大学物理 上海交通大学14章 课后习题答案
14-1．如图所示的弓形线框中通有电流I ，求圆心O 处的磁感应强度B 。
习题14
解：圆弧在O 点的磁感应强度：
B 1=
μ0I θμ0I
=
4πR 6R ，方向： ；
直导线在O
点的磁感应强度：∴总场强：
B 2=
μ0I
4πR cos600
[sin60-sin(-60)]=
0I
⊗；2πR ，方向：
B =
μ0I
2R
1
-)
π3，方向⊗。
14-2．如图所示，两个半径均为R 的线圈平行共轴放置，其圆心O 1、O 2相距为a ，在两线圈中通以电流强度均为I 的同方向电流。
（1）以O 1O 2连线的中点O 为原点，求轴线上坐标为x 的任意点的磁感应强度大小；
（2）试证明：当a =R 时，O 点处的磁场最为均匀。
B =
解：见书中载流圆线圈轴线上的磁场，有公式：
μ0I R 2
2(R 2+z 2)
。
B P 1=
（1）左线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：
μ0I R 2
B P 2
右线圈在x 处P 点产生的磁感应强度：
B P 1和B P 2方向一致，均沿轴线水平向右，
2[R 2+(+x ) 2]2， μ0I R 2
=
a
2[R 2+(-x ) 2]2，
μ0I R 2⎧
∴P 点磁感应强度：B P =B P 1+B P 2=
2
3
-⎫a 2-3a 22
⎨[R +(x +) ]2+[R +(x -) ]2⎬
22⎩⎭；
2
d B
（2）因为B P 随x 变化，变化率为d x ，若此变化率在x =0处的变化最缓慢，则O 点处的
磁场最为均匀，下面讨论O 点附近磁感应强度随x 变化情况，即对B P 的各阶导数进行讨论。 对B 求一阶导数：
5
3μ0I R 2⎧-⎫a 2a 2-5a a d B 22=-⎨(x +)[R +(x +) ]2+(x -)[R +(x -) ]2⎬
22222d x ⎩⎭ d B
=0
当x =0时，d x ，可见在O 点，磁感应强度B 有极值。
对B 求二阶导数：
d d B d 2B
() =2=d x d x d x
⎧a 2a 2⎫
5(x +) 5(x -) ⎪3μ0I R ⎪11⎪⎪--+-⎨5757⎬2a a a a ⎪[R 2+(x +) 2]2[R 2+(x +) 2]2[R 2+(x -) 2]2[R 2+(x -) 2]2⎪
⎪⎪ ⎩2222⎭
2
d 2B
2
当x =0时，d x
x =0
a 2-R 2
3μ0I R 7
a 22=[R +() ]22，
2
d 2B
2d x a >R 可见，当时，d 2B 2
当a
当a =R 时，d x
强磁场。
x =0
x =0
>0
，O 点的磁感应强度B 有极小值，
，O 点的磁感应强度B 有极大值，
x =0
=0
，说明磁感应强度B 在O 点附近的磁场是相当均匀的，可看成匀
【利用此结论，一般在实验室中，用两个同轴、平行放置的N 匝线圈，相对距离等于线圈半径，通电后会在两线圈之间产生一个近似均匀的磁场，比长直螺线管产生的磁场方便实验，这样的线圈叫亥姆霍兹线圈】
14-3．无限长细导线弯成如图所示的形状，其中c 部分是在xoy
平面内半径为R 的半圆，试求通以电流I 时O 点的磁感应强度。 解：∵a 段对O 点的磁感应强度可用
⎰
S
B ⋅d l =μ0∑I
求得，
μ0I μ0I B a =-j
4πR ，∴4πR 有：
b 段的延长线过O 点，B b =0，
B a =
μ0I μ0I μ0I
B c =⋅π=B c =k
4πR 4R ，∴4R c 段产生的磁感应强度为：
μ0I μ0I
B O =-j +k
则：O 点的总场强：，方向如图。
14-4．如图所示，半径为R 的木球上绕有密集的细导线，线圈平面彼此平行，且以单层线圈均匀覆盖住半个球面。设线圈的总匝数为N ，通过线圈的电流为I ，求球心O 的磁感强度。 解：从O 点引出一根半径线，与水平方向呈θ角，则有水平投影：
x =R cos θ，圆环半径：r =R sin θ，取微元dl =Rd θ，
2N I d I =d θ
π有环形电流：，
利用：B
2(R 2+x 2) 2，有：
μ0N IR 2sin 2θd θμ0r 2dI μ0N I sin 2θd θ
===222
π(R 2sin 2θ+R 2cos 2θ) dB 2(r +x ) πR ，
=
μ0I R 2
μ0N I =
πR ∴B μ0N I 2
sin θd θ=⎰0
πR
π
2
π
⎰
20
μ0N I 1-cos 2θ
d θ=24R 。
14-5．无限长直圆柱形导体内有一无限长直圆柱形空腔（如图所示），空腔与导体的两轴线
平行，间距为a ，若导体内的电流密度均匀为j ，j 的方向平行于轴线。求腔内任意点的
磁感应强度B 。
±解：采用补偿法，将空腔部分看成填满了j 的电流，那么，
以导体的轴线为圆心，过空腔中任一点作闭合回路，利用
⎰S B ⋅d l =μ0∑I ，有：2πR ⋅B 1=μ0j πR 2，
μ0j B 1=⨯R
2∴，
B 2=-
同理，还是过这一点以空腔导体的轴线为圆心作闭合回路：
2πr ⋅B 2=μ0(-j ) πr ，有：2，
R +(-r ) =a 由图示可知：
1 =μ0j ⨯R -μ0j ⨯r
=μ0j ⨯a
222那么，B =B 1+B 2。
2
μ0j
⨯r
a
O
'
R =1cm I
=5A R 14-6．在半径的无限长半圆柱形金属片中，有电流P
示。试求圆柱轴线上一点P 处的磁感应强度的大小。
解：将半圆柱形无限长载流薄板细分成宽为dl =R d θ的长直电流，
dl d θ =
⎰S B ⋅d l =μ0∑I 。 πR π，利用 有：
μ0d I μ0I d θdB ==
2πR 2π2R ， 在P 点处的磁感应强度为：
d I =
μ0I
dB x =dB sin θ=sin θd θ2
2πR ∴，而因为对称性，B y =0
μI πμ0I
B =B x =⎰dB x =02⎰sin θd θ=2=6.37⨯10-5T
0那么，。
14-7．如图所示，长直电缆由半径为R 1的导体圆柱与同轴的内外半径分别为R 2、R 3的导体圆筒构成，电流沿轴线方向由一导体流入，从另一导体流出，设电流强度I 都均匀地分布在横截面上。求距轴线为r 处的磁感应强度大小（0
解：利用安培环路定理
⎰
S
B ⋅d l =μ0∑I
分段讨论。
（1）当0
πr 2I
B 1⋅2πr =μ0
2πR 1
B 1=
∴
μ0I r
2
2πR 1
；
（2）当R 1≤r ≤R 2时，有：B 2⋅2πr =μ0I ，∴（3）当R 2≤r ≤R 3时，有：
B 2=
μ0I 2πr ；
2
πr 2-πR 2
B 3⋅2πr =μ0(I -I ) 22
πR 3-πR 2
，
∴
μ0I R 3-r B 3=⋅2
2
2πr R 3-R 2
22
；
（4）当r >R 3时，有：B 4⋅2πr =μ0(I -I ) ，∴B 4=0。
⎧μ0I r
(0
1
⎪⎪μ0I
(R 1≤r ≤R 2) ⎪⎪2πr
B =⎨
⎪μI R 2-r 2⎪0⋅23(R 2≤r ≤R 3) 2⎪2πr R 3-R 2⎪
(r >R 3) ⎪⎩0则：
14-8．一橡皮传输带以速度v 匀速向右运动，如图所示，橡皮带上均匀带有电荷，电荷面密
度为σ。
小；
v （2）证明对非相对论情形，运动电荷的速度及它所产生的
B （1）求像皮带中部上方靠近表面一点处的磁感应强度的大
1 1 c =B =2v ⨯E 0μ0）c 磁场B 和电场E 之间满足下述关系：（式中。
解：（1）如图，垂直于电荷运动方向作一个闭合回路abcda ，考虑到橡皮带上等效电流密度为：i =σv ，橡皮带上方的磁场方向水平向外，橡皮带下方的磁场方向水平向里，根据
安培环路定理有：
⇒B ⋅2L =μ0L σv ，
μ0σv B =
2； ∴磁感应强度B 的大小：
abcd
⎰
B ⋅dl =μ0L i
a
b
c
d
（2）非相对论情形下：
ˆ μ0qv ⨯r
B =⋅2
4πr ， 匀速运动的点电荷产生的磁场为：
1q ˆE =⋅2r
4πε0r ， 点电荷产生的电场为：
ˆ μ1 1q qv ⨯r 0ˆv ⨯E =ε0μ0v ⨯⋅2r =⋅2=B 2
c 4πεr 4πr 0∴， 1 1 c =B =2v ⨯E
00）c 即为结论：（式中。
14-9．一均匀带电长直圆柱体，电荷体密度为ρ， 半径为R 。若圆柱绕其轴线匀速旋转，角速度为ω， 求：（1）圆柱体内距轴线r 处的磁感应强度的大小；
（2）两端面中心的磁感应强度的大小。 解：（1）考察圆柱体内距轴线r 处到半径R 的圆环等效电流。
R d q ρ⋅2πrLd r 1
==ρωLr d r I =⎰ρωL r d r =ρωL (R 2-r 2)
r t T 2∵，∴，
选环路a b c d 如图所示， L
b a B ⋅d l =μI 0∑ ⎰
d I =
由安培环路定理：
S
，
1
B ⋅L =μ0⋅ρωL (R 2-r 2)
2有：
B =
r
c
μ0ρω
2∴
（2）由上述结论，带电长直圆柱体旋转相当于螺线管，端面的磁感应强度是中间磁感应强
(R 2-r 2)
度的一半，所以端面中心处的磁感应强度：端面中心。
14-10．如图所示，两无限长平行放置的柱形导体内通过等值、反向电流I ，电流在两个阴
影所示的横截面的面积皆为S ，两圆柱轴线间的距离O 1O 2=d ，试求两导体中部真空部分的磁感应强度。
解：因为一个阴影的横截面积为S ，那么面电流密度为：
B =
μ0ρωR 2
i =I
，利用补偿法，将真空部分看成通有电流±i ，设
其中一个阴影在真空部分某点P 处产生的磁场为B 1，距离
r -r =d 。
为r 1，另一个为B 2、r 2，有：12
利用安培环路定理可得：
B 1=
μ0πr 12
I 2πr 1
=
μ0I r 1
2S
，
B 2=
μ0πr 22
I 2πr 2
ˆ=
μ0I r 2
2S
，
O 1
ˆ2⊥
μ0I r 1 μ0I r 2
ˆˆB 1=r 1⊥B 2=r 2⊥
2S 2S 则：，，
μ0I μI d ˆˆ+r r ˆ) =0B =B 1+B 2=(r 1r d ⊥1⊥22⊥
2S 2S ∴。
μ0I d B =
2S ，方向向上。 即空腔处磁感应强度大小为
d
O 2
14-11．无限长直线电流I 1与直线电流I 2共面，几何位置如图所示， 试求直线电流I 2受到电流I 1磁场的作用力。 解：在直线电流I 2上任意取一个小电流元I 2dl ， 此电流元到长直线的距离为x ，无限长直线电流I 1
在小电流元处产生的磁感应强度为：
B =
μ0I 1
⊗2πx ，
μ0I 1I 2d x d x d F =⋅dl =002πx cos60d F =I Bdl cos 60再利用，考虑到，有：，
μ0I 1I 2b b μ0I 1I 2d x
F =⎰⋅=ln 0a 2πx cos60πa 。 ∴
14-12．在电视显象管的电子束中，电子能量为12000eV ，这个显像管的取向使电子沿水平方向由南向北运动。该处地球磁场的垂直分量向下，大小为B =5.5⨯10T ，问：（1）电子束将偏向什么方向？（2）电子的加速度是多少？（3）电子束在显象管内在南北方向上通
-5
过20cm 时将偏转多远？
f =qv ⨯B 可判断出电子束将偏向东。
解：（1）根据
12
E =mv v =2， 2（2）利用，有：
qvB qB 2a ===6. 28⨯1014m ⋅s -1
m m 而f =qvB =ma ，∴
11L
y =at 2=a () 2=3mm
（3）。
14-13．一半径为R 的无限长半圆柱面导体，载有与轴线上的 长直导线的电流I 等值反向的电流，如图所示，试求轴线上长 直导线单位长度所受的磁力。
i =
解：设半圆柱面导体的线电流分布为
I 1
πR ，
如图，由安培环路定理，i 电流在O 点处产生的磁感应强度为：
μ0i d B =⋅Rd θ
2πR ，
μ0iR πμ0I 1
B O =⎰d B y =sin θ⋅d θ=2
⎰02πR πR ； 可求得：
又∵d F =I dl ⨯B ，
d F =B O I 2dl =
μ0I 1I 2
dl 2
πR 故，
d F μ0I 1I 2f ==2
dl πR ，而I 1=I 2， 有：
2
d F μ0I f ==2
dl πR 。 所以：
14-14．如图14-55所示，一个带有电荷q (q >0) 的粒子，
以速度v 平行于均匀带电的长直导线运动，该导线的线电荷 密度为λ（λ>0），并载有传导电流I 。试问粒子要以多大 的速度运动，才能使其保持在一条与导线距离为d 的平行线上？ 解：由安培环路定律
⎰B ⋅d l =μ0I
l
知：
电流I 在q 处产生的磁感应强度为：
B =
μ0I
2πd ，方向⊗；
F 洛=qv B =
q v μ0I 2πd ，
运动电荷q 受到的洛仑兹力方向向左，大小：
同时由于导线带有线电荷密度为λ，在q 处产生的电场强度可用高斯定律求得为：
λq λ
F 电=
2πε0d ，q 受到的静电场力方向向右，大小：2πε0d ；
电， 欲使粒子保持在一条与导线距离为d 的平行线，需F 洛=F
E =
q v μ0I
即：2πd
=
q λ2πε0d ，可得
v =
λ
μ0ε0I 。
14-15．截面积为S 、密度为ρ的铜导线被弯成正方形的三边， 可以绕水平轴O O '转动，如图14-53所示。导线放在方向竖 直向上的匀强磁场中，当导线中的电流为I 时，导线离开原来 的竖直位置偏转一个角度θ而平衡，求磁感应强度。
解：设正方形的边长为a ，质量为m ，m =ρaS 。
平衡时重力矩等于磁力矩：
202M =p ⨯B m 由，磁力矩的大小：M =BIa sin(90-θ) =BIa cos θ；
a
M =mga sin θ+2mg ⋅sin θ=2mga sin θ
2重力矩为：
2mg 2ρgS B =tan θ=tan θ2I a I 平衡时：BI a cos θ=2mga sin θ，∴。
14-16．有一个U 形导线，质量为m ，两端浸没在水银槽中， 导线水平部分的长度为l ，处在磁感应强度大小为B 的均匀 磁场中，如图所示。当接通电源时，U 导线就会从水银槽中
跳起来。假定电流脉冲的时间与导线上升时间相比可忽略， 试由导线跳起所达到的高度h 计算电流脉冲的电荷量q 。 解：接通电流时有F =BIl ⇒
则：mdv =Bl dq ，积分有：
m
dv d q =BIl I =dt dt ， ，而
q =⎰
v
m mv
dv =Bl Bl ；
mv 1q ==mv 2=mgh
Bl 又由机械能守恒：2，有：v =
2gh ，∴
14-17．半径为R 的半圆形闭合线圈，载有电流I ，放在均匀磁场中，磁场方向与线圈平面平行，如图所示。求：
（1）线圈所受力矩的大小和方向（以直径为转轴）；
（2
I πR 2
=n p =I Sn 2解：（1）线圈的磁矩为：m ，
由M =p m ⨯B ，此时线圈所受力矩的大小为：
1
=πR 2I B 22；
p 磁力矩的方向由m ⨯B 确定，为垂直于B 的方向向上，如图； M =p m B sin
（2）线圈旋转时，磁力矩作功为：
M
π
1B πR 2I 2
A =I ∆Φm =I (Φ2m -Φ1m )=I (B ⋅2πR -0) =2。
π11
A =⎰Md θ=⎰πR 2I B sin θd θ=πR 2I B
022【或：】
思考题
S
B
14-1．在图（a ）和（b ）中各有一半径相同的圆形回路L 1、L 2，圆周内有电流I 1、I 2，
1、P 2为两圆形回路其分布相同，且均在真空中，但在（b ）图中L 2回路外有电流I 3，P
上的对应点，则：
(A ) B P 1=B P 2
⎰B ⋅d l = ⎰B ⋅d l ，
L 1
L 2
；
(B ) B P 1=B P 2
⎰B ⋅d l ≠ ⎰B ⋅d l ，
L 1
L 2
L 1
L 2
； 。
(C ) B P 1≠B P 2
⎰B ⋅d l = ⎰B ⋅d l ，
L 1
L 2
；
(D ) B P 1≠B P 2
⎰B ⋅d l ≠ ⎰B ⋅d l ，
答：B 的环流只与回路中所包围的电流有关，与外面的电流无关，但是回路上的磁感应强
度却是所有电流在那一点产生磁场的叠加。所以（C ）对。
14-2．哪一幅图线能确切描述载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的B 随x 的变化关系？（x 坐标轴垂直于圆线圈平面，原点在圆线圈中心O ）
B =
答：载流圆线圈在其轴线上任意点所产生的磁感应强度
μ0IR 2
2(R +x )
2
2
μ0I μ0IR 2
B =B ≈
x =0x >>R 2R 2x 3。 ∴时，（），
根据上述两式可判断（C ）图对。
14-3．取一闭合积分回路L ，使三根载流导线穿过它所围成的面．现改变三根导线之间的相互间隔，但不越出积分回路，则：
∑I 不变，L 上各点的B 不变；
(B)回路L 内的∑I 不变，L 上各点的B 改变； (C)回路L 内的∑I 改变，L 上各点的B 不变； (D)回路L 内的 ∑I 改变，L 上各点的B 改变.
(A)回路L 内的
答：（B ）对。
14-4．一载有电流I 的细导线分别均匀密绕在半径为R 和r 的长直圆筒上形成两个螺线管(R =2r ) ，两螺线管单位长度上的匝数相等．两螺线管中的磁感应强度大小B R 和B r 应满足：
(A ) B R =2B r ；(B ) B R =B r ；(C ) 2B R =B r ；(D ) B R =4B r .
答：对于长直螺线管：B =μ0nI ，由于两螺线管单位长度上的匝数相等，所以两螺线管磁感应强度相等。（B ）对。
14-5．均匀磁场的磁感应强度B 垂直于半径为r 的圆面。今以该圆周为边线，作一半球面S ，则通过S 面的磁通量的大小为多少？ 答：Φ=B πr 。
14-6．如图，匀强磁场中有一矩形通电线圈，它的平面与磁场平行，在磁场作用下，线圈向什么方向转动？
2
cd 受力外，答：ab 受力方向垂直纸面向里，在力偶矩的作用下，ab
垂直纸面向里运动，cd 垂直纸面向外运动，从上往下看，顺时针旋
转。
14-7．一均匀磁场，其磁感应强度方向垂直于纸面，两带电粒子在磁场中的运动轨迹如图所示，则
（A ） 两粒子的电荷必然同号；
（B ） 粒子的电荷可以同号也可以异号；
（C ） 两粒子的动量大小必然不同； （D ） 两粒子的运动周期必然不同。 答：选（B ）