圆的切线的判定
圆的切线的判定
直线和圆的位置关系中,相切这一特殊位置关系极为重要。根据圆的切线的定义我们知道和圆有唯一公共点的直线是圆的切线,这种判定方法我们称为定义法。但这种方法用起来很不方便,在证明题中运用较少,一般在填空题和选择题出现。 观察右图我们发现,我们发现若直线和圆相切时,直线会经过半径的外端点,并且与该半径垂直。由此我们得出第二种判定方法,即经过
半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线,这种判定方法我们称为位置关系法。它隐含着直线l 过⊙O 上某一点A ,证明l 是⊙O 的切线,只需连OA ,证明OA ⊥l 即可,简称“连半径,证垂直”。
继续观察右图,若直线和圆相切,那么圆心到直线的距离d=r。由此我们得出第三种判定方法,即圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线,这种判定方法我们称为数量关系法。它隐含着直线l 与⊙O 没有已知的公共点,要证明l 是⊙O 的切线时,只需作OA ⊥l ,A 为垂足,证明OA 是⊙O 的半径即可,简称:“作垂直;证半径”。
圆的切线的判定方法总结:①直线与圆有唯一公共点;②经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线;③直线到圆心的距离等于该圆的半径。 习题讲解
1. (2011•遵义)如图,AB 是⊙O 的直径,BC 交⊙O 于点D ,DE ⊥AC 于点E ,要
2. (2012•河池)如图,已知AB 是⊙O 的直径,⊙O 过BC 的中点D ,且DE ⊥AC 于点E .试判断DE 与⊙O 的位置关系,并证明你的结论;
3.(2012•广西)如图,AB 是⊙O 的直径,点C 是⊙O 上一点,∠BAC 的平分线AD 交⊙O 于点D ,过点D 垂直于AC 的直线交AC 的延长线于点E .求证:DE 是⊙O 的切线.
例1. 如图,已知AB 为⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上,BD =OB ,点C 在圆上,∠CAB =30º.求证:DC 是⊙O 的切线.
证明:连接OC ,BC .
∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB =90º. ( )
1∵∠CAB =30º,∴BC =AB =OB. ( ) 2又∵OB=OC, ∴△OBC 是等边三角形, ∠OCB=∠OBC=60º.
∵BD =OB ,∴BC =BD .即∠BDC=∠BCD.
∵∠OBC=∠BDC+∠BCD=60º,∴∠BDC+∠BCD=30º.
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=60º+30º=90º.
∴DC 是⊙O 的切线.
例2. 如图,已知AB 为⊙O 的直径,过点B 作⊙O 的切线BC ,连接OC ,弦AD ∥OC .求证:CD 是⊙O 的切线.
证明:连接OD .
∵OC ∥AD ,∴∠1=∠3,∠2=∠4.( )
∵OA =OD ,∴∠1=∠2.∴∠3=∠4.( ) 又∵OB =OD ,OC =OC ,
∴△OBC ≌△ODC .( )
∴∠OBC =∠ODC .( )
∵BC 是⊙O 的切线,∴∠OBC =90º.∴∠ODC =90º.
∴DC 是⊙O 的切线.
A
例题迁移 如图1,B 、C 是⊙O 上的点,线段AB 经过圆心O ,连接AC 、BC ,过点C 作CD ⊥AB 于D ,∠ACD=2∠B .AC 是⊙O 的切线吗?请说明理由.
例3. 如图,AB=AC,D 为BC 中点,⊙D 与AB 切于E 点. 求证:AC 与⊙D 相切. 证明:连结DE ,作DF ⊥AC ,F 是垂足.
∵AB 是⊙D 的切线,∴DE ⊥AB.
∵DF ⊥AC , ∴∠DEB=∠DFC=90º.
∵AB=AC, ∴∠B=∠C.
又∵BD=CD,
∴△BDE ≌△CDF (AAS )
∴DF=DE.
∴F 在⊙D 上. 即AC 是⊙D 的切线.
(请学生试用其他方法证明)
例题迁移 如图,AB 是⊙O 的直径,CD ⊥AB ,且OA 2=OD·OP. 求证:PC 是⊙O 的切线.
证明:连结OC
∵OA =OD·OP ,OA=OC,
∴OC 2=OD·OP ,OC OP . OD OC 2
又∵∠1=∠1,
∴△OCP ∽△ODC. ∴∠OCP=∠ODC.
∵CD ⊥AB ,∴∠OCP=90º.
∴PC 是⊙O 的切线
.