数学归纳法经典例题详解

例1．用数学归纳法证明：

1111n ． +++ +=2n -12n +12n +11⨯33⨯55⨯7

请读者分析下面的证法：

证明：①n =1时，左边=1111=，右边==，左边=右边，等式成立． 1⨯332+13

②假设n =k 时，等式成立，即：

1111k +++ +=． 2k -12k +12k +11⨯33⨯55⨯7

那么当n =k +1时，有：

11111+++ ++ 2k -12k +12k +12k +31⨯33⨯55⨯7

=1⎡⎛1⎫⎛11⎫⎛11⎫1⎫⎛11⎫⎤⎛11-+-+-+ +-+- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎥ 2⎢335572k -12k +12k +12k +3⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎦⎣⎝

1⎛1⎫12k +2 1- ⎪=⋅2⎝2k +3⎭22k +3

k +1k +1= 2k +32k +1+1==

这就是说，当n =k +1时，等式亦成立．

由①、②可知，对一切自然数n 等式成立．

评述：上面用数学归纳法进行证明的方法是错误的，这是一种假证，假就假在没有利用归纳假设n =k 这一步，当n =k +1时，而是用拆项法推出来的，这样归纳假设起到作用，不符合数学归纳法的要求．

正确方法是：当n =k +1时．

11111+++ ++ 2k -12k +12k +12k +31⨯33⨯55⨯7

=k 1+ 2k +12k +12k +3(2k +1)(k +1) 2k 2+3k +1==2k +12k +32k +12k +3

=k +1k +1 =2k +32k +1+1

这就说明，当n =k +1时，等式亦成立，

例2．是否存在一个等差数列{a n }，使得对任何自然数n ，等式：

a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)

都成立，并证明你的结论．

分析：采用由特殊到一般的思维方法，先令n =1，2，3时找出来{a n }，然后再证明一般性． 解：将n =1，2，3分别代入等式得方程组．

⎧a 1=6⎪， ⎨a 1+2a 2=24

⎪a +2a +3a =6023⎩1

解得a 1=6，a 2=9，a 3=12，则d =3．

故存在一个等差数列a n =3n +3，当n =1，2，3时，已知等式成立．

下面用数学归纳法证明存在一个等差数列a n =3n +3，对大于3的自然数，等式

a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．

因为起始值已证，可证第二步骤．

假设n =k 时，等式成立，即

a 1+2a 2+3a 3+…+ka k =k (k +1)(k +2)

那么当n =k +1时，

a 1+2a 2+3a 3+…+ka k +(k +1)a k +1

= k(k +1)(k +2)+ (k +1)[3(k +1)+3]

=(k +1)(k 2+2k +3k +6)

=(k +1)(k +2)(k +3)

=(k +1)[(k +1)+1][(k +1)+2]

这就是说，当n =k +1时，也存在一个等差数列a n =3n +3使a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)成立． 综合上述，可知存在一个等差数列a n =3n +3，对任何自然数n ，等式a 1+2a 2+3a 3+…+na n =n (n +1)(n +2)都成立．

例3．证明不等式1+1

2+1

3+ +1

n

证明：①当n =1时，左边=1，右边=2．

左边

②假设n =k 时，不等式成立，即1+1

2+1

3+ +1

k

那么当n =k +1时，

1+1

2+1

3+ +1

k +1

k +1

k +1=2k k +1+1

k +1

2(k +1)

k +1

k +1==2k +1

这就是说，当n =k +1时，不等式成立．

由①、②可知，原不等式对任意自然数n 都成立．

说明：这里要注意，当n =k +1时，要证的目标是

1+1

2+1

3

1+ +1k +1k +1

认识了这个目标，于是就可朝这个目标证下去，并进行有关的变形，达到这个目标．

例4．已知数列{a n }满足a 1=0，a 2=1，当n ∈N 时，a n +2=a n +1+a n ．

求证：数列{a n }的第4m +1项(m ∈N ) 能被3整除．

分析：本题由a n +1=a n +1+a n 求出通项公式是比较困难的，因此可考虑用数学归纳法．

①当m =1时，a 4m +1=a 5=a 4+a 3=(a 3+a 2)+(a 2+a 1)=a 2+a 1+a 2+a 2+a 1=3，能被3整除．

②当m =k 时，a 4k +1能被3整除，那么当n =k +1时，

a 4(k +1)+1=a 4k +5=a 4k +4+a 4k +3

=a 4k +3+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1

=a 4k +2+a 4k +1+a 4k +2+a 4k +2+a 4k +1

=3a 4k +2+2a 4k +1

由假设a 4k +1能被3整除，又3a 4k +2能被3整除，故3a 4k +2+2a 4k +1能被3整除．

因此，当m =k +1时，a 4(k +1)+1也能被3整除．

由①、②可知，对一切自然数m ∈N ，数列{a n }中的第4m +1项都能被3整除．

例5．n 个半圆的圆心在同一条直线l 上，这n 个半圆每两个都相交，且都在直线l 的同侧，问这些半圆被所有的交点最多分成多少段圆弧？

分析：设这些半圆最多互相分成f (n ) 段圆弧，采用由特殊到一般的方法，进行猜想和论证．

当n =2时，由图(1)．两个半圆交于一点，则分成4段圆弧，故f (2)=4=22．

当n =3时，由图(2)．三个半径交于三点，则分成9段圆弧，故f (3)=9=32．

由n =4时，由图(3)．三个半圆交于6点，则分成16段圆弧，故f (4)=16=42．

由此猜想满足条件的n 个半圆互相分成圆弧段有f (n )=n 2．

用数学归纳法证明如下：

①当n =2时，上面已证．

②设n =k 时，f (k )=k 2，那么当n =k +1时，第k +1个半圆与原k 个半圆均相交，为获得最多圆弧，任意三个半圆不能交于一点，所以第k +1个半圆把原k 个半圆中的每一个半圆中的一段弧分成两段弧，这样就多出k 条圆弧；另外原k 个半圆把第k +1个半圆分成k +1段，这样又多出了k +1段圆弧．

∴ f (k +1)=k 2+k +(k +1)

=k 2+2k +1=(k +1)2

∴ 满足条件的k +1个半圆被所有的交点最多分成(k +1)2段圆弧．

由①、②可知，满足条件的n 个半圆被所有的交点最多分成n 2段圆弧．

说明：这里要注意；增加一个半圆时，圆弧段增加了多少条？可以从f (2)=4，f (3)=f (2)+2+3，f (4)=f

(3)+3+4中发现规律：f (k +1)=f (k )+k +(k +1)．