中值定理构造辅助函数
微分中值定理证明中辅助函数的构造
1 原函数法
此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢,凑出适当的原函数作为辅助函数,主要思想分为四点:(1)将要证的结论中的ξ换成x ;(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式;(3)用观察法或积分法求出原函数(等式中不含导数符号),并取积分常数为零;(4)移项使等式一边为零,另一边即为所求辅助函数F (x ) .
例1:证明柯西中值定理.
分析:在柯西中值定理的结论
f (b ) -g (b ) -f (b ) -g (b ) -
f (a )
=g (a )
f ' (x ) g ' (x )
f (b ) -g (b ) -
f (b ) -g (b ) -
f (a )
=g (a )
ξf ' (ξg ' (
中令ξ=x ,得
)
)
,先变形为
f (a )
g ' (x =) g (a )
f ' (x 再) 两边同时积分得
f (a )
g (x ) =g (a )
f (x +)
C ,令
C =0
,有
f (x -)
f (g (
b -) b -) f (a )
g =(g (a )
x ) 故0
F (x ) =f (x ) -
f (b ) -f (a ) g (b ) -g (a )
g (x ) 为所求辅助函数.
a 12
a 23
a n n +1
例2:若a 0, a 1, a 2, …, a n 是使得a 0+
2
n
++…+=0
的实数.证明方程
a 0+a 1x +a 2x +…+a n x =0在(0,1)内至少有一实根.
证:由于⎰(a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n ) dx =a 0x +
a 12
x +
2
a 23
x +…+
3
a n n +1
x
n +1
+C
并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系,所以设
F (x ) =a 0x +
a 12x +
2
a 23
x +…+
3
a n n +1
x
n +1
(取C =0),则
1)F (x ) 在[0,1]上连续 2)F (x ) 在(0,1)内可导 3)F (0)=0, F (1)=a 0+
a 12+a 23+…+
a n n +1
=0
故F (x ) 满足罗尔定理的条件,由罗尔定理,存在ξ∈(0, 1使) F '(ξ) =0,即
(a 0x +
a 12x +
2
a 23
x +…+
3
a n n +1
x
n +1
) ' x =ξ=0
亦即a 0+a 1ξ+a 2ξ2+…+a n ξn =0.
这说明方程a 0+a 1x +a 2x 2+…+a n x n =0在(0,1)内至少有实根x =ξ.
2 积分法
对一些不易凑出原函数的问题,可用积分法找相应的辅助函数. 例3:设f (x ) 在[1,2]上连续,在(1,2)内可导,f (1)=在ξ∈(1,2) 使f '(ξ) =
2f (ξ)
12
,f (2)=2.证明存
ξ
.
分析:结论变形为ξf '(ξ) -2f (ξ) =0,不易凑成F '(x ) x =ξ=0.我们将ξ换为x ,结论变形为
f '(x ) f (x )
-2x
=0,积分得:ln f (x ) -2ln x =ln
f (x ) x
2
f (x ) x
2
=ln c
,即
f (x ) x
2
=c
,从而
可设辅助函数为F (x ) =,有F (1)=F (2)=
12
.本题获证.
例4:设函数f (x ) ,g (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可微,f (a ) =f (b ) =0.证明存在ξ∈(a , b ) ,使得:f '(ξ) +f (ξ) g '(ξ) =0.
证:将f '(ξ) +f (ξ) g '(ξ) =0变形为f '(ξ) =-f (ξ) g '(ξ) ⇒
f ' x (f (x )
)
=-g ' x (
f '(ξ) f (ξ)
=-g '(ξ) ,将ξ换
为
x
,则,) 两边关于
x
积分,得:
⎰
f ' (x )
dx =-⎰g ' (ξdx ) ⇒f (x )
e x -(p K e x -(p
(g +) x
⎰
1f (x )
d [f (x ) =]-⎰d g [x (⇒) ]f l x n =-(g ) x +C (,) 所以
=x (K e x -p C g (
x ,(
f (x ) =f (x ) =
=) C e -x p (g
其中K =e x p C (,) 由
(g 可得) x K =f (x ) exp(g (x )) .由上面积分的推导可知,f (x ) exp(g (x ))
为一常数K ,故其导数必为零,从整个变形过程知,满足这样结论的ξ的存在是不成问题的.因而令F (x ) =f (x ) exp(g (x )) ,易验证其满足罗尔定理的条件,原题得证.
3 几何直观法
此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系,从而建立适当的辅助函数.
例5:证明拉格朗日中值定理.
分析:通过弦AB 两个端点的直线方程为
y =f (a ) +
f (b ) -f (a ) b -a
(x -a ) ,则函数f (x ) 与
直线AB 的方程之差即函数
f (b ) -f (a ) b -a
(x -a )]
F (x ) =f (x ) -[f (a ) +
在两
个端点处的函数值均为零,从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数.
例6:若f (x ) 在[a , b ]上连续且f (a ) b .试证在(a , b ) 内至少有一点ξ,使f (ξ) =ξ.
分析:由图可看出,此题的几何意义是说,连续函数y =f (x ) 的图形曲线必跨越y =x 这一条直线,而两者的交点的横坐标ξ,恰满足f (ξ) =ξ.进而还可由图知道,对[a , b ]上的同一自变量值x ,这两条曲线纵坐标之差f (x ) -x 构成一个新的函数它满足g (a ) 0,因而符合介值定理的g (x ) ,
条件.当ξ为g (x ) 的一个零点时,g (ξ) =0恰等价于f (ξ) =ξ.因此即知证明的关键是构造辅助函数g (x ) =f (x ) -x .
4 常数k 值法
此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点: 1)将结论变形,使常数部分分离出来并令为k .
2)恒等变形使等式一端为a 及f (a ) 构成的代数式,另一端为b 及f (b ) 构成的代
数式.
3)观察分析关于端点的表达式是否为对称式.若是,则把其中一个端点设为x ,
相应的函数值改为f (x ) .
4)端点换变量x 的表达式即为辅助函数F (x ) .
例7:设f (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,试证存在一点ξ∈(a , b ) ,(0
使等式f (b ) -f (a ) =ln ξf '(ξ) 成立.
b
a
分析:将结论变形为
f (b ) -
k l n b =
f (a -)
f (b ) -f (a ) ln b -ln a
=ξf '(ξ)
,令k =
f (b ) -l n b -
f (a ) l a n
,则有
k ,令l n a b =x ,可得辅助函数F (x ) =f (x ) -k ln x .
例8:设f ' ' (x ) 在[a , b ]上存在,在a
f (b )
++
(a -b ) (a -c ) (b -a ) (b -c )
f (a )
f (c ) (c -
a ) (-c
1
. =f ' ' (ξ)
b ) 2f (b ) (b -a )(b -c )
(c
分析:令
f (a ) (a -b )(a -c )
++
f (c ) (c -a )(c -b )
=k
,于是有
,a c 三点c
(b -c ) f (+a ) -(a b ) +f (-c ) =a )
a ,f (-,b ) 上式为关于-k a -b b
b c
的轮换对称式,令b =x (or :c =x ,or :a =x ),则得辅助函数
F (x ) =(x -c ) f (a ) +(a -x ) f (c ) +(c -a ) f (x ) -k (a -x )(a -c )(x -c ) .
5 分析法
分析法又叫倒推法,就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论.
例9:设函数F (x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,证明在(0,1)内存在一点C ,使得F (1)=F (0)+(e 1-c -e -c ) F '(C ) .
分析:所要证的结论可变形为:F (1)-F (0)=(e 1-c -e -c ) F '(c ) =
F (1)-F (0)
e -1
=F '(c ) e
c
e -1e
c
F '(c )
,即
,因此可构造函数G (x ) =e x ,则对F (x ) 与G (x ) 在[0,1]上应用柯
西中值定理即可得到证明.
例10:设函数f (x ) 在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,且f (0)=0,对任意x ∈(0,1)有f (x ) ≠0.证明存在一点ξ∈(0,1)使
nf '(ξ) f (ξ)
=
f '(1-ξ) f (1-ξ)
(n 为自然数)成立.
分析:欲证其成立,只需证nf '(ξ) f (1-ξ) -f '(1-ξ) f (ξ) =0由于对任意x ∈(0,1)有
f (x ) ≠0
n
,故只需证:
' x =ξ
n (f (ξ))
n -1
f '(ξ) f (1-ξ) -f '(1-ξ)(f (ξ)) =0
n
即
[(f (x )) f (1-x )]
=0
,于是引入辅助函数F (x ) =(f (x )) n f (1-x ) (n 为自然数).
例11:设函数f (x ) 在区间[0,+∞]上可导,且有n 个不同零点:(其中,0
a 为任意实数)
证明:欲证a f (x ) +f '(x ) 在[0,+∞)内至少有n -1个不同零点,只需证方程
a f (x ) +f '(x ) =0
在[0,+∞]内至少有n -1个不同实根.
因为,x ∈[0,+∞) ,e ax ≠0,故只需证方程e ax [af (x ) +f '(x )]=0在[0,+∞) 内至少有
n -1个不同实根.
引入辅助函数F (x ) =e ax f (x ) ,易验证F (x ) 在区间[x 1, x 2],[x 2, x 3],…,[x n -1, x n ]上满足罗尔定理的条件,所以,分别在这n -1个区间上应用罗尔定理,得
F '(ξ1) =F '(ξ2) =…=F '(ξn -1) =00
,其中ξ1∈(x 1, x 2), ξ2∈(x 2, x 3), …ξn -1∈(x n -1, x n ) 且
以上说明方程F '(x ) =0在[x 1, x 2] [x 2, x 3] … [x n -1, x n ]⊂[0,+∞]内至少有
n -1个不同实根,从而证明了方程af (x ) +f '(x ) =0
在[0,+∞]内至少有n -1个不同实
根.
6 待定系数法
在用待定系数法时,一般选取所证等式中含ξ的部分为M ,再将等式中一个端点的值b 换成变量x ,使其成为函数关系,等式两端做差构造辅助函数ϕ(x ) ,这样首先可以保证ϕ(b ) =0,而由等式关系ϕ(a ) =0自然满足,从而保证ϕ(x ) 满足罗尔定理条件,再应用罗尔定理最终得到待定常数M 与f '(ξ) 之间的关系.
例12:设f (x ) 是[a , b ]上的正值可微函数,试证存在ξ∈(a , b ) ,使
l n f (b ) f (a )
=
f ξ' (f ξ(
)
b (-a .) ) f (b ) f (a )
证明:设ln 令ϕ(x ) =ln =M (b -a ) ,
f (x ) f (a )
-M (x -a ) 容易验证ϕ(x ) 在[a , b ] 上
满足罗尔定理条件,由罗尔定理,存在ξ∈(a , b ) 使ϕ'(ξ) =0,解得M =
f (b ) f (a )
f '(ξ) f (ξ)
f '(ξ) f (ξ)
,故
ln =
(b -a ) .
例13:设函数f (x ) 在[a , b ]上连续,在(a , b ) 内可导,则在(a , b ) 内至少存在一点ξ使2ξ[f (b ) -f (a )]=(b 2-a 2) f '(ξ) .
证明:将所证等式看作f (b ) -f (a ) =(b 2-a 2)
f '(ξ) 2ξ
,设f (b ) -f (a ) =M (b 2-a 2) ,
令ϕ(x ) =f (x ) -f (a ) -M (x 2-a 2) ,则ϕ(x ) 满足罗尔定理条件,由罗尔定理得,存在一点ξ∈(a , b ) ,使ϕ(' ) ξ0=,即f (' ) ξ2=M ξ,若ξ=0,则f (' ) ξ0=,结论成立;若ξ≠0,则M =
f '(ξ) 2ξ
,从而有2ξ[f (b ) -f (a )]=f (ξ)(b 2-a 2) .
例14:设0
2
1
分析:对于此题设x 1e x -x 2e x =M (x 1-x 2) 作函数ϕ(x ) =x 1e x -xe x -M (x 1-x ) .应
2
1
1
x ξ
e -M +=用罗尔定理可得存在ξ∈(x 1, x 2) ,使ϕ(' ) ξ0=,即x e 1
1
,从而M =e x -x 1e ξ,
1
这样并不能证明原结论,遇到这种情况,说明所作的辅助函数不合适,则需要将所证明的等式变形,重新构造辅助函数.
证明:将所证等式变形为
e
x
e
x 2
x 2
-
e
x 1
x 1
=e (1-ξ)(
ξ
1x 2
-
1x 1
)
,设
e
x 2
x 2
-
e
x 1
x 1
=M (
1x 2
-
1x 1
)
,
令ϕ(x ) =
x
-
e
x 1
x 1
-M (
1x
-
1x 1
)
,则ϕ(x ) 满足罗尔定理条件,用罗尔定理可得存在
ξe -e ξ
2
ξξ
ξ∈(x 1, x 2) ,使ϕ' ξ(=)
x 1e
x 2
,0即
+M
1
ξ
2
=0,于是M =(1-ξe ) ,故
ξ
-x 2e
x 1
=e (1-ξ)(x 1-x 2) .
ξ
总之,证明微分中值命题的技巧在于:一是要仔细观察,适当变换待证式子;二是要认真分析,巧妙构造辅助函数.抓住这两点,即可顺利完成证明.