学科教学法十个问题

1. 数学教育研究关注的问题与研究采用的方法有哪些？（马小璐）

答：研究的基本问题：课程问题（教什么），教学问题(怎么教) ，学习问题（怎么学） 研究的热点问题：1960~1970年代，教育体制、课程、教学经验、课程实验，定量研究时髦；1970后期，个案研究，小型定性研究开始流行；1980年代至今，学生认知研究热；1990年代至今，国际比较研究、教师教育热。

拓展：

(1)课程问题：教什么，怎么呈现

(2)教师教育问题; 如何做好老师的职前和在职培训。

(3)学习问题：怎么学，真实的学习过程和学习结果是怎眼繁荣的，导致错误的因素和机制是什么，概念是如何形成的，如何培养学生问题解决的良好行为和策略，认知发展的结构和过程是怎样的，学习数学的情感问题，学生对数学的看法等等。

(4)课堂教学问题：课堂上怎么教，师生之间、生生之间如何相互影响和交流的

(5)社会、文化、语言问题：社会经济，科技，政治，文化，性别，宗教，母语，习惯，传统，民族教学，日常数学等等方面对数学教育的影响。

(6)评价问题：课堂内外的评价以及应该如何评价。

数学教育研究关注过符号化和形式化，问题解决，应用和建模，证明和论证，各个学习领域（代数几何，微积分，概率统计）的教与学的各个教育层次（从学前到研究生）的教学教育问题。

研究采用的方法：（1）文献研究; （2）问卷测试; （3）深度访谈; （4）教学实验; （5）观察

2. 弗赖登塔尔、波利亚、匈菲尔德、斯根普、Van Hiele等数学教育家的理论是如何指导教学实践的？（李荣姣）

答：费赖登塔尔：现实、数学化、再创造“数学教育方法的核心是学生的再创造. 教师不应该把数学当作一个已经完成了的形式理论来教，不应该将各种定义、规则、算法灌输给学生，而是应该创造合适的条件，让学生在学习数学的过程中，用自己的体验，用自己的思维方式，重新创造有关的数学知识. ”

1) 情境问题是教学的平台2）数学化是数学教育的目标3）学生通过自己的努力得到

的结论和创造是教育内容的一部分4）“互动”是主要的学习方式5）学科交织是数学教育内容的呈现方式教师应该充分利用学生的认知规律、已有的生活经验和数学实际，灵活处理教材，根据实际需要对原材料进行优化组合。使课本成为学生自己去“发现”一些已有数学结果的辅导书。通过一个充满探索的过程去学习数学，让已存在与学生头脑中的那些非正规的数学知识和数学体验上升发展为科学的结论，从中感受数学发现的乐趣，增进学好数学的信心，形成应用意识、创新意识、从而道道素质教育的目的。教师要引导和帮助学生去进行再创造的工作

波利亚：“教会学生思考”

教师在教学时，要遵循学习过程的三个原则，即主动学习，最佳动机，循序渐进。教师要对自己的科目有兴趣；熟知自己的科目；懂得学习的途径，学习任何东西的最佳途径是亲自独立地发现其中的奥妙；努力观察学生的面部表情，察觉他们的期望和困难，设身处地地为学生考虑；不仅要传授知识，还要传授技能技巧，培养思维方式及科学的工作习惯；让学生学会猜想问题、证明问题；从手头上的题目中寻找出一些可能用于解今后题目的特征，揭示出存在与具体情况下的一般模式；不要把自己的全部秘诀一下子到给学生，让他蒙猜测一

番，然后再讲给他们听，让他们独立第找出尽可能多的东西；启发问题，而不要填鸭式地塞给学生。 匈菲尔德：

匈菲尔德在“数学问题解决”一书中，提出了问题解决思维能力的四个要素：1、认识的资源，是指解题者所具有的与问题有关的数学知识。2、发现式的解题策略，指解决非常规和非标准化问题时所用的策略和技巧。3、控制，指对资源和策略的选择和执行作出相关的决定，即对解题过程的监控 。4、信念系统，是指解题者对数学本质及如何思考的总体看法。 斯根普：

斯根普主要思想：“数学学习中的智力运作”，“学生学习数学采用机械化反复学习是不会成功的，必须促使他们将自己的智力运作在学习上而得到增长才是成功的教法”，“学生的错误应该视为学习过程的潜在助益，而非罪恶”，“务必要位学生准备提供自信的学习环境”，“不要太快进入一个接一个的探索区域，留点儿时间让学生巩固刚吸收的既知区域”，“多留点时间让学生运用自己的反射智慧”等恰是我们今天的数学教学中必须关注的问题。另外，他的实践理论“对智慧学习最有助益的上课方式该算小组教学，可以设计一些隐含数学概念的游戏或互助合作的学习方式，重点是激发讨论、互助、解释，以及产生共享的数学经验”也是在新课标改革中的一个课题。

Van Hiele的几何思维五水平理论：直观，分析，抽象，演绎，严谨

直观 其特征是学生借助直观，笼统地从整体外观上接受图形概念，并不理解其构造、关系，也不进行比较．

分析 其特征是学生开始识别图形的构造，互相之间的关系，也能借助于观察、作图等方法非正式地建立起同类图形的许多性质，但并未掌握其间的必然联系． 抽象 其特征是学生形成了抽象的定义，也能建立图形概念与性质之间的逻辑次序，但尚未对演绎的实质含义形成清晰的观念．

演绎 其特征是学生抓住了整个的演绎体系，能在以不定义的基本关系和公理为基础的数学体系内，在定义、定理之间进行形式推理，理解构造和发展整个体系的逻辑结构，能理解并分析相互之间的逻辑关系。

严谨 其特征是学生领会了现代公理系统的严密性，对于几何对象的具体性质以及几何关系的具体含义都可以不作解释，而是完全抽象地建立一般化的几何理论，这实质上已经将几何提高到一个广泛应用的领域．

范希尔理论的应用

1. 评价方面：编制范希尔几何思维水平测试卷，测量我国学生的几何思维水平并进行差异性分析；

2. 课程方面：按照学生实际的几何思维水平，确定教学目标、内容和顺序；

3. 教学方面：根据学生所在的几何思维水平的特征进行针对性的教学，帮助学生从较低层次过渡到较高层次。

4. 研究方面：确定其他数学教学内容的思维层次，如代数，概率、统计等。 3、数学教育的目的是什么？什么是＂四基＂？中学数学常见的数学思想和方法有什么？数学教学的原则有哪些？（全俏琳）

（1） 数学教育的目的：

通过义务教育阶段的数学学习，使学生能够

1） 获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动

经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能；

2） 初步学会运用数学的思维方式去观察、分析现实社会，去解决日常生活中和其他学科学

习中的问题，增强应用数学的意识；

3） 体会数学与自然及人类社会的密切联系，了解数学的价值，增进对数学的理解和学好数

学的信心；

4） 具有初步的创新精神和实践能力，在情感态度和一般能力方面都能得到充分发展。

应该属数学教育目标是一个“与时俱进”的、动态的、变化着的研究课题。

（2） ＂四基＂：基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。

（3） 常见思想和方法：

数学思想：

数学化、实验、归纳、类比、演绎、递推、整体和分类、转化与变换、数形结合、代数思想、解析几何思想、统计思想、集合思想、函数思想、方程思想、极限思想、逼近思想、最优化思想、参数思想 数学方法：

逻辑学中的方法。例如分析法、综合法、反证法、归纳法、穷举法等。

数学中的一般方法。例如建模法、消元法、降次法、代入法、图像法、向量法、比较法、放缩法、同一法、数学归纳法等。

数学中的特殊方法。例如配方法、待定系数法、公式法、换元法、拆项补项法、设而不求法、因式分解诸方法等。（第四讲倒数第二张PPT ）

（4）数学教学的原则：“严谨性与量力性相结合”、“抽象与具体相结合”、“理论与实际相结合”、“巩固与发展相结合”；“学习数学化”、“适度形式化”、“问题驱动”、“渗透数学思想方法”

学习数学化：在课堂教学上正确设定教学目标，突出所教内容的数学本质，现实课程所具有的数学价值。

适度形式化：

问题驱动：既要让学生会解常规问题，也能解决非常规问题，在解决问题的过程中学习数学。

渗透数学思想方法：在数学教学中注意内容的彼此关联，努力渗透并提炼数学思想方法。

4. 不同数学教学模式的优点和缺点是什么？怎样在具体教学实施过程中扬长避短？（薛鸿究）

答：1）讲授式教学模式

优点：教师能在单位时间里向同学迅速传递较多的知识。

缺点：只是讲授者单方面的活动，听讲者不能参与，相对处于被动地位。局限性很大，对于年龄较小的学生来说，效果尤其不好。

2）讨论式教学模式

优点：在教学中教师和学生的角色发生了转变，学生由知识的被动接受者变成了某种程度知识的构建者。

缺点：可能走向极端，把“满堂灌”变成“满堂问”，学生依然缺乏自主思考得时间，效果同样不好。

3）学生活动式教学模式

优点：注重直观性，容易提高学生的学习兴趣，通常更适用于较低学段或者是某些较为抽象的数学概念或定理的教学。

缺点：由于所花时间较多，容易使学生过于关注活动的外在形式，竞争的输赢，忽视活动本身蕴涵着的数学内容，不宜在教学中频繁使用

4）探究式教学模式

优点：使学生体验数学再创造的思维过程，培养了创新意识和科学精神。

5）发现式教学模式

优点：能使学生在发现中产生“兴奋感”，从“化意外性和复杂性为可预料性和简单性”的行动中获得理智地满足，同时获得具有“迁移性”的数学能力，达到举一反三的效果。 缺点：主要用于一些思维价值较高的课例教学中，只适合在程度较好的班级中实施，而不宜在程度较差的班级中采用。不宜频繁使用。

5. 熟悉全国《普通高中数学课程标准（实验）》的基本理念、结构框架和内容的增删。（孟维谦）

课程的基本理念 ：

1．构建共同基础，提供发展平台

2．提供多样课程，适应个性选择

3．倡导积极主动、勇于探索的学习方式

4．注重提高学生的数学思维能力

5．发展学生的数学应用意识

6．与时俱进地认识“双基”

7．强调本质，注意适度形式化

8．体现数学的文化价值

9．注重信息技术与数学课程的整合

10．建立合理、科学的评价体系

结构框架：

内容的增删：

增：注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模型、探索数量关系和变化规律的过程，重视发展学生的数感和符号感；重视口算，加强估算，提倡算法多样化，强调用计算器来进行复杂的运算并探索规律；重视引导学生运用所学知识和技能解决实际问题。 算法、概率统计、向量、微积分成为必修内容。

删：不独立设置“应用题”单元，取消对应用题的人为分类删除无理方程、可化为一元二次方程的分式方程和二元二次方程组、三元一次方程组；有理数的混合运算不超过三步；削弱根式的运算。二次曲线，复数， 不等式，综合立体几何，函数中的反函数，值域。

综述：“拓宽内容，降低难度；保持精华，去除枝蔓”。

6、数学概念教学的两种基本形式是什么？主要区别在哪里？（赵威）

1）概念形成：逐渐发现概念属性的方式。（正反例+反馈修正）

2中的概念的 本质特征的学习模式。（系统化）

概念形成的过程：

观察实例→分析共同属性→抽象本质属性→验证和调整→概括定义→具体运用；

概念同化的过程：

复习已有相关概念或经验→教师呈现新概念的定义→讨论特例→新旧概念联系→正反例辨认→具体运用；

主要区别：概念形成主要依靠对具体事物的抽象，通过对正反例证的不断辨析，提出假设并进行检验，最后发现概念的本质属性；而概念同化主要依靠对新旧知识的联系，判别需要学习的概念与原有认知结构中有关概念的异同，并组成概念的系统。

7. 完整的数学概念学习和命题学习过程有哪些环节？概念教学与命题教学在选取例题时会有共同的取向，如采取变式，但也有各自不同的偏重，为什么？（王聪慧）

. 数学概念主要有两种形式：概念形成和概念同化。其中概念形成的主要环节：观察实例——分析共同属性——抽象本质属性——验证和调整——概括定义——具体运用。 概念同化的主要环节有：复习已有的概念或经验——老师呈现新概念的定义——讨论特例——新旧概念联系——正反例辨认——具体运用。

命题学习的环节：1. 了解命题的由来，解决什么问题2. 认识命题的含义，认识命题的条件和结论，如在公式推导过程中对条件引起注意，通过对结论从结构，功能，性质，使用步骤等角度分析以加深印象和理解。3. 懂得命题的证明：学生与老师一起研究证明方法，如不需证明，学生根据老师提供的材料体会命题规定的合理性。4. 熟悉命题的使用。循序渐进地应用命题，将命题纳入到已有的知识体系中去。5. 引申和拓广命题，整理命题系统。 选取例题时候会有共同取向也有各自不同偏重，是因为：命题教学和概念教学的基本精神是相同的，但它有自己的特点，那就是更加重视从逻辑上去论证或分析，更加重视证明和运用，寻求多角度去讲道理。而概念学习选择例题时要关注新学概念与相近概念的区别，一般要多使用不同概念的表达。

8. 实施问题解决的教学时，需要提供好的问题。收集一些好的数学问题并描述它们的特征。（史晓春 原阳光）

答： 一个好问题必须：1、是容易接受的（不需要大量的技巧）；2、有多种解题方法（或者至少有多种思路）；3、蕴涵了重要的数学思想（好的数学）；4、不故设陷阱(通性通法) ；5、可以进一步开展和一般化（导致丰富的数学探索活动） ----------匈菲尔德

以下分析仅为个人观点，仅供参考

问题一：

下图是由16个边长为1的正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段。

本题不需要什么特别的技巧，而且只是作图，没有计算，又比较新颖，会吸引同学们；在解决这个问题的时候有很多种解题方法，作图的方法很多；其中蕴含了数形结合的数学思想；而且该题还可以进一步展开，比如加一个条件“所做的线段且不与图中的方格线平行” 问题二：

有一长方形餐厅，长10米，宽7米，现只摆放两套同样大小的圆桌和椅子，一套圆桌和椅子占据的地面部分可看成半径为1.5米的圆形（如左下图所示）。在保证通道最狭窄的宽度不小于0.5米的前提下，此餐厅能否摆下三套或四套同样大小圆桌和椅子呢？请在摆放三套或四套的两种方案中选取一种，在右下方14×20方格纸内画出设计示意图。

该问题首先是一个生活情境问题，其中蕴含了数学化思想和最优化思想，解决方法也不唯一，同时还可以进行扩充，比如改成“放两种不一样大小的桌椅，怎样选择桌椅以及怎样摆放能使可服务的客人最多”

以上两个问题选自老师ppt 第十二讲的内容，在老师ppt 上还有好几个问题，大家可以看一下，自己分析一下，另外，我分析的上面两个问题也有可能分析的不对，大家发现错误，请及时告知我一下，大家互帮互助，全部不挂！

有的数学问题是具有开创性的，有发展的，这就是好的数学。

问题一：某仓库存有一批面粉，运走15%后，还剩余17000公斤。问仓库原来存有多少公斤面粉。

特征分析：1. 该题目是一道情境性题目，选择情景式的构题思路可以激发学生的探究兴趣；2. 且技巧性不高，不会阻碍同学的思考过程；3. 具备多种解题思路，可以用简单的代数

方法，却也可以激发同学对方程的探究，且可以根据需要列出多种方程，具备一般化的数学题目。

问题二：生活常识告诉我们，给糖水里加糖，糖水就变甜了；给菜汤里加盐，菜汤就变咸了。你能从这一经验中提炼出一个数学关系吗？

特征分析：这是一个人尽皆知的生活事实，但包含着怎样的数学问题，却可以激发同学们的思维。十分具有开放性，对于同学们而言是容易接受的，却能够包含真分数的不等式的数学模型。这无疑是一个好的数学问题。

后面两个问题来自原阳光

9. 结合教材、教育见习和微格实践，总结怎样的课堂导入、例题讲解及说课是较为成功的？说课与讲课的区别在哪里？数学教学中何时可以积极地利用新技术？（韦莉莉）

1、导入：（书，ppt 上没有）

一般说来，一个导入至少需要完成下列四个任务中的一个：引起注意、激发动机、建立联系和组织指引。能够激发兴趣，循序渐进，直观形象，启迪思维的导入，是非常优秀的导入。导入的问题要精炼干脆，能启发思维，要有思想性。而在导入形式上，可以以旧入新，或是直接导入，直观演示导入，创设情境等。 设计数学例题基本要求

1：要杜绝大量机械性重复的数学问题，达到巩固知识、形成技能技巧、促进理解的目的即可。熟能生巧，生笨、生厌 要从数学内容和学生学情两方面去设计问题，内容上要注意通法为先，优法巧法为辅，题材上要以联系学生的数学现实和生活现实为重，帮助学生合理建构

2：概念学习的数学例题:要关注新学概念与金丝概念的区别，要多使用概念的不同表达；原理学习的数学例题:要安排题组转向练习以数系、记忆相应的法则、公式、算法等，也要促进学生思维从详尽到简略的发展，要安排与金丝内容的比较坚定，如辨错改错题；问题解决学习的数学例题:重在新旧知识的综合应用，帮助学生对知识进行系统整理，认识新知识的本质。

3、对待各种解法要有详有略，不平均使用力量；各种姐夫呈现之后要反思回顾，比较其优劣，提高学生的思维品质。可从解法的繁简、思维的价值、应用的范围，对基础知识和基本技能的要求进行分析、比较、评估。

2、例题讲解

（1）我们应该尽可能地做到精心备课，有的放矢。讲题之前，我们必须认真分析熟悉习题，一方面要分析习题的内容，结构和答案，这样在讲解时，哪些该讲，哪些该略讲，哪些该重点讲，哪些题可以让学生自己讲，就能做到心中有数。另一方面还要分析犯错误的原因，以便在今后的教学中及时进行矫正。还有最重要一点是要根据习题的特点和内容，对习题进行归类分析。

（2）对待各种解法要有详有略，不平均用力。各种解法呈现之后要反思回顾，比较优劣，提高学生思维品质，可从解法的繁简，思维的价值，应用的范围，对基础知识和基本技能的要求进行分析，比较，评估。

（3）从学生的学情出发，注意讲解的速度，注意解题思维过程的分析

（4）我们应尽可能的创设各种活动，活跃课堂气氛。习题讲课不仅仅是简单的提问，一问一答的师生互动，主要是看学生对于知识的掌握有多少。对于学生较难理解的问题，可以让学生分组讨论；对于学生存在疑惑的问题，让学生阐述自己的见解。对于相对简单的问题，让学生说出自己的思路。但有一点是非常重要

的，如果一个学生回答不上来的时候，不要马上叫其他同学回答，我们或者给他稍加提示，或者让他与更多的同学讨论。除此之外，当学生回答完问题时，还应给予积极的鼓励，以便营造良好的课堂氛围。

(5) 要及时讲评，不能拖拉。给学生讲题要趁热打铁，这样做对老师来说，能够对于学生存在的问题了如指掌，历历在目；就学生而言，他们就会非常熟悉习题中的知识点，并且急于知道正确答案，求知欲很强。如果时间拖得过长，就会挫伤学生寻求正确答案及原因的积极性，减少了学习的动力。

（2）（3）是自己编的

3、说课：

语言简练，层次分明，重点突出；言简重点内容应明确具体，说理透彻练；理论与实践有机结合。以备课组为说课主体 ，形成一种“资源共享”的态势；不为追求说课形式，而忽视“说、上、评”的有机结合；不为追求篇幅整体完整 ，而忽视说课的具体环境；不为追求教学程序环节完整 ，而忽视学生学习实际和教学理论分析；课后说课，总结反馈。

4、讲课与说课的不同

1、说课与讲课的对象不同：说课的对象是同行的老师、专家；而讲课的对象是学生。

2、说课与讲课的内容不同：说课的内容是解说自己对某课题的理解、教学设想、方法、策略以及组织教学理论依据等。而讲课的内容是对某课程的内容进行具体的分析，向学生传授知识以及学习的方法。

3、说课与讲课的意义不同：说课的意义主要是提高课堂教学的效率以及教研活动的实效；讲课的意义是增加学生的数学知识以及提高数学修养。

4、所属范畴不同：讲课属于课堂教学范畴，因而强调教与学的互动、教师与学生的交流。说课是一种有计划有组织有准备的教学研究活动，属于教研范畴。

5、 基本要求不同： 讲课一般不讲教学设计，而说课的最大特点是说理，因而要求说课者不仅要入研究大纲、教材和学情，而且要具备教育学、心理学、教学法等教育基础理论

5、现代技术

现代教学技术的强与弱

强在能够

–直观展示数学内容，帮助学生认同、理解数学概念

–模拟随机试验，快速产生大量随机数，并用统计图表展示

–把学生从繁琐常规的数学运算中解放出来，从事更有价值的观察、反思、探究、决策、推理、问题解决等数学活动

•弱在不能代替我们

–评判答案的合理性，理解，解释数据，反思

10. ①为什么课前要设定教学目标？②书写教学目标常见的问题是什么？③如何恰当处理预设与生成之间的关系？（邓杰）

答：

①从事任何工作都要确立目标。同样，进行数学教学设计自然也要弄清教学目标。教学目标是由课程标准规定的，教师的任务是将目标进一步细化和清晰化。我们当然要关注“学生要学什么数学”，但更重要的是“学生学完这些数学能做什么”。数学教学目标是设计者希望通

过数学教学活动达到的理想状态，是数学教学活动的结果，也是数学教学设计的起点。 ②

(一、行为主体错位。这里常见的表述形式为“使学生„„”、“培养学生„„”、“提高学生„„”，表述的是教师做什么，目标行为的主体是教师，课堂教学设计应以学生的“学”为出发点，把学生作为目标主体，教学目标表述的行为主体应该是学生，教学目标对教师来说是教授目标，对学生来说则是学习目标，表现为教师教学活动所引起的学生终结行为的变化，或者说它着眼于教而落脚于学。因此，在备课计划用词时，目前更倾向于“学习目标”的提法，“学习目标”反映的是学生通过学习达到的结果，要使每位学生清楚地知道自己的学习目标是什么。规范的行为目标开头应是“学生„„” 如“在与同学的交往中，学生能复述他人的主要观点。”有时为了陈述方便可以省略行为主体，如“通过具体的现实问题情境，了解市场销售问题——打折销售”

二、目标描述易泛化、空洞，缺乏可操作性。如“培养热爱民族文化的感情”“通过学习全面掌握保护环境的知识”，这样的描述过于泛化，目标过高、过大，无法观察、测量和操作。应具体、易观察，切合实际。 三、目标描述使用的行为动词过于笼统。

如教案1《回忆我的母亲》的教学目标:

1、使学生认识劳动人民勤劳纯朴的品德（主体错位）

2、培养学生热爱劳动、热爱劳动人民的思想感情（空泛）

3、学习本文重点突出、语言朴实的写法。（笼统）

③ 预设与生成是数学教育中经常论及的问题。由于数学教育活动具有目的性与计划性, 因而具有预设性。预设是指在课前教师对课堂教学的预定计划或方案。生成也就是动态生成, 是指在教与学的过程中, 学生由于经验、思维、情感等的参与与影响, 在教师预先设计的活动或探索中, 有新的状态不断生成, 并影响下一步教学发展的过程。有的生成是在教师的意料之中, 计划之中, 有的生成脱离或超出了教师的预计。

事实上预设与生成是辩证统一的。预设是生成的基础，生成是预设的升华，只有课前精心预设，才能在课堂上动态生成。作为一名数学教师，不仅要精心预设课堂教学目标，同时还应关注课堂教学目标的生成，并提高自己的素质，努力实现课堂教学目标的生成。

一、营造良好的学习环境, 教师具备较强的课堂驾驭能力, 是正确处理好预设与生成的基础。

二、明确教学目标, 是正确处理好预设与生成的前提。

三、围绕教学目标, 设计弹性教学方案, 是正确处理好预设与生成的关键。

四、落实教学目标, 是正确处理好预设与生成的结果。