液体在缝隙中的流动
第七章 液体在缝隙中的流动
在液压传动和机械润滑等方面,经常需要利用缝隙流的理论计算泄漏量和阻力损失。凡有相对运动的两个零件或零件间,必然有一定的间隙(或称缝隙),如活塞与缸筒间的环形缝隙、轴与轴承间的环形缝隙、工作台与导轨间的平面缝隙,圆柱与支承面间的端面间隙等等。这些间隙确定的合理直接影响到机械的性能。缝隙流动对液压传动的影响尤其显著。油泵、油马达、换向阀等液压元件处处存在着缝隙流动问题。缝隙过小则增加了摩擦,缝隙过大又增加了泄漏。因此,正确分析液体在缝隙中的流动情况,合理地确定间隙的大小,是非常重要的问题。
下面就平行平面缝隙、环形缝隙以及环形平面缝隙等分别加以研究。
7.1流经平行平面的流动
两平行平面夹成的缝隙称为平行平面缝隙,沿缝隙宽度上各流线互相平行的流动称为平行流动。
在液压技术上,齿轮泵齿顶与泵壳之间的流动,滑块与滑动导轨之间的流动等,均属于这种流动。
由于液体都有一定的粘性,而间隙很小,故雷诺数一般低于临界值,液压传动装置中的平面缝隙的雷诺数均在1000~2000以下,故属于层流。
设有两块平行平面相距h ,长度为l ,宽度为b ,h
在缝隙流中设直角坐标如图7-1,于是沿流动方向(x 轴)可列出力的平衡方程如下 pb d y - p +化简后得
-
⎛⎝
⎛∂p ⎫∂τ⎫
d x ⎪b d y +τb d x - τ+d y ⎪ ⎪b d x =0 ∂x ⎭∂y ⎝⎭
∂p ∂τ
(7.1.1) =
∂x ∂y
由于平行平面流动的p 仅是x 、τ仅是y 的函数,故上式可改写为
d τd p
=- (7.1.2) dy d x
根据牛顿内摩擦定律有 τ=-μ
d u
d y
d τd 2u
=-μ2 (7.1.3) dy d y
代入式(7.1.2)得
d 2u 1d p = (7.1.4) 2d y μd x
式中,
d p
为压力在x 轴方向的变化率,如果沿缝隙长度l 的压力降为∆p ,则 d x
d p ∆p
=-
d x l
d 2u ∆p
= (7.1.5) d y 2μl
将上式对y 进行两次积分可得 u =-
∆p 2
y +C 1y +C 2 (7.1.6) 2μl
式中,C1、C2为积分常数,由边界条件确定。 7.1.1两平行平面不动,∆p ≠0
如图7-1所示,当两平行平面不动,∆p ≠0(p 1>p 2),即靠两端的压力差来产生
流动的,为压差流或泊肃叶流。这种流动的边界条件是y =+
h h
时,u =0;y =-时,22
,解联立方程可得相应的两个积分常数 u =0,分别代入式(7.1.6)
C 1=0 C 2=
∆p 2
h 8μl
将C1和C2的值代入式(7.1.6)得
∆p ⎛h 22⎫ ⎪-y u = (7.1.6) ⎪2μl ⎝4⎭
上式说明,在平行平面中间,任意过水断面上的速度u 是按抛物线规律分布的(如图
7-2)。
y =0处有最大流速u max 为
u max =
通过缝隙的流量为
Q =
即
∆p 2
(7.1.8) h
8μl
⎰
h 2h -2+h
b ∆p +2h 22⎫⎪ub d y =-y h ⎰⎪d y -2μl 2⎝4⎭
bh 3
∆p (7.1.9) Q =
12μl
缝隙断面上的平均流速v 应为
Q h 2
v ==∆p (7.1.10)
bh 12μl
平均流速与最大流速之比
v max 2
= (7.1.11) v 3
由式(7.1.10)流体流过缝隙的压力降(压力损失) ∆p =
12μl v
(7.1.12) h 2
如以λ代表阻力系数,ρ代表液体密度,则上式可写为
∆p =
λl ρv 2
2h 2
(7.1.13)
从式(7.1.12)和式(7.1.13)可知 λ=式中,Re 为雷诺数,Re =
96
(7.1.14) Re
2ρvh
μ
=
2vh
ν
。
7.1.2上平面以速度U 移动,下平面固定不动,∆p =0
如图7-3所示,当上平面以恒速度U 移动,下平面不动,∆p =0(p 1=p 2),即靠上 平面移动而产生流动的,称为剪切流或库艾特流。这时边界条件为 y =+
h
时,u =U 2h
y =-时,u =0
2
U h
U ∆p 3
+h 28μl
分别代入式(7.1.6),解联立方程可得相应的两个积分常数为 C 1=
C 2=
将C1和C2的值代入式(7.1.6)并考虑∆p =0,得
u =
U 2
⎛2 1+⎝h ⎫
y ⎪ (7.1.15) ⎭
上式表明,在两个平行平面之间的流体层流运动,其速度按直线规律分布。如图7-3所示。
流经缝隙的流量为
Q =
⎰
h 2h -2+
ub d y =b ⎰
h 2h -2+
2
⎛2⎫ 1+y ⎪d y ⎝h ⎭
Q =
bU
h (7.1.16) 2
7.1.3 上平面以速度U 移动,下平面不动,∆p ≠0
当上平面以恒速度U 移动,下平面不动,∆p ≠0(p 1>p 2或p 1
h
时,u =±U 2h
y =-时,u =0
2
U h
U ∆p 3
+h 28μl
分别代入式(7.1.6),解联立方程可得相应的两个积分常数为 C 1=±
C 2=±
将C1和C2的值代入式(7.1.6)得
∆p ⎛h 2U ⎛U 2⎫ ⎪-y ±y + u =⎪ h 2μl 42⎝⎭⎝
或
⎫
⎪ ⎭
∆p ⎛h 2U 2⎫ ⎪u =-y ±⎪22μl ⎝4⎭
流量为
Q =
h
2h -2+
⎛2⎫
y +1⎪ (7.1.17)
h ⎝⎭
⎰
⎛∆ph 3U ⎫
ub d y = 12μl ±2h ⎪⎪b (7.1.18)
⎝⎭
式中 “+”――表示上平面移动方向与液体的流动方向相同;
“-”――表示上平面移动方向与液体的流动方向相反。
由图7-4可以看出,这种平面之间的流速分布规律正是前面两种速度分布的合成。
7.2流经倾斜平面缝隙的流动
两平面互不平行,流道高度沿流道方向缓慢变化,形成锲形缝隙,缝隙的高度逐渐减小的缝隙为渐缩缝隙,缝隙高度逐渐增大的缝隙为渐扩缝隙。
图7-5所示,设倾斜平面缝隙入口处的高度为h 1,压力为p 1;出口处的高度为h 2,压力为p 2,上平面静止,下平面以恒速U 移动。将坐标原点置于缝隙入口处,研究一距原点为x ,长为d x ,高为h 的微元缝隙。由于d x 很小,故可认为此微元缝隙为平行平面缝隙即等高缝隙,因此式(7.1.4)仍成立,即
d 2u 1d p
d y 2
=μd x
将上式对y 进行积分,则得 u =-
∆p 2μl
y 2
+C 1y +C 2 从图7-5 可以看出其边界条件为
y =0时,u =U
y =h 时,u =0
分别代入式(7.2.1),解联立方程求得C1和C2后再代入(7.2.1),得 u =U ⎛ y ⎫h 2
d p ⎛y ⎫y
⎝1-h ⎪⎭-2μd x ⎝1-h ⎪⎭h
通过的流量
Q =⎰h
0ub d y =bhU 2-bh 3d p
12μd x
从而就有
d p 6μU 12μQ
d x =h 2-bh
3
由于 h =h 1+x sin α 式中,α为上平面对下平面的倾角。
所以
d x =
1
tan α
d h
l =
1
tan α
(h 2-h 1) 代入式(7.2.4)整理得
7.2.1)
7.2.2)
7.2.3)
7.2.4) (
( ( (
d p =-
12μQ 6μU
d h -d h
bh 3tan αh 2tan α
6μQ ⎛11⎫6μU 11
⎪--(-) (7.2.5) 22⎪b tan α tan αh h 1h h 1⎭⎝
积分,并利用边界条件确定积分常数,得 p =p 1+
利用边界条件,当h =h 1时,p =p 2,可得 p 2=p 1+(7.2.6)
26μQ h 12-h 26μU h 1-h 2
+或 ∆p =p 2-p 1=- (7.2.7) 2
b tan αh 12h 2tan αh 1h 2
6μQ b tan α
⎛11⎫6μU 11 ⎪--(-) (7.2.6) h 2h 2⎪tan αh h 121⎭⎝2
流量公式
2
bh h b h 12h 2
∆p +12U (7.2.8) Q =
6μl h 1+h 2h 1+h 2
如果上下平板均固定不动,式(7.2.5)、(7.2.7)及(7.2.8)分别变为
p =p 1+
6μQ b tan α
⎛11⎫ - h 2h 2⎪⎪ (7.2.9)
1⎭⎝
2
6μQ h 12-h 2
∆p =p 2-p 1=- (7.2.10) 2
b tan αh 12h 22
b h 12h 2
∆p (7.2.11) Q =
6μl h 1+h 2
由式(7.2.9)可知,液体在倾斜平面缝隙中的压力分布,随沿程x 的变化而变化,对于收缩断面则如图7-2(a)所示,压力分布曲线为上凸,比平行平面缝隙中呈线性分布的压力为高。对于扩展断面则如图7-6(b)所示,压力分布曲线为下凹,比平行平面缝隙中呈线性分布的压力为低。
7.3
流经环形缝隙的流动
由内外两个圆柱面围成的缝隙叫圆柱环形缝隙。在液压技术上,油缸、柱塞或活塞缝隙中的流动,圆柱滑阀阀芯和阀孔缝隙中的流动等,均属于这种流动。 7.3.1 同心环形缝隙
如图7-7(a)所示,当环形缝隙h 与直径d 相比很小时,完全允许把很小缝隙展开,近似看成是平行平面缝隙,此时缝隙宽度b =πd 。故这种同心环形缝隙的流量,可用平行平面缝隙的流量公式进行计算。
当∆p ≠0,内外环不动时,按式(7.1.9)即
πdh 3
Q =∆p (7.3.1)
12μl
当∆p ≠0,一环对另一环以速度U 轴向移动时,按式(7.1.18)即
⎛∆ph 3U ⎫
Q = 12μl ±2h ⎪⎪πd (7.3.2)
⎝⎭
式中,当移动速度U 与油液通过缝隙的泄漏方向相同时取“+”号,相反时取“-”号。如图7-7(b)所示,当r 1-r 2=h 较大时,内外环不动,∆p ≠0的流量计算公式为
⎡⎤⎢222⎥r -r π∆p 1⎢r 4-r 4-2⎥ (7.3.3) Q =
21
8μl ⎢⎛r 2⎫⎥
ln ⎢ r ⎪⎪⎥
⎢⎥⎝1⎭⎦⎣
(
)(
)
7.3.2 偏心环形缝隙
在实际问题中,出现上述同心环形缝隙一般是不多见的,偏心环形缝隙却时常出现。例如油缸与活塞之间的缝隙,滑阀芯与阀体之间的缝隙,由于受力不均匀,经常呈现偏心的现象。
如图7-8所示的偏心环形缝隙中,其中r 1、r 2 分别为内外环的半径,e 为两环的偏心距离。设在任一角度ϕ时,两环表面的缝隙量为y ,y 是ϕ的函数,由于它是个微量,所以偏心距e 更是个微量。从图中可以看出
y =r 2-(r 1cos γ+e cos ϕ)
由于缝隙很小,角γ很小,故cos γ≈1,于是上式可写为 y =r 2-(r 1+e cos ϕ)=h -e cos ϕ 其中
r 1-r 2=h 为同心时的环形缝隙量。引入相对偏心率
ε=则有
y =h 1-
e h
⎛⎝e ⎫
cos ϕ⎪=h (1-εcos ϕ) h ⎭
取一单元弧长d s =r 2d ϕ,通过宽度d s 的缝隙流量,可按偏心平面流量公式计算,即
r 2∆ph 3∆p 3
(1-εcos ϕ)3d ϕ y d ϕ= d Q =
12μl 12μl
将上式ϕ从0到2π积分得
r 2∆ph 3
Q =
12μl
3
3
()1-εcos ϕd ϕ⎰0
2π
=
或
r 2∆ph
2π+2ε2π12μl
()
πd ∆ph 3⎛32⎫
Q = 1+ε⎪ (7.3.4)
12μl ⎝2⎭
式中,d 为外环直径,d =2r 2。
从式(7.3.4)与(7.3.1)对比可以看出,偏心将使缝隙内通过的泄漏量增加。在最大偏心时,e =h ,ε=1,有
πd ∆ph 3
Q =2. 5 (7.3.5)
12μl
因此可见,在最大偏心时,通过环形缝隙的泄漏流量是通过无偏心环形缝隙流量的2.5倍,环形缝隙中的液流一般多是层流。如果雷诺数过大,缝隙;流将从层流变为紊流,其临界雷诺数如表7-1所示。
紊流状态下缝隙流的沿程阻力系数,可由下列计算式求得
λ=0. 32Re 或
λ=0. 31Re 例1
-0. 24-0. 25
(7.3.6)
(7.3.7)
7.3 流经偏心圆盘间的径向流动
偏心圆盘端面缝隙中的径向流动也是工程中常见的一种实际问题,例如端面推理轴
承、静压圆盘支承、液压泵和液压马达中的配流盘、倾斜盘等处都有这种缝隙形式,这种流动与偏心平面缝隙流动的主要区别,在于越往下游其流速越慢。 7.4.1 挤压流动
如图7-10所示,间距为h 的两块圆盘中充满液体,设上盘以恒速U 向下运动,下盘不动,油液受挤压向四周流动,形成挤压流动。在轴向柱塞泵中,当滑阀处于吸油过程时,滑阀于斜盘间的缝隙流动属于此种。
设圆盘半径为r 0,由于流层很薄,主要是径向流动,可忽略u y 。
在圆盘半径r 处,取薄层d r ,将其展开后可视为两偏心-平面间的缝隙流动。于是有
d p 6μQ
(7.4.1) =-
d r πrh 3
2
由于流过半径r 处过流断面的流量等于油液被排挤的流量,即 Q =πr U
代入上式,并就d p 加以整理,积分后得 p =-
3μU 2
r +C 3h
利用边界条件r =r 0 ,p =p 0,确定积分常数为
C =p 0+
代入上式得
p =p 0+
3μU 2
r 0 h 3
3μU 22
(7.4.2) r -r 03
h
()
即,油液中的压力是按抛物线规律分布,而在r =0处,压力有最大值p max (图7-11) p m ax =p 0+圆盘上的总作用力为 P =
3μU 2
r 0 (7.4.3)
h 3
⎰
r 0
p 2πr d r
将式(7.4.2)代入,并进行积分得
3πμr 04U
P =πr p 0+ (7.4.4) 3
2h
20
如按相对压力来表示,p 0=0(大气压力时),上式变为
3πμr 04U P = (7.4.5) 3
2h
由上式可以看出,总作用力与U 、r 0及h 的关系。由于挤压流动能产生支承力,因
此在一定条件下,可以用来实现动力支承,并能保证一定的油膜厚度。 7.4.2 压力流动
如图7-12(a)所示,在下圆盘中心部引入压力油的导管,油液从中心向四周径向流出
(源流),或如图7-12(b)所示,从四周径向汇入中心部(汇流)。由于缝隙h 很小,由于粘性较大,油液多呈层流。轴向柱塞泵(或马达)缸体与配流盘间的缝隙流动基本属于这种;某些端面推力静压轴承也术这种流动。
利用圆柱坐标分析这种流动比较方便。由于流动是径向的,它对称于z 轴,于是其运动参数与θ无关,加上缝隙高度h 很小,所以u θ=0 ,u z ≈0,则u r =u 。这样不可压缩的定常流的维-斯托克斯(N -S )方程可简化为
⎛∂2u r 1∂u r ∂2u r u r ⎫∂u r 1∂p
⎪R -+ν ++-=u r 22⎪ ∂r 2
ρ∂r r ∂r ∂r ∂z r ⎝⎭
z -
1∂p
=0 (7.4.6) ρ∂z
在重力场中,R =0 ,z =-g ,则z 轴向N -S 方程的积分为 p =-ρgz +f (r ) 由此得
即
∂p
=f ' (r ) ∂r
∂p
与z 无关。 ∂r
由于u θ=0 ,u z ≈0,于是连续性方程为
u r ∂u r
+=0 (7.4.7) r ∂r
将上式对r 求导,得
1∂u r u r ∂2u r
-2+=0 2
r ∂r r ∂r
代入r 向N -S 方程,则有
∂2u r ∂u r 1∂p +ν=u - r 2
ρ∂r ∂r ∂z
或
∂2u r 1∂p u r ∂u r
=-+
μ∂r ν∂r ∂z 2
在
(r 2-r 1)
r 1
(图7-12(a))不大的情况下,
∂u r ∂p
,由此等号右第边第二项可略去,
∂r ∂r
于是变成
∂2u r 1∂p
=- (7.4.8)
μ∂r ∂z 2
对上式进行两次积分,并利用边界条件(z =0, u r =0;z =h , u r =0)确定积分常数,则有
u r =-或
1∂p
(h -z )z
2μ∂r
h 2∂p z ⎛z ⎫u r =- 1-⎪ (7.4.9)
2μ∂r h ⎝h ⎭
设圆管中心有强度为m 的点源,则速度势可用下式表示
φ=m ln r (7.4.10) 将上式对r求导 由此u r 可表示为
u r =代入式(7.4.9)
∂φm = ∂r r
∂φm
= (7.4.11) ∂r r
∂φh 2∂p z ⎛z ⎫=- 1-⎪ (7.4.12) ∂r 2μ∂r h ⎝h ⎭
积分得
h 2z ⎛z ⎫
ϕ=- 1-⎪p +c (7.4.13)
2μh ⎝h ⎭
由边界条件:r =r 0,p =p 1;r =r 2,p =p 2 . 从式(7.4.10)和(7.4.13)可得
h 2z ⎛z ⎫h 2z ⎛z ⎫ m ln r 1+ 1-⎪p 1=m ln r 2+ 1-⎪p 2
2μh ⎝h ⎭2μh ⎝h ⎭
(p 1-p 2)h 2m =
z ⎛z ⎫
1-⎪ (7.4.14)
⎛r 2⎫h ⎝h ⎭2μln r ⎪⎪
⎝1⎭
代入式(7.4.11)得 u r =
(p 1-p 2)h 2
z ⎛z ⎫
1-⎪ (7.4.15)
⎛r 2⎫h ⎝h ⎭2μr ln r ⎪⎪
⎝1⎭
求流量 Q =(p 1-p 2)
πh 3
⎛r 2
6μln r
⎝1
⎫⎪⎪⎭
(7.4.16)
这是径向流动的基本公式。
考虑层流起始段的影响,可用系数Ce 对上式进行修正,于是上式变为
Q =πh
3
(p 1-p 2)
⎛r 2⎫
6μC e ln r ⎪⎪
⎝1⎭
(7.4.17)
式中Ce 可从图7-13中选取。 压力分布的一般表达式为 p -p 2= 将式(7.4.16)代入上式
6μQ ⎛r 2⎫
⎪ln 3 ⎪ (7.4.18) πh r ⎝1⎭
⎛r 2⎫
ln r ⎪⎪
1⎭⎝(p 1-p 2) (7.4.19) p -p 2=
⎛r 2⎫ln r ⎪⎪⎝1⎭
如果圆盘外侧面为大气压力,p 2=0,则上式变为
⎛r 2ln r ⎝1
p =p 1
⎛r 2ln r ⎝1⎫⎪⎪
⎭ (7.4.20) ⎫⎪⎪⎭
式(7.4.17)和式(7.4.20)是按源流情况求得的,如果油液从外向中心部汇流,则用类似的方法求得流量和压力为
Q =πh
3
(p 2-p 1)
⎛r 1⎫
6μC e ln r ⎪⎪
⎝2⎭
(7.4.21)
⎛r ⎫ln r ⎪⎪
2⎭⎝p =p 1 (7.4.22) ⎛r 1⎫ln r ⎪⎪⎝2⎭