恒定电流的磁场(二)答案
♫洛伦兹力
带电粒子受力F =q v ⨯B
速度方向与磁场方向平行：匀速直线运动
m v 2πm
，T = qB qB mv 2πm 2π m
速度方向与磁场方向有夹角: 螺旋线运动R =, d =sin θ, T =v cos θ
qB qB qB
1、（基础训练15）电子质量m ，电荷e ，以速度v 飞入磁感强度为B 的匀强磁场中，v 与B
速度方向与磁场方向垂直：匀速圆周运动R =
的夹角为θ ，电子作螺旋运动，螺旋线的螺距h =2πmv cos θ/(eB ) ，半径R
=mv sin θ/(eB ) ．
【解析】
2、[B ]4.（自测提高4） 一个动量为p 的电子，沿图示方向入射并能穿过
一个宽度为D 、磁感强度为B (方向垂直纸面向外) 的均匀磁场区域，则该电2πm mv m (v sin θ)
h =v //T =(v cos θ) ,
R =⊥=
eB eB eB
子出射方向和入射方向间的夹角为
-1
eBD -1eBD (A) α=cos (B) α=sin p p -1BD -1BD (C) α=sin (D) α=cos
ep ep
【解析】
电子在磁场中的轨迹为一段圆弧，如图。所以有R =
mv
, eB
sin α=
D eBD eBD
==
R mv p
3、（自测提高10）如图所示，一半径为R ，通有电流为I 的圆形回路，位
于Oxy 平面内，圆心为O ．一带正电荷为q 的粒子，以速度v 沿z 轴向上运动，当带正电荷的粒子恰好通过O 点时，作用于圆形回路上的力_0____，作用在带电粒子上的力为____0___．
【解析】
(1)带电粒子受力F =q v ⨯B I =0, B I 为圆电流I 在O 点的磁感应强度。
μ0q v ⨯e r
可知，B q 的方向沿回路的切线方向，(2)根据B q =2
4πr
∴回路受力F =⎰Id l ⨯B q 也为零。
4、（自测提高12）磁场中某点处的磁感强度为B =0. 40i -0. 20j (SI ) ，一电子以速度
66
v =0. 50⨯10i +1. 0⨯10j (SI)通过该点，则作用于该电子上的磁场力F 为
-14
8⨯10k (N ) ．(基本电荷e =1.6×10-19C)
【解析】
F =-e v ⨯B =-e 0. 5⨯1061. 0⨯106
0. 40-0. 20
i j k 0=8⨯100
-14
k (N )
5. （自测提高14）如图11-53，半径为R 的空心载流无限长螺线管，单位长度有n 匝线圈，导线中电流为I 。今在螺线管中部以与轴成α角的方向发射一个质量为m ，电量为q 的粒子，则该粒子初速度必须小于或等于
μ0nIqR
, 才能保证不与螺线管壁相撞。
2msin α
【解析】设粒子运动的半径为R ’，则要求2R' ≤R ，其中R' =
图11-53
mv ⊥mv sin α
，所以=
qB q (μ0nI )
v ≤
μ0nIqR
.
2msin α
6、(自测提高20) 在一回旋加速器中的氘核，当它刚从盒中射出时，其运动半径是R=32.0cm，加在D 盒上的交变电压的频率是γ=10MHz。试求：(1)磁感应强度的大小；(2)氘核射出时的
-27
能量和速率(已知氘核质量m=3.35×10kg) 【解析】 （1）γ=（2）v =
1qB =, T 2πm
B =
2πm γ
=1.3(T ) q
2πR
=2πR γ=2⨯3. 14⨯32⨯10-2⨯107=2. 01⨯107(m /s ), T
因为v
1
mv 2=6.77⨯10-13(J ) 2
F =⎰I 2dl ⨯B 1，载流导线垂直放置在磁场中F AB 弧=F AB 直
磁力矩M =p m ⨯B
[C ]1. （基础训练2）三条无限长直导线等距地并排安放，导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ分别载有1 A，2 A，3 A同方向的电流．由于磁相互作用的结果，导线Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ单位长度上分别受力F 1、F 2和F 3，如图所示．则F 1与F 2的比值是： (A) 7/16． (B) 5/8． (C) 7/8． (D) 5/4． 【解析】
ⅠⅡⅢ
1 A2 A3 A1
2
设导线Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的电流强度分别为I 1, I 2, I 3，产生的磁感应强度分别为B 1, B 2, B 3，相邻导线相距为a ，则
μI ⎫7μ⎛μI
F 1=I 1l 1B 2+I 1l 1B 3=I 1l 1 02+03⎪=0,
⎝2πa 2π⋅2a ⎭4πa
μI ⎫2μ⎛μI
F 2=I 2l 2B 3-I 2l 2B 1=I 2l 2 03-01⎪=0
⎝2πa 2πa ⎭πa
式中l 1=1m , l 2=1m , I 1=1A, I 2=2A, I 3=3A. 故F 1/F 2=7/8.
[ D ]2. (基础训练6) 两个同心圆线圈，大圆半径为R ，通有电流I 1；小圆半径为r ，通有电流I 2，方向如图．若r
大圆电流在圆心处的磁感应强度为B 1=
2
μ0πI 1I 2r 2
2R
(B)
μ0I 1I 2r 2
2R
． (C)
μ0πI 1I 2R 2
2r
I 1 I 2 (D) 0．
μ0I 1
2R
，方向垂直纸面朝内；小圆电流的磁矩为
所以，小圆电流受到的磁力矩为M =p m 2⨯B 1=0。 p m 2=I 2πr , 方向垂直纸面朝内，
[ B ]3.（基础训练7）两根载流直导线相互正交放置，如图11-29
y
所示．I 1沿y 轴的正方向，I 2沿z 轴负方向．若载流I 1的导线不能动，
I 1 载流I 2的导线可以自由运动，则载流
I 2的导线开始运动的趋势是x
I 2
(A) 沿x 方向平动． (B) 绕x 轴转动． z
(C) 绕y 轴转动． (D) 无法判断．
图11-29
【解析】
电流I 1在电流I 2所在处产生的磁场B 1的方向如图所示，根据安培力
F =⎰I 2dl ⨯B 1可知，导线I 2的AO 段受力方向垂直纸面朝外（沿y 轴正向），OB 段受力
方向垂直纸面朝内（沿y 轴负向），故载流I 2的导线开始运动的趋势是绕x 轴转动． [B ]5.（自测提高6）载有电流为I ，磁矩为P m 的线圈，置于磁感应强度为B 的均匀磁场中，若P m 与B 的方向相同，则通过线圈的磁通量Φ与线圈所受的磁力矩M 的大小为 (A) Φ=IBP m , M =0 (B) Φ=BP m /I , M =0
(C) Φ=IBP m , M =BP m (D) Φ=BP m /I , M =BP m 【解析】
p m 磁通量Φ=⎰⎰B ⋅ds =BS =B ；磁力矩M =p m ⨯B =0
I S
6. （基础训练14）如图11-33，在粗糙斜面上放有一长为l 的木制圆柱，
已知圆柱质量为m ，其上绕有N 匝导线，圆柱体的轴线位于导线回路平面内，整个装置处于磁感强度大小为B 、方向竖直向上的均匀磁场中．如果绕组的平面与斜面平行，则当通过回路的电流I =mg /(2NlB ) 时，圆柱体可以稳定在斜面上不滚动． 【解析】
图11-33
（1）圆柱体所受合力为零，所以有f =mg sin θ，式中的θ为斜面的倾角。
（2）以圆柱体的轴线为转轴，则圆柱体所受的合力矩为零。而合力矩=摩擦力矩和
磁力矩的矢量和，即Rf -p m B sin θ=0，式中的磁矩为p m =NI (2Rl ) ，联立上述三个
式子求解，即得答案。
4. （基础训练20）如图，一根载流导线被弯成半径为R 的1/4圆弧，放在磁感强度为B 的均匀磁场中，则载流导线ab 所受磁场的作用力的
，方向沿y 轴正向。 【解析】
B 图11-37
如图，电流从a 流向b 。F 弧ab =F 直线ab =IL ⨯B ，
⎛⎫
∴其大小=ILB =I 2R ⎪⎪B =, 方向沿y 轴正向。
⎝⎭
♫安培力做功A =I 2(Φm 2-Φm 1)
1．（基础训练24）一通有电流I 1 (方向如图) 的长直导线，旁边有一
个与它共面通有电流I 2 (方向如图) 每边长为a 的正方形线圈，线圈的一对边和长直导线平行，线圈的中心与长直导线间的距离为
3
a (如2
I 图) ，在维持它们的电流不变和保证共面的条件下，将它们的距离从
I 2
5
a 变为a ，求磁场对正方形线圈所做的功．
22
【解析】A =I 2(Φm 2-Φm 1)
μI
Φ=B ⋅d S =-⎰⎰01adr 其中 m ⎰⎰1
2πr
式中B 1为长直导线I 1产生的磁感应强度。
2a
3
所以 Φm 1=-⎰
μ0I 1a dr μI a ln 2
=-01
2πr 2πa
μ0I 1a ln
2π
3
Φm 2
μI a dr =-⎰01=-
2πr 2a
3a
2
μI I a 4∴A =012ln
2π3
2. （自测提高21）如图所示，两根相互绝缘的无限直导线1和2绞接于O 点，两导线间夹角为θ，通有相同的电流I ，试求单位长度导线所受磁力对O 点的力矩。 【解析】
如图，在导线1上距离O 点l 处取电流元Id l 作为受力分析的对象。
导线2在该处产生的磁场为B 2=
μ0I μ0I
=，方向垂直纸面朝外； 2π r 2π l sin θ
∴Idl 所受安培力为： dF =Idl ⨯B 2,
μ0I 2dl 其大小dF =IdlB 2=, 方向如图。
2π l sin θ
dF 对O 点的力矩为：dM =l ⨯dF ,
μ0I 2
其大小dM =dF ⋅l =⋅dl , 方向垂直纸面朝内。
2πsin θ
所以，单位长度导线所受合力矩的方向也是垂直纸面朝内，其大小为：
dM μ0I 2
M ==
dl 2πsin θ
μ0I 2
同理，导线2单位长度导线所受磁力对O 点的力矩M =，方向垂直纸面朝外。
2πsin θ
【附加题】
1. （自测提高23）半径为R 的半圆线圈ACD 通有电流I 2，置于电流为I 1的无限长直线电流的磁场中，直线电流I 1恰过半圆的直径，两导线相互绝缘．求半圆线圈受到长直线电流I 1的磁力． 【解析】
如图建立坐标系Oxy ； 长直导线所产生的磁场分布为： B =
A I 1D
C
2
μ0I 1
2πr
则在半圆线圈所在处各点产生的磁感强度大小为： B =
μ0I 1
2πR sin θ
， 方向垂直纸面向里，
式中θ 为场点至圆心的联线与y 轴的夹角。半圆线圈上电流元I 2d l 段所受的力为：
μ0I 1I 2
R d θ d F =I 2d l ⨯B =I 2B d l =
2πR sin θ
分解为
d F x =d F sin θ， d F y =d F cos θ 根据对称性知： F y =d F y =0，
π
⎰
F x =dF x =
⎰
μ0I 1I 2
2π
π=
μ0I 1I 2
2
O z a x
I
y
∴半圆线圈受I 1的磁力的大小为：F =
μ0I 1I 2
2
， 方向：垂直I 1向右。
2. （自测提高25）一矩形线圈边长分别为a =10 cm和b =5 cm，导线中电流为I = 2 A，此线圈可绕它的一边OO ＇转动，如图．当加上正y 方向的B =0.5
30B
T 均匀外磁场B ，且与线圈平面成30°角时，线圈的角加速度为β = 2 rad/s2，求∶
(1) 线圈对OO ＇轴的转动惯量J =？
(2) 线圈平面由初始位置转到与B 垂直时磁力所做的功？
-解：(1) S = ab =5×103 m 2， p m = SI =0.01 (A·m 2) ，
M =p m B sin 60︒= 4.33×10- 3 N ·m ， 根据M =J β，得J =
M
β
=2.16×103 kg ·m 2。
-
(2) 令从B 转到p m 的夹角为θ ，因为M 与角位移d θ 的正方向相反，所以功为
0︒
0︒
A =-M d θ=-
60︒
⎰
60︒
⎰
p m B sin θd θ=p m B (1-cos600) =2.5×103 J
-