一） 二叉树的遍历 ............................................................................................................. 3 （二） 算术表达式求值 ......................................................................................................... 5 四、系统测试 ............................................................................................................................ 9 （一） 测试二叉树遍历函数 ................................................................................................. 9 （二） 测试算术表达式求值函数 ....................................................................................... 10 五、总结 .................................................................................................................................. 10 六、附件（代码、部分图表） .............................................................................................. 10 (一) 程序代码 . ......................................................................................................................... 10 (二) 实验截图 ........................................................................................................................ 15

算术表达式与二叉树

一、系统开发的背景

为了方便进行基本的算术运算，减轻对数字较大的数操作时所带来的麻烦，及其在运算过程中错误的避免。因此设计算术表达式与二叉树的程序来解决此问题。

二、系统分析与设计

（一） 系统功能要求

由于一个表达式和一棵二叉树之间，存在着自然的对应关系。遍写一个程序，实现基于二叉树表示的算术表达式的操作。算术表达式内可以含有变量（a ～z ）、常量（0～9）和二元运算符（+，-，*，/，^(乘幂) ）。 具体实现以下操作：

1以字符序列的形式输入语法正确的前缀表达式并构造表达式。 2用带括弧的中缀表达式输出表达式。

3实现对变量V 的赋值（V=c），变量的初值为0。 4对算术表达式E 求值。

（二） 系统模块结构设计

通过对系统功能的分析，基于二叉树表示的算术表达式的功能 如图（1）所示。

图1：基于二叉树表示的算术表达式的功能图

通过上图的功能分析，把整个系统划分为主要的两大个模块： 1、 将语法正确的前缀表达式用二叉树的遍历转换成相应的遍历序列，必要时可以求出此二叉树的结点数及其树的深度。该模块借助函数BiTree Create(BiTree T) 创建二叉树，void Preorder(BiTree T) 先序遍历， void InOrder(BiTree T) 中序遍历，void PostOrder(BiTree T) 后序遍历，int Sumleaf(BiTree T) 统计叶结点的数目，int Depth(BiTree T) 二叉树的深度6个函数联合来实现；

2、 计算中序遍历所得的算术表达式的值。其中先要将扫描得到的中缀表达式转换为后缀表达式，然后利用栈的初始化，进栈与取栈顶元素操作进行对后缀表达式进行计算。该模块借助函数void InitStack(SeqStack *S)初始化栈，int PushStack(SeqStack *S,char e) 进栈，int GetTop(SeqStack

S,char *e)取栈顶元素，void TranslateExpress(char str[],char exp[])中缀表达式转后缀表达式，float ComputeExpress(char a[])计算后缀表达式的值来实现；

三、系统的设计与实现

（一） 二叉树的遍历

分析：首先构建一棵二叉树，然后依次输出每个遍历的序列。流程图如图2所示。

图2：二叉树的遍历流程图

该模块的具体代码如下所示：

#include #include #define MaxSize 50 typedef struct

{ float data[MaxSize]; int top; }OpStack;

typedef struct

{char data[MaxSize]; int top; }SeqStack;

typedef struct BiTNode{

char data;

struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree;

BiTree Create(BiTree T)//用扩展先序遍历序列创建二叉树 { char ch;

ch=getchar(); if(ch=='0') T=NULL; else {

T=new BiTNode; T->data=ch;

T->lchild=Create(T->lchild); T->rchild=Create(T->rchild); } return T;}

void Visit(char ch)//访问根节点 { printf("%c ",ch);}

void Preorder(BiTree T)//先序遍历 { if(T==NULL) return;

Visit(T->data);

Preorder(T->lchild); Preorder(T->rchild); }

void InOrder(BiTree T)//中序遍历 { if(T==NULL) return;

InOrder(T->lchild); Visit(T->data); InOrder(T->rchild); }

void PostOrder(BiTree T)//后序遍历 {if(T==NULL) return;

PostOrder(T->lchild); PostOrder(T->rchild); Visit(T->data); }

int Sumleaf(BiTree T)//统计叶结点的数目 {int sum=0,m,n; if(T)

{if((!T->lchild)&&(!T->rchild))//该结点的左或右分支为空时 sum++;

m=Sumleaf(T->lchild); sum=sum+m;

n=Sumleaf(T->rchild); sum=sum+n;} return sum; }

int Depth(BiTree T)//二叉树的深度 {int dep=0,depl,depr; if(!T) dep=0; else{

depl=Depth(T->lchild); depr=Depth(T->rchild);

dep=1+(depl>depr?depl:depr);} return dep; }

void main() {

BiTree T; int sum,k;

printf("请输入二叉树中的元素(以扩展先序遍历序列输入):\n"); T=Create(T);

printf("先序遍历序列为:"); Preorder(T); printf("\n");

printf("中序遍历序列为:"); InOrder(T); printf("\n");

printf("后序遍历序列为:"); PostOrder(T); printf("\n"); sum=Sumleaf(T);

printf("叶结点的数目为:%d\n",sum); k=Depth(T);

printf("二叉树的深度为:%d\n",k); }

（二） 算术表达式求值

分析：首先初始化一个栈，然后对相关的数据元素及运算符进栈，之后中缀表达式转后缀表达式计算出后缀表达式的值。流程图如图3所示。

图3：算术表达式求值流程图

该模块的具体代码如下所示：

#include #include #include #include #include #define NULL 0 #define MaxSize 50 typedef struct

{ float data[MaxSize]; int top; }OpStack;

typedef struct

{char data[MaxSize]; int top; }SeqStack;

void InitStack(SeqStack *S)//初始化栈 { S->top=0; }

int StackEmpty(SeqStack S)//判断栈是否为空 { if(S.top ==0) return 1; else return 0; }

int PushStack(SeqStack *S,char e)//进栈 {if(S->top>=MaxSize)

{ printf("栈已满，不能进栈!");

return 0; } else

{ S->data[S->top]=e; S->top++;

return 1; } }

int PopStack(SeqStack *S,char *e)//删除栈顶元素 { if(S->top==0)

{ printf("栈已空\n"); return 0;

} else {S->top--; *e=S->data[S->top]; return 1; } }

int GetTop(SeqStack S,char *e)//取栈顶元素 { if(S.top

{printf("栈已空"); return 0; }else {*e=S.data[S.top-1]; return 1; } }

void TranslateExpress(char str[],char exp[])//把中缀表达式转换为后缀表达式 {SeqStack S; char ch; char e; int i=0,j=0; InitStack(&S);

ch=str[i]; i++;

while(ch!='\0') //依次扫描中缀表达式 { switch(ch)

{ case'(': PushStack(&S,ch); break; case')':

while(GetTop(S,&e)&&e!='(') {PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++; }

PopStack(&S,&e);break; case'+': case'-':

while(!StackEmpty(S)&&GetTop(S,&e)&&e!='(') { PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++; }

PushStack(&S,ch);break; case'^': case'*': case'/':

while(!StackEmpty(S)&&GetTop(S,&e)&&e=='/'||e=='*'||e=='^') {PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++; }

PushStack(&S,ch); break; //是空格就忽略 case' ': break; default:

while(ch>='0'&&ch

i--; exp[j]=' '; j++; } ch=str[i]; i++; }

while(!StackEmpty(S)) //将栈中剩余运算符出栈 {PopStack(&S,&e); exp[j]=e;

j++; } exp[j]='\0'; }

float ComputeExpress(char a[])//计算后缀表达式的值 {OpStack S;

int i=0; float x1,x2,value; float result; S.top=-1;

while(a[i]!='\0') //依次扫描后缀表达式

{ if(a[i]!=' '&&a[i]>='0'&&a[i]

while(a[i]!=' ') //如果不是空格 { value=10*value+a[i]-'0'; i++;

} S.top++;

S.data[S.top]=value; //处理后进栈 } else //如果是运算符 {switch(a[i]) {case'+':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x1+x2; S.top++; S.data[S.top]=result; break; case'-':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x2-x1; S.top++; S.data[S.top]=result; break; case'*':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x1*x2; S.top++;

S.data[S.top]=result; break; case'/':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x2/x1; S.top++; S.data[S.top]=result; break; case'^':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--;

result=float(pow(x1,x2)); S.top++; S.data[S.top]=result; break; } i++; }}

if( S.top !=-1) //如果栈不空，将结果出栈并返回 { result=S.data[S.top]; S.top--; if(S.top==-1) return result;

else { printf("表达式错误"); exit(-1); } } return 0; } void main()

{char a[MaxSize],b[MaxSize]; float f;

printf("请输入一个算术表达式:"); scanf("%s",&a);

printf("中缀表达式为：%s\n",a); TranslateExpress(a,b);

printf("后缀表达式为：%s\n",b); f=ComputeExpress(b);

printf("计算结果：%f\n",f);}

四、系统测试

（一） 测试二叉树遍历函数：测试的结果如图4。

图4： 二叉树的遍历

（二） 测试算术表达式求值函数：测试的结果如图5，6。

图

5

图6

五、总结

系统完成了对基本的数学算术运算的求值的功能。

系统不能对更高一级的复合表达式（如三角函数等）求值，是其不足之处。

我的收获是经过不断的查询相关的书籍与有关的资料，使得我对原本不熟的知识有了深刻的了解和认识。也让我能够更加独立的去学习，提高了我的自主学习的能力。

六、附件（代码、部分图表）

(一) 程序代码：

#include

#include//字符串函数

#include//功能：分配字节的存储区，若内存不够返回0.

#include//tandard library标准库函数头文件，stdlib.h 里面定义了五种类型、 一些宏和通用工具函数

#include//数学库函数 #define NULL 0 #define MaxSize 50 typedef struct

{ float data[MaxSize];

int top;

}OpStack;//存放数字的栈 typedef struct

{char data[MaxSize]; int top;

}SeqStack;//存放运算符的栈 typedef struct BiTNode{ char data;

struct BiTNode *lchild,*rchild; }BiTNode,*BiTree;

BiTree Create(BiTree T)//用扩展先序遍历序列创建二叉树 { char ch; ch=getchar(); if(ch=='0') T=NULL;

else { T=new BiTNode; T->data=ch;

T->lchild=Create(T->lchild); T->rchild=Create(T->rchild); } return T;}

void Visit(char ch)//访问根节点 { printf("%c ",ch);}

void Preorder(BiTree T)//先序遍历 { if(T==NULL) return; Visit(T->data);

Preorder(T->lchild); Preorder(T->rchild);} void InOrder(BiTree T)//中序遍历 { if(T==NULL) return;

InOrder(T->lchild); Visit(T->data);

InOrder(T->rchild);}

void PostOrder(BiTree T)//后序遍历 { if(T==NULL) return;

PostOrder(T->lchild); PostOrder(T->rchild); Visit(T->data); }

int Sumleaf(BiTree T)//统计叶结点的数目 {int sum=0,m,n; if(T){

if((!T->lchild)&&(!T->rchild))//该结点的左或右分支为空时

sum++; m=Sumleaf(T->lchild); sum=sum+m; n=Sumleaf(T->rchild); sum=sum+n;} return sum;}

int Depth(BiTree T)//二叉树的深度 {int dep=0,depl,depr; if(!T) dep=0; else{

depl=Depth(T->lchild); depr=Depth(T->rchild);

dep=1+(depl>depr?depl:depr);} return dep;}

void InitStack(SeqStack *S)//初始化栈 { S->top=0; }

int StackEmpty(SeqStack S)//判断栈是否为空 { if(S.top ==0) return 1; else return 0; }

int PushStack(SeqStack *S,char e)//进栈 {if(S->top>=MaxSize)

{ printf("栈已满，不能进栈!"); return 0; }

else { S->data[S->top]=e; S->top++;

return 1; } }

int PopStack(SeqStack *S,char *e)//删除栈顶元素 { if(S->top==0) { printf("栈已空\n"); return 0; } else

{S->top--; *e=S->data[S->top]; return 1; } }

int GetTop(SeqStack S,char *e)//取栈顶元素 { if(S.top

return 0; } else {*e=S.data[S.top-1]; return 1; } }

void TranslateExpress(char str[],char exp[])//把中缀表达式转换为后缀表达式 {SeqStack S; char ch; char e; int i=0,j=0; InitStack(&S); ch=str[i]; i++;

while(ch!='\0') //依次扫描中缀表达式 { switch(ch)

{ case'(': PushStack(&S,ch); break; case')':

while(GetTop(S,&e)&&e!='(') {PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++;} PopStack(&S,&e);break;

case'+': case'-':

while(!StackEmpty(S)&&GetTop(S,&e)&&e!='(') { PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++; }

PushStack(&S,ch);break; case'^': case'*': case'/':

while(!StackEmpty(S)&&GetTop(S,&e)&&e=='/'||e=='*'||e=='^') {PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++; }

PushStack(&S,ch); break; //是空格就忽略 case' ': break; default:

while(ch>='0'&&ch

{ exp[j]=ch; j++; ch=str[i]; i++; } i--; exp[j]=' ';

j++; } ch=str[i]; i++; }

while(!StackEmpty(S)) //将栈中剩余运算符出栈 {PopStack(&S,&e); exp[j]=e; j++; } exp[j]='\0'; }

float ComputeExpress(char a[])//计算后缀表达式的值

{OpStack S; int i=0; float x1,x2,value; float result; S.top=-1; while(a[i]!='\0') //依次扫描后缀表达式

{ if(a[i]!=' '&&a[i]>='0'&&a[i]

{ value=10*value+a[i]-'0'; i++; } //相当于一个循环, 把数组a[]值赋给value. S.top++;

S.data[S.top]=value; //处理后进栈 } else //如果是运算符 {switch(a[i]) {case'+':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x1+x2; S.top++; S.data[S.top]=result; break; case'-':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x2-x1; S.top++; S.data[S.top]=result; break; case'*':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x1*x2; S.top++;

S.data[S.top]=result; break; case'/':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=x2/x1; S.top++; S.data[S.top]=result; break; case'^':

x1=S.data[S.top]; S.top--; x2=S.data[S.top]; S.top--; result=float(pow(x1,x2)); S.top++; S.data[S.top]=result; break; } i++; }}

if( S.top !=-1) //如果栈不空，将结果出栈并返回 { result=S.data[S.top]; S.top--; if(S.top==-1) return result; else { printf("表达式错误"); exit(-1); } } return 0; } void main()

{BiTree T;int sum,k;

printf("请输入二叉树中的元素(以扩展先序遍历序列输入):\n"); T=Create(T);

printf("先序遍历序列为:"); Preorder(T); printf("\n");

printf("中序遍历序列为:"); InOrder(T); printf("\n"); printf("后序遍历序列为:"); PostOrder(T); printf("\n"); sum=Sumleaf(T);

printf("叶结点的数目为:%d\n",sum); k=Depth(T);

printf("二叉树的深度为:%d\n",k);

char a[MaxSize],b[MaxSize]; float f; printf("请输入一个算术表达式:"); scanf("%s",&a);

printf("中缀表达式为：%s\n",a); TranslateExpress(a,b);

printf("后缀表达式为：%s\n",b); f=ComputeExpress(b);

printf("计算结果：%f\n",f); }

(二) 实验截图：

图7-a ：基于二叉树的算术表达式

图7-b ：基于二叉树的算术表达式