[测试技术](第二版)课后习题答案-贾民平_
第一章 习 题(P29)
解:
(1) 瞬变信号-指数衰减振荡信号,其频谱具有连续性和衰减性。 (2) 准周期信号,因为各简谐成分的频率比为无理数,其频谱仍具有离散
性。
(3) 周期信号,因为各简谐成分的频率比为无理数,其频谱具有离散性、
谐波性和收敛性。
解:x(t)=sin2f0t的有效值(均方根值):
x
rms
12T012T0
1T0
T0
x
2
(t)dt
1T0
T0
sin12T0
2
2
2f0t dt
14f
T0
(1cos4f0t) dt
14f
(T0sin4f0t
T0
)
(T0sin4f0T0)1/
解:周期三角波的时域数学描述如下:
T02
t0
T02
2AAtT02A
tx(t)AT0
x(tnT0)
0t
(1)傅里叶级数的三角函数展开:
an
a0
1T02T04T0
T0/2
T0/2
x(t)dt
2T0
T0/2
(1
2T0
t)dt
12
T0/2
T0/2T0/2
x(t)cosn0tdt(1
2T0
t)cosn0tdt
2
n1,3,5,n2,4,6,
n0t
4n
2
sin
2
n
4n220
2
bn 2 n ,式中由于x(t)是偶函数,sinx(t)sintdt0
T0/2
T0
是奇函数,
T0/2
则x(t)sin
bn0。
n0t
也是奇函数,而奇函数在上下限对称区间上的积分等于0。故
因此,其三角函数展开式如下:
x(t)
12
4
2
n1
1n
2
cosn0t
12
4
2
n
n1
1
2
sin(n0t2)
(n=1, 3, 5, …)
其频谱如下图所示:
A
单边幅频谱 单边相频谱
(2)复指数展开式
复指数与三角函数展开式之间的关系如下:
C0A0a0Cn
12
2
2
12
12An=
12bnan
an )0
anbnImCnReCn
narctg
arctg(
ImCn
虚频谱
-50 -30 -0 0 30 50
n
双边相频谱
-50 -30 -0 0 30 50
解:该三角形窗函数是一非周期函数,其时域数学描述如下:
1
x(t)
1
2T02T0
tt
T02t0
T02
0t
00
用傅里叶变换求频谱。 X(f)
x(t)e
(1[
j2ft
dt
T0/2
T0/2
x(t)e
j2ft
dt
2T0
t)e
j2ft
T0/2
2T0
t)e
j2ft
dt
T0/2
(1
dt
j2ft
1j2f1j2f
T0/2
(12T0
2T0t)e
t)de
j2ft
T0/2
(1e
2T0
t)de]
{[(12t)e
j2ftT0/2
e
T0/2
j2ft
d(12T0
2T0
t)]
[(1
1
T0
j2ft0
T0/2
e
j2ft
T0/2
d(12T0
t)]}e
j2ft
j2f2
{[1
2T0
T0/2
j2ft
dt][1e
]
T0/2
dt]}
1j2f[e
j2fT0
121
2
2
[e
j2ftT0/2
j2ft0
T0/2
jfT0
fT0
2
11e
jfT0
]2sin
2
fT0
T0sin2
2
[1cosfT0]
1
fT0
2
fT0
2
22
fT0
T0sinc
fT0
解:
方法一,直接根据傅里叶变换定义来求。
X()
x(t)eee
at
jt
dt
jt
sin0te
j2(e
dte
j0t
(aj)t
j0t
)dt)dt
0
2jj[[
j
[e
(ajj0)t
e
(ajj0)t
e
(ajj0)t
2(ajj0)
1
2aj(0)
0
e1
(ajj0)t
(ajj0)
]
]
aj(0)
0
a0
2
2
2
j2a
方法二,根据傅里叶变换的频移特性来求。 单边指数衰减函数:
0
f(t)at
e
t0a0,
t0
其傅里叶变换为
F()
f(t)ee
at
jt
dtdt
0at
e
jt
ee
jt
(aj)0
1(aj)a
2
aj
2
F()
1a
2
2
()arctg
a
根据频移特性可求得该指数衰减振荡函数的频谱如下:
X()FT[f(t)sin0t]1[
1
12j1aj(0)
[F(0)F(0)]
2jaj(0)
0
a0
2
2
2
j2a
根据频移特性得下列频谱
解:利用频移特性来求,具体思路如下:
A/2
A/2
当f0
解:
x(t)w(t)cos0t
FT[cos0t]
2T
由于窗函数的频谱 W()2Tsinc(T),所以
X()
12
[W(0)W(0)]
T[sinc(0)Tsinc(0)T]
其频谱图如上图所示。
解:
x1T01T0
1T0
T0
x(t)dt
[
T0/2
sin2f0dt
T0/20
T0
T0/2
(sin2f0)dt]
[cos2f0t
cos2f0t
T0
T0/2
]
2/
2x
(xrms)1
2
1T0
T0
x(t)dt
2
T01
T0
sin
T0
2
2f0t dt
2T012T0
(1cos4f0t) dt
14f0
sin4f0t
T00
)
(T0
1/2
=
60sin502解: xRx(0)lim()sin(50)lim3000()3000
0
0
50
-
解:
Rx()limlim
2
T
T
T
x(t)x(t)dt
a(t)
T
T
Ae
at
Aedt
AlimA(A
22
T
T
e
2at
e
a
dt
12a
)e
a
e
2at
2a
e
a
解:
对于周期信号可用一个Rx()=1
1T
2
周期代替其整体,故有
T
x(t)x(t)dt
T0
式中,T是余弦函数的周期,令t=代入上式,则得
T
Acos(t)cos[(t)]dt
T=2/
12
Acos
2
Rx()=
A
2
2
2
coscos[+]d =
若x(t)为正弦信号时,Rx()结果相同。
解:
S=S1S2S3=80nc/MPa×0.005V/nc×25mm/V=10 mm/ MPa △P=△x/S=30mm/10(mm/ MPa)=3 MPa
解:
S=S1S2=404×10-4Pc/Pa×0.226mV/Pc=9.13×10-3mV/Pa S2=S/S1=
1010mV/Pa40410
-46
Pc/Pa
= 2.48×108mV/Pc
解: =2s, T=150s,
300-0.9965×100=200.35℃ 300+0.9965×100=399.65℃ 故温度变化范围在200.35~399.65℃.
A()
1()
2
=2π/T
1(4/150)
2
0.9965
解: =15s, T=30/5=6s,
A()
1()
2
=2π/T
1
0.0635
(152/6)
2
h高度处的实际温度t=t0-h*0.15/30
而在h高度处温度计所记录的温度t‘=A()t=A()(t0-h*0.15/30) 由于在3000m高度温度计所记录的温度为-1℃,所以有
-1= A()(t0-3000*0.15/30) 求得 t0=-0.75℃
当实际温度为t=-1℃时,其真实高度可由下式求得:
t=t0-h*0.15/30,h=(t0- t)/0.005=(-0.75+1)/0.005=50m
解: (1)
A()1A()1
1()
2
1
1
(1002)
2
10%
则 (2)
A()1A()1
≤7.71×10-4 S
1()
2
1
1
(5027.7110
4
)
2
2.81%
()= arctg = -arctg(5027.71104)= -13.62°
解:
=0.04 S,
A()1A()1
1()
2
1
1(2f)
2
(1)当f=0.5Hz时,
A()1A()1
1()
2
1
1
(20.50.04)
2
0.78%
(2)当f=1Hz时,
A()1A()1
1()
2
1
1
(210.04)
2
3.02%
(3)当f=2Hz时,
A()1A()1
1()
2
1
1
(220.04)
2
10.65%
解:=0.0025 S
A()1A()1
1()
2
1
1(0.0025)
2
5%
则 <131.5(弧度/s) 或 f</2π=20.9 Hz
相位差:()= arctg = -arctg(131.50.0025) = -18.20°
解:fn=800Hz, =0.14, f=400 n
f/fn400/8000.5
A()H()
1
1
1
2
n
2
2
4
2
n
2
10.5
2
2
1.31
2
40.140.5
()arctg
2n1n
2
arctg
20.140.510.5
2
10.57
4-9
解: 由 得
S
C
C0
0
2
0A0
2
C
0A0
18.8510(F)4.9410
12
4(110
26
)/0.3
2
4.9410
153
(PF)
3
变化格数
S1S2C1005(4.9410
)2.47(格)
4-10
解:
Q
U0
QC
QCaCc
1CaCc
由Su=U0/a , Sq=Q/a 得:Su/ Sq =U0/Q=
解: (1)半桥单臂
当=2时,u0
uo14
R04R0
-6
ui
14
Sui
221014
2=2v
2200010
-6
当=2000时,u0
2=2mv
(2)半桥双臂
当=2时,u0
uo12
R02R0
ui
-6
12
Sui
221012
2=4v
2200010
-6
当=2000时,u0
2=4mv
S单
u0R0/R0
14
ui0.5(V),S
双
u0R0/R0
12
ui1(V)
半桥双臂是半桥单臂灵敏度的两倍。
解:均不能提高灵敏度,因为半桥双臂灵敏度Su0/(与桥臂上应变片数无关。
RR)
12ui
,与供桥电压成正比,
解:
由已知:(t)Acos10tBcos100t,u0Esin10000t得全桥输出电压:
uy
RR
u0Su0SE(t)sin10000t
=SE(Acos10tBcos100t)sin10000t根据
x(t)y(t)X(f)*Y(f)
sin2f0t
j2
[(ff0)(ff0)]j
[X(f)(ff0)X(f)(ff0)]
2
得电桥输入和输出信号的傅里叶变换:
(f)
A2A2
[(ff01)(ff01)][(f
102
)(f
102)]
x(t)sin2f0t
B2
[(ff02)(ff02)][(f
1002
)(f
1002
)]
B2
0电桥输出信号的频谱,可以看成是(t)的频谱移动到±f0处。
电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。
本量题也可用三角函数的积化和差公式来计算:
由已知:(t)Acos10tBcos100t,u0Esin10000t得全桥输出电压:uy
RR
u0Su0SE(t)sin10000t
=SE(Acos10tBcos100t)sin10000t
SEAsin10000tcos10tSEBsin10000tcos100t
12
SEA[sin(1000010)tsin(1000010)t]
12
12
SEB[sin(10000100)tsin(10000100)t]
12
[注:
sincos[sin()sin()], coscos[cos()cos()]
cos()=coscos
sinsin, sin()=sincoscossin
解:调幅波中所包含的各分量的频率及幅值大小:
xa(t)(10030cos2f1t20cos6f1t)cos2fct
100cos2fct30cos2f1cos2fct20cos6f1tcos2fct 100cos2fct15[cos2(fcf1)tcos2(fcf1)t] 10[cos2(fc3f1)tcos2(fc3f1)t]
调制信号与调幅波的频谱分别如下图所示。
ReX(f)
10 -1.5
15 -0.5
100
15
10 1.5
f (kHz)
0.5
f (kHz)
解:
1)各环节输出信号的时域波形图如下:
t
2
信号的调制: sin2f0t
x(t)sin2f0tj2
j2
j2
[(ff0)(ff0)]
[X(f)(ff0)X(f)(ff0)]
[X(ff0)X(ff0)]
信号的解调:
x(t)sin2f0tsin2f0t
12
x(t)
12
x(t)cos4f0t
x(t)sin2f0tsin2f0tF[x(t)sin2f0t]F[sin2f0t]j214
[X(ff0)X(ff0)]
j2
[(ff0)(ff0)]
[2X(f)X(f2f0)X(f2f0)]
解:
uy(t)
R4R0
u0
14
cos2ftsin2f0t
根据
x(t)y(t)X(f)*Y(f)
sin2f0t
j2
[(ff0)(ff0)]j
[X(f)(ff0)X(f)(ff0)]
2
得电桥输出电压的傅里叶变换:
Uy(f)
14R0j8R0
x(t)sin2f0t
FT[R(t)sin2f0t]
[R(t)(ff0)R(t))(ff0)]
电桥输出信号的频谱,可以看成是R(t)的频谱移动到±f0处。 电桥输入与输出信号的频谱图如下图所示。
附 注:常用公式
常用三角函数公式:
sincos
12
[sin()sin()], coscos
12
[cos()cos()]
cos()=coscossinsin, sin()=sincoscossin
(1)傅里叶级数的三角函数展开:
x(
t)a0
An
n12
(ancosn0tbnsinnt)A
2
Asin(nt)
anbn
)
narctg(
anbn
(2)三角函数是正交函数
t0T1
t0
cosn1t.sinm1t.dt0
t0T1
t0
T21
sinn1tsinm1tdt
0T21
cosn1tcosm1tdt
0
(mn)(mn)(mn)(mn)
t0T1
t0
(3)欧拉公式
e
jn0t
cosn0tjsinn0t
12j2(e(e
jn0t
cosn0tsinn0t
ee
jn0t
))
jn0tjn0t
(4)傅里叶级数的复指数展开:
x(t)C0
n1
(Cne
jn0t
Cne
jn0t
)
n
Cne
jn0t
CnReCnjImCnCne
Cn
(ReCn)(ImCn)
2
2
jn
narctg
ImCnReCn
(5)复指数与三角函数展开式之间的关系如下:
(6)δ函数的部分性质:
x(t)(t
)x(t)
x(t)(tt0)x(tt0)
X(f)(f)X(f)
X(f)(ff0)X(ff0)
(tt0)e
e
j2
f0t
j2ft0
(ff0)
(7)正余弦信号的频谱
x(t)y(t)X(f)*Y(f)
sin2f0tcos2f0t
j212
[(ff0)(ff0)][(ff0)(ff0)]
x(t)sin2f0t
j2
1
[X(f)(ff0)X(f)(ff0)]
j21
[X(ff0)X(ff0)]
x(t)cos2f0t
2
[X(f)(ff0)X(f)(ff0)]
12
12
2
[X(ff0)X(ff0)]
[1x(t)]cos2f0t[(ff0)(ff0)][X(ff0)X(ff0)]
(8)傅里叶变换对:
()
x(t)
或
1
x(t)e
jt
dt
jt
2
X()ed
X(f)x(t)
x(t)e
j2ft
dtdf
X(f)e
j2ft
x(t)
IFT
X()
(9)对周期信号有:
均值:x绝对均值:
1T0
T0
x(t)dt1T0
x
T0
x(t)dt
1T0
2
T0
有效值(均方根值):
2x
2
xrms1T0
x(t)dt
2
均方值:
(xrms)
T0
x(t)dt
(10)随机信号的均值x、方差x、均方值x
均值(数学期望)――常值(稳定)分量
1T
xlim0x(t)dtE[x]
TT
22
其中x(t)为样本函数,T为观测的时间历程。 方差--波动分量
2x
1T22
limx(t)dtEx(t)0xxTT
方差的正平方根称为标准差。
均方值――随机信号的强度 1T222
xlim0x(t)dtE[x(t)]
TT
均方值的正平方根称为均方根值。
xxx
当x=0时,xx
2
2
222
(10)自(互)相关函数、相关系数
Rx()lim
T
T
T
x(t)x(t)dt
相关系数 xy()
xy
y
x
E[(xx)(yy)]E(xx)E(yy)
2
2
x()
T
lim
11
T0
[x(t)x][x(t)x]dt
T
2x
lim
T0
x(t)x(t)dt
2x
Rx()lim
2x
1T
自相关函数
T
T0
x(t)x(t)dt
x()
Rx()x
2
x
2
周期信号:
Rx()
1T
T0
x(t)x(t)dt
非周期信号:
自相关函数的性质:
Rx()
x(t)x(t)dt
自相关函数为实偶函数 Rx()Rx()
互相关函数
Rx(0)lim
2
2
12T
T
T
T
x(t)dt
2
2
2x
x
2
xxRx()xx
Rx()x
2
2
x()0
周期函数的自相关函数仍为同频率的周期函数
Rxy()lim
lim
1T
T
T
x(t)y(t)dt
11xy()
T
T
[(x(t)x)(y(t)x)]dt
x
T
y
Rxy()xy
lim
T
x(t)y(t)dtxy
x
y
x
y
随机信号的自功率谱密度函数(自谱)为:
Sx(f)
其逆变换为
Rx()e
j2f
d
i2f
Rx()
两随机信号的互功率谱密度函数(互谱)为:
Sx(f)e
df
Sx(f)
Rx()e
j2f
dSx(f)e
i2f
其逆变换为
Rx()
df
2
自功率谱密度函数 Sx(f)和幅值谱 X(f) 或 |X(f)| 能谱之间的关系
Sxlim
12T
T
X
f
2
单边谱和双边谱
Gx(f)2Sx(f)
|X(f)|及系统频率响应函数H(f)的关系 自功率谱密度 Sx(f)与幅值谱
H(f)
Y(f)X(f)
X(f)X(f)
Sxy(f)Sxx(f)
Gxy(f)Gxx(f)
H(f)
Sy(f)
Sx(f)
输入/输出自功率谱密度函数与系统频率响应函数关系
Sy(f)|H(f)|Sx(f)
2
Gy(f)|H(f)|Gx(f)
2
单输入、单输出的理想线性系统
Sxy(f)H(f)Sx(f)