素数的价值

素数的价值

02009219 刘通

巴厘梅修尔说：“数论可毫不费力地产生无数个问题，这些问题周围笼罩着清新和甜香的空气，迷人的花朵，还有„„数论周围也聚集了很多小虫，等待着伺机叮咬那些受花儿诱惑者，而一旦被叮咬，他们就会激动起来，去为数论做超常的努力！”

素数是数学中一个基本而重要的概念，它的起源几乎与数学本身一样的古老。这是一个充满了魔力的领域，它的神秘与复杂非但没有让人们束手就擒，反而引来了无数的学者对其发起充满趣味的挑战。这一挑战困难重重，然而收获颇多。以此问题为基础，人们建立了一套完美的数学理论体系，发展了许多新的数学领域，开启人类科学文明的新面貌。关于素数的价值，我们从以下方面进行分析：

一，素数

素数的概念我们从小学就开始有所接触：一个大于1的自然数，如果只能被1和自身整除，则称为素数。除了1和自身还能被其他自然数整除，则称为合数。那么正整数我们便分为1、素数和合数。素数是数论中一个基本元素，并且由于很难寻觅到规律，它又似乎是一个非统一的领域。既然如此，又为何将它视作基本元素，其研究价值和意义又何在呢？真的没有规律可寻吗？

人们研究素数的历史可以追溯到两千多年以前。自欧几里德把素数看作是数学中的原子，素数领域的研究便从此扩展开来。一批一批的科学家承前启后，乐此不疲。

欧几里德的《几何原本》对素数进行了详细的讨论，并给出了“素数有无穷多个”的证明，然而并不能找到一定的规律来描述这无穷多素数的排列情况。公元前250年古希腊科学家埃拉托塞尼创造了著名的古典筛法来寻找素数。费马提出了费马数，还有一类有名的梅森素数。寻找素数公式方面，欧拉开辟了二次多项式表示素数的新途径，并给出了一个有趣的多项式f(n)=n2+n+41。研究素数分布方面，狄里克雷给出了勒让德关于素数猜想的证明。此后又出现了孪生素数猜想，迄今尚未解决。高斯提出了Li(x)函数对素数的分布问题向前作出巨大推动，并由阿妈达和普桑作出了证明。黎曼零点的提出和他著名的黎曼猜想又奏响了一曲关于素数分布的神秘乐章，并引发了一大批数学家新的研究方向从而带来不断的突破。人们在素数研究上坎坷重重，但从未因此而怯步。由此看来，素数这个看似简单领域也有其独特的魅力。

自然我们又回到了出发点，素数是数论问题的基础，有着极其重要而独特的位置，其原因建立在如下一个重要的结论上：任何一个大于1的自然数都可以分解成几个素数连乘积的形式，而且这种分解是唯一的。这个结论被称为“初等数学基本定理”，由此可见其中心作用所在。

了解了素数概念和其地位以后，人们自然会从此出发来探索数学。然而这可并不是一个轻松的领域。从最基本的问题“素数的个数”、“素数的分布”来看，它又有着让人崩溃的“韧性”，让人难以捉摸。

关于其个数，我们知道欧几里德证明了素数数量的无限，便开始来寻找尽可能多的素数。公元前250年，利用筛法开始系统地寻找素数，构制了1000以内的素数表；1772年记录提高到400000；1914年美国数学家D.N.莫雷编订了著名的2到10006721素数表；1959年突破1亿大关。从以上数据可见，对素数寻找的工作一直没有停止过，人们从筛法到计算机的运用，历经几千年却依然引人入胜。

关于素数的分布，数学家们更是作出了许许多多非凡的努力，并不懈地探索着。

二，素数定理

我们看到素数行踪不定，让人难以捉摸，没有任何神奇的公式来告诉你哪些是素数。如果我们放弃细节处的变化，考虑整体，我们能否发现一些有价值的规律呢？

1798年法国数学家勒让德首先公布了自己的发现。在对素数的分布进行观察后，他得到一个素数分布定律：π（x）xlnxxlnx−1.08366。然而高斯早在15岁就观察到π（x）x1lnt。不久后高斯给出了一个更好的改进结果，Li(x)= 2

xlnxdt作为π（x）的估算公式。这一结果不仅形式上更加优美，而且结果也十分精确。其实高斯与勒让德的猜想都是表明，当x趋近无穷大时，π（x）~明，后来埃尔德什和赛尔博格又做出了初等证明。

可以说素数定理的提出和证明是人类对于素数研究一次伟大的突破。不光是寻找到了关于素数分布的一个奇妙的规律，也对数学家研究方向带来一定的启发。人们研究素数的视野由此阔大了，思维也打开了。另外，这一定理的成功论证给人们在素数研究以及对自然探索道路上带来了巨大的信心和憧憬。

三，哥德巴赫猜想

在素数领域，除此以外还有很多重要的猜想令人着迷。

1742年6月7日，德国数学家哥德巴赫在写给大数学家欧拉的信中提出了以下的猜想：

（1）任何一个大于4的偶数，都可以表示成两个奇素数之和；

（2）任何一个大于7的奇数，都可以表示成三个奇素数之和。

这就是著名的哥德巴赫猜想，显然它是一个关于素数性质的问题。欧拉在1742年6月30日的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明。

这道著名的数学难题引起了世界上成千上万的数学家关注。然而两个半世纪过去了任然没有得到彻底解决。而且，其实质性的进展还发生在20世纪的来临。

1920年，英国数学家哈代和李特尔伍德首先将他们创造的圆法应用于数论问题，哥德巴赫猜想研究长期停滞的问题出现了松动。1937年前苏联数学家维诺格拉多夫利用改进的圆法和自己创造的指数估计法证明了奇数哥德巴赫猜想，即每个充分大的奇数都是三个奇素数之和。

从1919年挪威数学家布朗用自己改进的筛法证明了“9+9”，数学家们开始研究命题“r+s”：每个充分大的偶数都是不超过r个素因子的乘积与不超过不超过s个素因子的乘积之和。此后半个世纪的时间里，数学家们利用各种改进的筛法逐步向“1+1”逼近。到1996年中国数学家陈景润证明了“1+2”，即陈氏定理，被认为“是筛法理论的光辉顶点”。

然而，到此似乎只有一步之遥却始终难以跨越。一个起初看似简简单单的关于素数的问题，却吸引着一批又一批的数学家，让他们苦思冥想中不断超越自我，各显神通。从最初欧拉的尝试证明到哈代、李特尔伍德将圆法与数论的结合，然后维诺格拉多夫的指数估计法，筛法以及筛法的一次又一次改进和创新，直到出神入化达“光辉顶点”！人们竭尽所能用着各种各样不断改进的方法不断尝试着前进，各种方法和理论被发展，数学界也不断注入新鲜的血液，这又似乎是一种隐形的力量在牵引。我们不得不钦佩素数的魅力，这个看起来再也简单不过的群体，杂乱无章又隐隐约约透露着无穷的奥妙。

尽管哥德巴赫猜想到现在仍没有解决，却极大地推动了20世纪解析数论的发展，围绕这一问题的解决所产生的强有力的方法，不光是数论，也是整个数学的宝贵财富！

四，黎曼假设——素数的音乐

1859年，德国数学家黎曼在其论文《论一个不大于给定值的素数个数》中，研究了黎曼—ζ函数，讲素数问题归结为对该函数的研究，提出了关于黎曼—ζ函数的六个猜

∞想，其中第五个猜想是：在带状区域0≤σ≤1中，黎曼—ζ函数ζ(s)= +n=1sn1

都位于直线σ=上。这就是至今未解决的著名的黎曼猜想，这是在素数研究领域上另一21个有重要意义的问题。

这一猜想自黎曼提出后，引导了解析数轮中许多重要发现，同时黎曼猜想联系着数论与函数领域一系列重要难题和猜想的解决，因而在现有的未解决猜想中占有重要地位。

1942年塞尔伯格利利用新的思想方法建立N0(T)与ζ(s)所有非平凡零点总数N(T)

的关系：N0(T) ≥cN(T)。显然又有N0(T) ≤N(T)，故若能证明c=1，则黎曼猜想得到肯

定解答。

黎曼猜想另一个途径是寻找数值反例，即通过大量计算来发现ζ(s)不在直线σ=12

上的零点。但迄今为止所有的计算都支持黎曼猜想的成立。

还有许多学者从其他角度研究ζ(s)的零点性质，得到了非常丰富而重要的结果，但离黎曼猜想最终解决尚远。

五，素数的价值

根据以上所述，我们对素数有了一个全面而系统的了解。我们对这个特别的领域不再是简简单单视之，而是带有了历史的深邃和未来的憧憬。如果把“哥德巴赫猜想”、“黎曼假设”等问题看作是会下金蛋的鹅，那么素数这个领域便是一个会产金蛋的养鹅场了！不仅是它的丰产，更是在于这个古老的话题永远不会随岁月的推进而落伍，它贯穿人类科学文明历史，将不断产出金蛋，带来新的认识。

在此，我们简单总结一下素数的价值：

1， 素数是算术原子，是数论的基本元素，它有着“初等数学的基本定理”。

2， 素数长达两千多年的研究历史中，创新和发展了很多数学分支，一次次突破中带来新的研究领域。素数的研究方法也广泛应用其他方面，作出非凡的贡献。素数研究壮大和装饰了数学王国。

3， 迄今为止，素数已经为我们打开了数学中看上去毫无联系的领域间的大门，数论、几何、代数、分析、逻辑、概率论、量子物理——所有这些都是在追寻黎曼假设等问题中被联系起来了。由此我们看到数学是一座统一和谐的大厦。

4， 素数的发杂程度给人们带来巨大思维和创新挑战，特别是素数的分布方面一些著名猜想，也因此挖掘无数杰出的数学家，他们不断的研究推动了整个数学的发展，也给人类在对未来探索中留下宝贵的经验财富。

5， 最后在追求真理的路上，素数的探索过程让我们看到了数学家们不畏艰辛，吃苦耐劳，勇于开拓，敢于创新的精神和对知识渴求的欲望。我们发现真理的证明总是要经历一定的挫折，而我们勇往直前就一定能带来收获。这个看起来棘手的问题也能被一次次攻克，给了我们巨大的勇气，敢于在未来的路上进一步突破！这样历史沉淀下来的精神财富更是可贵。

德国数学大师希尔伯特说：“正如人类每项事业都追求着确定目标一样，数学研究也需要自己的问题。正式通过这些问题的解决，研究者锻炼其钢铁意志，发展新方法和新观点，达到更为广阔和自由的境界。”把素数看作是我们数学“自己的问题”，那么这句话便精辟地说出了它的价值所在。

最后，让我们以希尔伯特的另一句名言来结束本文：“我们必须知道，我们必将知道。”

参考文献：

1．王修智，《数与形》，山东科学技术出版社，2007年4月第一版；

2．韩雪涛，《好的数学——下金蛋的数学问题》，湖南科学技术出版社，2009年7月第一版；

3．基思 ∙德夫林，《千年难题》，上海科技教育出版社，2006年11月第一版。

2010.11．24