概率部分知识点总结及典型例题解析
概率部分知识点总结及典型例题解析
事件:随机事件( random event ),确定性事件: 必然事件( certain event )和不可能事件( impossible event )
随机事件的概率(统计定义) :一般的,如果随机事件 A 在n 次实验中发
m 生了m 次,当实验的次数n 很大时,我们称事件A 发生的概率为P (A )≈ n
说明:① 一个随机事件发生于具有随机性,但又存在统计的规律性,在进行大量的重复事件时某个事件是否发生,具有频率的稳定性 ,而频率的稳定性又是必然的,因此偶然性和必然性对立统一 ② 不可能事件和确定事件可以看成随机事件的极端情况 ③ 随机事件的频率是指事件发生的次数和总的试验次数的比值,它具有一定的稳定性,总在某个常数附近摆动,且随着试验次数的不断增多,这个摆动的幅度越来越小,而这个接近的某个常数,我们称之为概事件发生的概率 ④ 概率是有巨大的数据统计后得出的结果,讲的是一种大的整体的趋势,而频率是具体的统计的结果 ⑤ 概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值
概率必须满足三个基本要求:① 对任意的一个随机事件A ,有0≤P (A )≤1 ② 用Ω和Φ分别表示必然事件和不可能事件, 则有P (Ω)=1, P (Φ)=0③如果事件
A 和B 互斥, 则有:P (A +B )=P (A )+P (B )
古典概率(Classical probability model):① 所有基本事件有限个 ② 每个基本事件发生的可能性都相等 满足这两个条件的概率模型成为古典概型
如果一次试验的等可能的基本事件的个数为个n ,则每一个基本事件发生的1概率都是,如果某个事件A 包含了其中的m 个等可能的基本事件,则事件A 发n
m 生的概率为 P (A )= n
几何概型(geomegtric probability model):一般地,一个几何区域D 中随机地取一点,记事件“改点落在其内部的一个区域d 内”为事件A ,则事件A 发生的概率为
P (A )=d 的侧度 ( 这里要求D 的侧度不为0,其中侧度的意义由D 确D 的侧度
定,一般地,线段的侧度为该线段的长度;平面多变形的侧度为该图形的面积;立体图像的侧度为其体积 )
几何概型的基本特点:① 基本事件等可性 ② 基本事件无限多
颜老师说明:为了便于研究互斥事件,我们所研究的区域都是指的开区域,即不含边界,在区域D 内随机地取点,指的是该点落在区域D 内任何一处都是等可能的,落在任何部分的可能性大小只与该部分的侧度成正比,而与其形状无关。
互斥事件(exclusive events):不能同时发生的两个事件称为互斥事件
对立事件(complementary events ):两个互斥事件中必有一个发生, 则称两个事件为对立事件 ,事件A 的对立事件 记为:A
独立事件的概率:若A , B 为相互独立的事件事件, 则 P (AB )=P (A )P (B ), 若A 1 , A 2, ... , A n 为两两独立的事件, 则 P (A 1A 2...A n )=P (A 1)P (A 2)... P (A n ) 颜老师说明:① 若A , B 为互斥事件, 则 A , B 中最多有一个发生, 可能都不发生,但不可能同时发生 ,从集合的关来看两个事件互斥,即指两个事件的集合的交集是空集 ② 对立事件是指的两个事件,而且必须有一个发生,而互斥事件可能指的很多事件,但最多只有一个发生,可能都不发生 ③ 对立事件一定是互斥事件 ④ 从集合论来看:表示互斥事件和对立事件的集合的交集都是空集,但两个对立事件的并集是全集 ,而两个互斥事件的并集不一定是全集 ⑤ 两个对立事件的概率之和一定是1 ,而两个互斥事件的概率之和小于或者等于1 ⑥ 若事件A , B 是互斥事件,则有P (A +B )=P (A )+P (B ) ⑦ 一般地,如果
则有P (A 1+A 2+... +A n )=P (A 1)+P (A 2)+... +P (A n ) ⑧ A 1, A 2,..., A n 两两互斥,
P (A )=1-P A ⑨ 在本教材中A 1+A 2+... +A n 指的是A 1, A 2,..., A n 中至少发生一个 ⑩ ★ 在具体做题中,希望大家一定要注意书写过程,设处事件来,利用哪种概型解题,就按照那种概型的书写格式,最重要的是要设出所求的事件来 ,具体的格式请参照我们课本上(新课标试验教科书-苏教版)的例题
例题选讲:
例1. 在大小相同的6个球中,4个是红球,若从中任意选2个,求所选的2个球至少有一个是红球的概率?
【分析】题目所给的6个球中有4个红球,2个其它颜色的球,我们可以根据不同的思路有不同的解法
解法1:(互斥事件)设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ,则其互斥事件为A 意义为“选取2个球都是其它颜色球”
11114 =∴ P (A ) =1 - P A =1 - = (6⨯5) 15151514答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 15
6⨯5=15种情况,设事解法2:(古典概型)由题意知,所有的基本事件有2
件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ,而事件A 所含有的基本事件数有
4⨯34⨯2+=14 2
14所以P (A )= 15 P A =
)))
14 . 15
解法3:(独立事件概率)不妨把其它颜色的球设为白色求,设事件 A 为“选取2个球至少有1个是红球” ,事件A 有三种可能的情况:1红1白;1白
4224431红;2红,对应的概率分别为:⨯, ⨯ , ⨯, 则有 656565
42244314P (A )=⨯ + ⨯+ ⨯= 65656515
14答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 . 15
评价:本题重点考察我们对于概率基本知识的理解,综合所学的方法,根据自己的理解用不同的方法,但是基本的解题步骤不能少!
变式训练1: 在大小相同的6个球中,2个是红球,4 个是白球,若从中任意选取3个,求至少有1个是红球的概率?
解法1:(互斥事件)设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球”,则其答:所选的2个球至少有一个是红球的概率为 互斥事件为A , 意义为“选取3个球都是白球”
4⨯3⨯3C 414=4⨯3⨯2=1 P A =3=∴ P (A ) =1 - P A =1 - =654555C 6(6⨯5⨯4) ⨯2⨯1))
答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 4 . 5
6⨯5⨯4=20种情3⨯2⨯1
况,设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ,而事件A 所含有的基本4⨯31642+1⨯4=2⨯=16, 所以 P (A )== 事件数有2⨯C 42205
4答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为 . 5
解法3:(独立事件概率)设事件 A 为“选取3个球至少有1个是红球” ,则事件A 的情况如下:
2431红 白 白 ⨯⨯= 6545
4321 1红2白白 白 红 ⨯⨯= 6545
4231白 红 白⨯⨯= 6545
2141红 红 白 ⨯⨯= 65415
24112红1白红 白 红 ⨯⨯= 65415
4211白 红 红⨯⨯= 654153=解法2:(古典概型)由题意知,所有的基本事件有C 6
114所以 P (A )=3⨯+3⨯= 5155
4 . 5
变式训练2:盒中有6只灯泡,其中2只次品,4只正品,有放回的从中任抽2次,每次抽取1只,试求下列事件的概率:
(1)第1次抽到的是次品
(2)抽到的2次中,正品、次品各一次
解:设事件A 为“第1次抽到的是次品”, 事件B 为“抽到的2次中,正品、次品各一次”
214⨯2+2⨯4424424=(或者P (B )=⨯+⨯=)则 P (A )== ,P (B )= 636⨯6966669
1答:第1次抽到的是次品的概率为 ,抽到的2次中,正品、次品各一次3
4的概率为 9
变式训练3:甲乙两人参加一次考试共有3道选择题,3道填空题,每人抽一道题,抽到后不放回,求(1)甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率?(2)求至少1人抽到选择题的概率?
【分析】(1)由于是不放回的抽,且只抽两道题,甲抽到选择题而乙抽到填空题是独立的,所以可以用独立事件的概率(2)事件“至少1人抽到选择题”和事件“两人都抽到填空题”时互斥事件,所以可以用互斥事件的概率来
解:设事件A 为“甲抽到选择题而乙抽到填空题”,事件B 为“至少1人抽到选择题”,则B
为“两人都抽到填空题” 答:所选的3个球至少有一个是红球的概率为
⎛P 31P 313⨯33⎫333 或者P (A )===⎪(1)P (A )=⨯=2 ⎪ 65106⨯510P 6⎝⎭
P 321⎫321⎛14⎪P B =⨯= 或者P B ==()P B =1-P B =1-= (2) 则 2 ⎪655⎝5⎭55P 6)))
答:甲抽到选择题而乙抽到填空题的概率为
为 3,少1人抽到选择题的概率104 . 5
变式训练4:一只口袋里装有5个大小形状相同的球,其中3个红球,2 个黄球,从中不放回摸出2个球,球两个球颜色不同的概率?
【分析】先后抽出两个球颜色相同要么是1红1球,要么是1黄1球
32233⎛63⎫ 略解:P (A )=⨯+⨯= 或者 P (A )=2= ⎪ 54545⎝C 55⎪⎭
变式训练5:设盒子中有6个球,其中4个红球,2 个白球,每次人抽一个,然后放回,若连续抽两次,则抽到1个红球1个白球的概率是多少?
42244⨯22⨯44⨯+⨯=+= 66666⨯66⨯69
例2. 急救飞机向一个边长为1千米的正方形急救区域空头急救物品,在该区域内有一个长宽分别为80米和50米的水池,当急救物品落在水池及距离水池10米的范围内时,物品会失效,假设急救物品落在正方形区域内的任意一点是随机的(不考虑落在正方形区域范围之外的),求发放急救物品无效的概率?
【分析】为题属于几何概型,切是平面图形,其测度用面积来衡量
解:如图,设急救物品投放的所有可能的区域,即边长为1千米的正方形为区域 D ,事件“发放急救物品无效”为A ,距离水
池10米范围为区域 d ,即为图中的阴影部分, 则略解: P (A )=
有P (A )=d 测度
D 测度
80⨯50+2⨯80⨯10+2⨯50⨯10+4⨯
=1000⨯1000π(10)2
答:略
颜老师说明:这种题目要看清题目意思,为了利
用几何概率,题目中一般都会有落在所给的大的区域
之外的不计的条件,但如果涉及到网格的现象是一般
则不需要这个条件,因为超出一个网格,就会进入另外一个网格,分析是同样的
变式训练1:在地上画一正方形线框,其边长等于一枚硬币的直径的2倍,向方框中投掷硬币硬币完全落在正方形外的不计,求硬币完全落在正方形内的概率?
略解:P (A )=d 测度
D 测度224 =2=232+π4+4⨯1⨯4+π1
变式训练2:如图,设有一个正方形网格,其中每个小正三角形的边长都是a , 现有一直径等于的硬币落在此网格上,求硬币落下后与网格有公共点的概率?
【分析】因为圆的位置由圆心确定,所以要与网
格线有公共点只要圆心到网格线的距离小于等于半径
解:如图,正三角形ABC 内有一正三角形
A 1B 1C 1,其中
AB =a , A 1D =B 1E =A 1F =A 1D 1a , AD =BE = 6tan30︒
=⎛3⎫⎪a a = 1-a ,∴ A 1B 1=AB -2AD =a - 33⎪6⎝⎭
当圆心落在三角形 A 1B 1C 1 之外时,硬币与网格有公共点
∴ 有公共点的概率 P =2S ∆ABC -S ∆A 1B 1C 1 S ∆A 1B 1C 123⎛3⎫2 1-⎪a a - 44⎝3⎪⎭==0. 82 2a 4
答:硬币落下后与网格有公共点的概率为
0.82 .
变式训练3:如图,已知矩形A
D a
E B ABCD 中 , AB =5 , AC =7 , 在正方形内 任取一点P , 求 ∠APB >90︒的概率?
1⎛5⎫π ⎪5π2⎝2⎭略解:P (A )= =5⨯756
变式训练4:平面上画了彼此相距2a 的平行线把一枚半径r
硬币,任意的抛在这个平面上,求硬币不与任何一条平行线相
碰的概率?
解:设事件A 为“硬币不与任何一条平行线相碰”为了确定硬币
的位置,有硬币的中心向距离最近的平行线作垂线
OM ,垂足
为M , 线段OM 的长度的取值范围为[ 0 , a ] 2C M 就是
几何概型所有的可能性构成的区域D 0
足
事件A 的区域d 的几何测度,所以
P (A )=(r , a ]的长度=a -r 0, a 的长度a
a -r a
【评价与链接】该题是几何概型的典型题目,要求我们正确确认区域D 和区域d ,理解它们的关系以及它们的测度如何来刻画。
蒲丰投针问题:平面上画有等距离的一系列的平行线,平行线间距离为2a (a > 0 ), 答:硬币不与任何一条平行线相碰的概率为
向平面内任意的投掷一枚长为l (l
解:以x 表示针的中点与最近的一条平行线的距离,又以ϕ表示针与此直线的交角,如图易知0≤x ≤a , 0≤ ϕ ≤ π ,有这两式可以确定x -π 平面上的
l Sin ϕ,有这个不等2
式表示的区域A 为图中的阴影部分,由等可能性知 一个矩形Ω,这是为了针与平行线相交,其充要条件为x ≤
S P (A )=A =S Ω⎰π0l Sin ϕ d ϕl = π⋅a πa
如果
l , a 已知, 则以π值代入上式即可计算P (A )的值 , 反过来, 如果已知P (A ) 的值,
则也可以利用上式来求π,而关于P (A )的值,则可以用实验的方法,用频率去近似它,既: 如果 投针N 次,其中平行线相交的次数为n 次,则频率为n l n l N ≈于是 , π≈ ,于是,P (A )= N π a N a n
注释:这也是历史上有名的问题之一,用试验的方法先用数学积分的手段结合几何概型求出概率,再用频率近似概率来建立等式,进而求出π. 在历史上有好多的数学家用不同的方法来计算 π,如中国的祖冲之父子俩,还有撒豆试验,也是可以用来求 π的.
会面问题:甲乙两人约定在6时到7时在某地会面,并约定先到者等候另一人一刻钟,过时即可离去,求两人能会面的概率?
解:设“两人能会面”为事件A ,以 x和y 分
别表示甲、乙两人到达约会地点的时间,则两人能够
会面的充要条件为: x -y ≤15 在平面上建立如图
所示的坐标系,则(x , y )的所有可能的结果是边长为
60的正方形,
而可能会面的时间由图中阴影部分所