长沙理工大学线性代数考试试卷及答案

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长沙理工大学模拟考试试卷

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试卷编号 1 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名

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课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 0701011

专 业 全校各专业 层次（本、专） 本科 考试方式（开、闭卷） 闭卷

一、判断题（正确答案填√, 错误答案填×。每小题2分，共10分） 1. 设n 阶方阵A , B , C 可逆且满足ABC =E ，则必有 CBA =E （ ） 2. 设x =η1, x =η2是AX =b 的解，则x =η1+η2是AX =b 的解 （ ） 3. 若矩阵A 的列向量组线性相关，则矩阵A 的行向量组不一定线性相关 （ ） 4. 设x 表示向量x 的长度，则 λx =λx （ ） 5. 设x =η1, x =η2是AX =b 的解，则x =η1-η2是AX =0的解 （ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

2-14

1. 计算行列式 3

10＝ ； 132

2. 若α, β为A=b , (b ≠0) 的解，则α-β或β-α必为 的解；

3. 设n 维向量组T:α1, α2, , αm ，当m >n 时，T一定线性，含有零向量的向量组一定线性 ；长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417

2

4. 设三阶方阵A有3个特征值2，1，-2，则A的特征值为 ； 三、计算题（每小题10分，共60分）

211. 1 1

1211112111

； 12

第 1 页（共 2 页）

⎧x 1+x 2=-a 1⎪x +x =a ⎪232

2. 若线性方程组⎨有解，问常数a 1, a 2, a 3, a 4应满足的条件？

x +x =-a 43⎪3⎪⎩x 4+x 1=a 4

3. 设η1, η2, , ηs 是方程组AX =b 的解向量(b ≠0) ，若k 1η1+k 2η2+ +k s ηs 也是的

解，则

k 1+k 2+ +k s = ；

⎧x 1-x 2+2x 3+x 4=0⎪

4. 求齐次线性方程组⎨2x 1-2x 2+3x 3+3x 4=0的基础解系；

⎪x -x +x +2x =0

234⎩1

⎛2231⎫⎛12⎫

5. 已知矩阵A = x y ⎪⎪与矩阵B = 34⎪⎪相似，求x , y 的值；

⎝⎭⎝⎭222

6. 设f =x 1+x 2+5x 3+2ax 1x 2-2x 1x 3+4x 2x 3为正定二次型，求a .

四、证明题（10分）：

设向量组α1, α2, α3线性无关，长沙理工大学二手货QQ 交易群146 808 417

证明α1, α1+α2, α1+α2+α3线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：1

一、判断题（正确答案填√, 错误答案填×。每小题2分，共10分） 1，× 2，× 3，√ 4, × 5, √

二、填空题：(每小题5分，共20分)

1，42；2，AX =0；3，相关，相关；4，4，1，4. 三、计算题（每小题10分，共60分）

211. 1110=500

12111100

11211010

151152=

[1**********]112=5

1121112111

（5分） 12

10

＝5 （5分） 01

100-a 1⎫

⎪

110a 2⎪

→ （2分）

011-a 3⎪

⎪

001a 4⎪⎭

⎛1 0

2. (A b ) =

0 1⎝

⎛1 0→

0 0⎝

100

⎫⎪

110a 2⎪

⎪ （5分） 011-a 3

⎪

000a 1+a 2+a 3+a 4⎪⎭

-a 1

若有解，则A 的秩与(A b ) 的秩相等，即a 1+a 2+a 3+a 4=0。 （3分）

21⎫r +2r ⎛-1121⎫1⎫⎛-11⎛-112

⎪r 32+4r 11 ⎪r 3-r 2 ⎪

034⎪−−−→ 0276⎪−−−→ 0276⎪（6分）3. 2

4-2-1λ⎪ 027λ+4⎪ 000λ-2⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

∴(1) 当λ=2时，矩阵的秩为2； （2分） (2) 当λ≠2时，矩阵的秩为3. （2分） 第 1 页（共 3 页）

4. 对系数矩阵作作初等行变换

⎛1-121⎫⎛1-121⎫ ⎪r 2-2r 1 ⎪2-233→00-11 ⎪ ⎪

r -r 1-112⎪31 00-11⎪

⎝⎭⎝⎭

⎛1-121⎫⎛1-103⎫

⎪r -2r 2 ⎪r 2÷(-1)

→ 001-1⎪1→ 001-1⎪

r 3+r 2

0000⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭

得同解方程组 ⎨

⎧x 1=x 2-3x 4

⎩x 3=0x 2+x 4

令

⎛x 1⎫⎛1⎫⎛-3⎫⎛x 2⎫⎛1⎫⎛0⎫

⎪⎪ ⎪⎪== ⎪ ⎪，； 得 ， ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪

⎝x 4⎭⎝0⎭⎝1⎭⎝x 3⎭⎝0⎭⎝1⎭

基础解系为：ξ1=(110

0)

T

T

, ξ2=(-3011)

5. 解：∵A 与B 相似，∴ 特征多项式相同，即 A -λE =B -λE 亦即 A -λE =

22-λx 31

=(22-λ)(y -λ) -31x y -λ

-λ2

=B -λE ==(1-λ)(4-λ) -6

34-λ

⇒(22-λ)(y -λ) -31x =(1-λ)(4-λ) -6⇒x =-12, y =-17

⎛1a -1⎫ ⎪

6. 解：f 的矩阵为 A = a 12⎪

-125⎪⎝⎭

∵ f 为正定二次型，∴ A 的各阶主子式大于0． 即 a 11=1＞0，

a 11a 21

a 12a 22

=

1a a 1

=1-a 2＞0

1

A =a

a -1

2=-a (5a +4) ＞0

5

1-12

第 2 页（共 3 页）

解联立不等式组 1-a 2＞0 或 a (5a +4) ＜0 ⇒-1＜a ＜1或 -4＜a ＜0 ⇒-

4

＜a ＜0 5

即当 -

4

＜a ＜0时，f 为正定二次型． 5

四、证明题（10分）：

证明：设存在一组数k 1, k 2, k 3使得k 1α1+k 2(α1+α2) +k 3(α1+α2+α3) =0

⇒(k 1+k 2+k 3) α1+(k 21+k 2) α2+k 3α3=0，（3分） 又向量组α1, α2, α3线性无关，

⎧k 1+k 2+k 3=0⎪

因此⎨k 2+k 3=0⇒k 1=0, k 2=0, k 3=0，（7分）

⎪k 3=0⎩

由此可知，只有当k 1=0, k 2=0, k 3=0时，

等式k 1α1+k 2(α1+α2) +k 3(α1+α2+α3) =0才成立， 即向量组α1, α1+α2, α1+α2+α3线性无关。（10分）

第 3 页（共 3 页）

长沙理工大学模拟考试试卷

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试卷编号 2 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………

课程名称（含档次）线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷

一、判断题：(正确填√, 错误填×. 每小题２分，共10分)

1. A , B 是n 阶矩阵，则AB =；（ ）

2. 若A , B 均为n 阶矩阵，则R (A +B ) ≤R (A ) +R (B ) ；（ ） 3. 向量组α1, α2, , αs 线性相关，则至少含有一个零向量；（ ） 4. 若α1, α2是齐次线性方程组AX =0的两个线性无关解向量，则k 1α1-k 1α1不是AX =0的解； （ ）

2

5. 设A 为n 阶矩阵，则A 与A 具有相同的特征向量。（ ） 二、填空题：(每小题5分，共20分)

1. 若行列式D n =a ij =a ，则D =-a ij =

⎛1⎫ ⎪

2. 2⎪(123)= ； 3⎪⎝⎭

3. 设向量组T ：α1, α2, , αm ，若T 线性相关，则秩；若T 线性无关，则秩 4. 如果三阶矩阵A对应于特征值λ1, λ2, λ3的特征向量为p 1, p 2, p 3，令P=(p 1, p 2, p 3) ，

-1

则PAP= 。

每小题10分，共60分)

第 1 页（共 2 页）

-ab

1. bd

ac ae

de ； -ef

3)= ；

-cd bf cf ⎛3⎫ ⎪

2. 计算 2⎪(12

1⎪⎝⎭⎛12

3. 设A = 23

1a ⎝

1⎫⎛1⎫⎛x 1⎫⎪ ⎪ ⎪

a +2⎪, b = 3⎪, x = x 2⎪, 若线性方程组Ax =b 无解, 则a = ；

0⎪ x ⎪-2⎪⎭⎝⎭⎝3⎭

⎧2x 1+x 2-x 3+x 4=1⎪

4. 求解非齐次线性方程组:⎨4x 1+2x 2-2x 3+x 4=2；

⎪2x +x -x -x =1

1234⎩

λ2=-2，5. 设3阶矩阵A 的特征值为λ1=2，对应的特征向量依次为 λ3=1，

⎛0⎫⎛1⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪p 1= 1⎪，p 2= 1⎪，p 3= 1⎪,

1⎪ 1⎪ 0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭

求A ；

22

6. 用配方法化二次型f =2x 1+x 2-4x 1x 2-4x 2x 3为标准形，并求所用的可逆变换矩阵． 四、证明题：(10分)

T

设A , B 为n 阶矩阵，且A 为对称矩阵，证明B AB 也是对称矩阵.

第 2 页（共 2 页）

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：2

1，√，2，√，3，×，4，×，5，√； 二、填空题：(每小题5分，共20分)

⎛123⎫⎛λ1 ⎪ n

1，(-1) a ；2， 246⎪；3，T

369⎪ 0⎝⎭⎝

三、计算题（每小题10分，共60分）

λ2

0⎫

⎪0⎪ λ3⎪⎭

-ab

1. bd

ac -cd

cf -1

ae -a a -d f

a

d （4分） f

bf

de =d -ef f 1

1

=abcdef 11-11=4abcdef ；（10分） 1-2. (A -2E ) X =A （2分） A -2E =-2≠0, ∴A -2E 可逆

X =(A -2E ) A （5分）

-1

⎛-1-101-10⎫⎛10001-1⎫ ⎪ ⎪

(A -2E , A )= 0-1-101-1⎪→ 010-101⎪ （8分）

-10-1-101⎪ 0011-10⎪⎝⎭⎝⎭⎛01-1⎫ ⎪

∴X = -101⎪ （10分）

1-10⎪⎝⎭⎛121-1⎫⎛120-1⎫

⎪ ⎪

3. 解 A = 36-1-3⎪→ 0010⎪ （5分）

5101-5⎪ 0000⎪⎝⎭⎝⎭

⎧x 1=-2x 2+x 4⎪x =x ⎪22

⎨ （7分）

⎪x 3=0⎪⎩x 4=x 4

⎛x 1⎫⎛-2⎫⎛1⎫ ⎪ ⎪ ⎪x 1 2⎪ ⎪ 0⎪

+k 2 ⎪ 通解为 ⎪=k 1

x 30⎪0 ⎪ ⎪ ⎪

0⎪ 1⎪ x ⎪

⎝⎭⎝⎭⎝4⎭

3-2⎫⎛1-13-2⎫⎛1-1 ⎪ ⎪

26⎪ 0214⎪ 1-3

4. (a 1, a 2, a 3, a 4)= （5分） →⎪ ⎪15-1100010

⎪ ⎪ 31a +2a ⎪ 000a -2⎪⎝⎭⎝⎭

∴当a =2时，R (a 1, a 2, a 3, a 4) =3

向量组a 1, a 2, a 3, a 4线性相关. （10分）

⎛011⎫ ⎪

()P =p , p , p =1115. 解 令 ⎪，P 可逆 123

110⎪⎝⎭

0⎫⎛011100⎫⎛100-11

⎪ ⎪

(P , E )= 111010⎪→ 0101-11⎪

110001⎪ 00101-1⎪⎝⎭⎝⎭

⎛-110⎫ ⎪

∴P = 1-11⎪ （4分）

01-1⎪⎝⎭⎛2⎫⎛-23-3⎫

⎪-1 ⎪

-2⎪P （6分）= -45-3⎪ （10分） A =P -44-2⎪1⎪⎝⎭⎝⎭

6. 解：f =2(x 1-x 2) -x 2-4x 2x 3=2(x 1-x 2) -(x 2+2x 3) +4x 3 （4分）

2

2

2

2

2

⎧y 1=x 1-x 2⎧x 1=y 1+y 2-2y 3

⎪⎪

x 2+2x 3, 即⎨x 2=y 2-2y 3 （6分） 令⎨y 2=

⎪y =⎪x =x 3y 3⎩3⎩3

则原二次型化为标准形

22

（8分） f =2y 12-y 2+4y 3

可逆变换矩阵

第 2 页（共 3 页）

⎛11-2⎫ ⎪

C = 01-2⎪ （10分）

001⎪⎝⎭

四、证明题：（10分）

证明：因为(B AB ) =B A (B ) =B AB （8分） 所以B AB 也是对称矩阵。 （10分）

T

T T T T T T T

第 3 页（共 3 页）

长沙理工大学模拟考试试卷

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试卷编号 3 拟题教研室（或教师）签名 教研室主任签名 ………………………………………………………………………………………………………………

课程名称（含档次） 线性代数 课程代号 专 业 层次（本、专） 考试方式（开、闭卷） 闭卷

一、判断题：(正确填√, 错误填×. 每小题２分，共10分) 1. 若五阶方阵的行列式

的行列式

，则

；（ ）

2. 设

为 阶方阵，

不能用向量

为 阶单位阵，则

表示，则

线性无关；（ ）

；（ ）

3. 若向量

4. 任何一个齐次线性方程组都有解；（ ） 5. 若

均为 阶正交矩阵，则

也必为正交矩阵。（ ）

二、填空题：(每小题5分，共20分) 1. 若 阶方阵

中有一列向量是其余列向量的线性组合，则

；

2. 若有 阶可逆矩阵

，则

可逆，

的逆矩阵为 ；

3. 齐次线性方程组

4. 设

的基础解系中的解向量一定线性 ；

则

由

表示是为

= 。

三、计算题：(每小题10分，共60分)

1.

；

2. 设

，求

；

3. 已知三阶方阵

且

的每一个列向量都是

的解，1）

求 的值，2）求

；

第 1 页（共 2 页）

4. 求矩阵

5. 设三阶矩阵

的特征值为

的行向量组的一个最大无关组；

，对应的特征向量为

，求

；

6. 写出二次型

是否为正定。 四、证明题：(10分)

若

线性无关，试证

的矩阵

，并判断

也线性无关。

长沙理工大学模拟试卷标准答案

课程名称： 线性代数 试卷编号：3

一，判断题（每小题2分，共10分） 1，√，2，√，3，×， 4，√，5，×； 二：填空题：(每小题5分，共20分)

A *

1，0；2，；3，无关；4，2α+3β；

A

三：计算题（每小题10分，共60分）

111124

1

-11-2

1，原式=114

3

果（3分） 9根据范德蒙行列式的结

-11-[1**********]1

（10分） (1+1)(-2+1)(2+1)(3+1)(-2-1)(2-1)(3-1)(2+2)(3+2)(3-2) =2880；

5⎫⎛00⎫⎛10⎛15-5⎫2

⎪ ⎪ 2，AB = （3分）（3分）（4分） , BA =, A = 00⎪ -20-10⎪ -3010⎪⎪；⎝⎭⎝⎭⎝⎭

3，（1）根据已知B ≠0，可知方程组有非零解，

12-2

则系数行列式2

-11

λ=0⇒λ=1；（6分）

-1

3

（2）因为已知齐次方程组有非零解，则解空间的维数≤2，所以B =0；（4分）

⎛1-12-1

02214，

3-18-2

1-30-2⎝1⎫⎛1-12-11⎫⎛1-1⎪ ⎪ 1⎪ 02211⎪ 02→ → ⎪⎪40221100⎪ ⎪

⎪ 0⎪⎭⎝0-2-2-1-1⎭⎝00

1-1

210000

1⎫⎪1⎪

（6分） ⎪0⎪0⎪⎭

因此第一列与第二列是一个最大无关组；（10分）

⎛100⎫

⎪-1

5，根据已知存在矩阵P =(p 1, p 2, p 3)，使得P AP = 000⎪，（4分）

00-1⎪⎝⎭

第 1 页（共 2 页）

⎫

⎛100⎫⎛12-2⎫⎛100⎫⎛ ⎪ ⎪-1 ⎪ ⎪

-⎪（8分） 所以A =P 000⎪P = 2-2-1⎪ 000⎪⎪ 00-1⎪ 31⎪ ⎪-⎪2⎭⎝00-1⎭ ⎝⎭⎝⎭⎝-⎫⎛ ⎪

-⎪（10分） = ⎪ ⎪ -⎭⎝

⎛1-100⎫ ⎪-1502 ⎪

6，A = ，（5分） ⎪0010

⎪ 0200⎪⎝⎭

1-10

1-=4>0, -150=4>0，=-40, （9分）

-15

001

因此f 既非正定也非负定；（10分）

四：证明题：（10分）

证明；设存在一组数设k 1, k 2, k 3使得k 1(α+2β) +k 2(β+2γ) +k 3(γ+2α) =0，（3分） （4分） ⇒(k 1+2k 3) α+(2k 1+k 2) β+(2k 2+k 3) γ=0，

⎧k 1+2k 3=0

⎪

又向量组α1, α2, α3线性无关，因此⎨2k 1+k 2=0⇒k 1=0, k 2=0, k 3=0，（9分）

⎪2k +k =0

3⎩2

由此可知，α+2β, β+2γ, γ+2α也线性无关。（10分）

第 2 页（共 2 页）