圆的定义及性质
① 圆是到定点的距离等于定长的点的集合。定点是圆心,定长是圆的半径。 ② 在一个平面内,线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周,另一个端点A随之旋转所
形成的图形(运动观点)
圆心半径确定圆的大小;圆心确定圆的位置。 同心圆:圆心相等、半径不同的两个圆。 等圆:半径相同、圆心不同的两个圆。
圆既是轴对称图形(经过圆心的任一条直线都是对称轴),又是中心对称图形(圆心是对称中心)。
二、点与圆的位置关系
思考:圆周上的点与圆心有什么关系?
• 圆是到定点(圆心)的距离等于定长(半径)的点的集合。 • 圆的内部是到圆心的距离小于半径的点的集合。 • 圆的外部是到圆心的距离大于半径的点的集合。
由此,你发现点与圆的位置关系是由什么来决定的呢? 点P与圆心的距离为d,则点在直线外dr;
点在直线上dr; 点在直线内dr。
注意:这里是等价关系,即由左边可以推出右边,由右边也可以推出左边。
三、过三点的圆
思考:确定一条直线的条件是什么?
类比联想:是否也存在由几个点确定一个圆呢?
讨论:经过一个点,能作出多少个圆? 经过两个点,如何作圆,能作多少个?(线段的垂直平分线) 经过三个点,如何作圆,能作多少个? 结论:不在同一直线上的三点确定一个圆。
经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆,外接圆的圆心叫做三角形的外心,三角形叫做圆的内接三角形。
问题1:如何作三角形的外接圆?如何找三角形的外心? 问题2:三角形的外心一定 在三角形内吗?
四、圆心角、圆周角、弧、弦、弦心距之间的关系
圆心角:顶点在圆心的角。
圆周角:顶点在圆上,并且两边都和圆相交的角。 弧:优弧、劣弧;同弧、等弧
弦:直径是一条特殊的弦,并且是圆中最大的弦。 弦心距:从圆心到弦的距离。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。 思考:什么时候圆周角是直角?反过来呢?
直角三角形斜边中线有什么性质?反过来呢?
半圆(或直径)所对的圆周角是90°;90°的圆周角所对的弦是直径。
如果三角形一边上的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形。
在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距相等。 推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两个圆周角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等。
五、垂径定理
垂径定理:垂直于弦的直径平行这条弦,并且平分弦所对的弧。 ......
注意:定理中的两个条件(直径,垂直于弦)缺一不可!!
推论:(1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦,并且平分弦所对的两条弧; (2)弦的垂直平分线经过圆心,并且平分弦所对的两条弧;
(3)平分弦所对的一条弧的直径,垂直平分弦并且平分弦所对的另一条弧。
总结:垂径定理及其推论是指一条弦①在“过圆心”②“垂直于另一条弦”③“平分另一条弦”④“平分另一条弦所对的劣弧”⑤“ 平分这另一条弦所对的优弧”的五个条件中任意具有两个条件,则必具有另外三个结论(当①③为条件时要对另一条弦增加它不是直径的限制)
若圆心到弦的距离用d表示,半径用r表示,弦长用a
说明:(1)见到直径要想到它所对的圆周角是直角
(2)见到弦常常需要过圆心作弦的垂线段,这是一条非常重要的辅助线。这样圆心到弦的距离、半径、弦长构成直角三角形,便将问题转化为直角三角形的问题。
(3)因为圆的半径相等,所以解与圆有关的题目的时候,常常会出现等腰三角形,从而有角相等。
例题分析
例1:判断下列命题的真假,并说明为什么? ⑴ 平分弦的直径一定垂直于这条弦 ( )
⑵ 在同一平面内,三点确定一个圆 ( )
⑶ 如果弧相等,那么它所对应的圆心角也相等 ( ) ⑷ 同圆中两条等弧所对的弦一定相等 ( )
例2:一个点到圆的最大距离为11cm,最小距离为5cm,则圆的半径为( )
(A)16cm或6cm (B)3cm或8cm (C)3cm (D)8cm
例3:如图,AB和DE是⊙O的直径,弦AC∥DE,若弦BE=3,则弦CE=_______
例4、在⊙O中,CD为的直径,AB和EF为圆⊙O的两条弦,并且AB⊥CD,EF⊥CD,你能得到什么结论?
例5:如图,P为⊙O的弦BA延长线上一点,PA=AB=2,PO=5,求⊙O的半径。
B
O
例6、如图,⊙O中两条不平行弦AB和CD的中点M,N.且AB=CD,求证:∠AMN=∠CNM
B
P
例7、如图,AB为⊙O的直径,CD为弦,过C、D分别作CN⊥CD、DM•⊥CD,•分别交AB于N、M,请问图中的AN与BM是否相等,说明理由。
例8、如图,O是△ABC内的一点,∠BOC = 128,⊙O截△ABC三边所得的三条弦相等 求:∠A的大小。
A
O
课堂练习 一、选择题
1、在⊿ABC中,∠C=90°,AB=3cm,BC=2cm,以点A为圆心,以2.5cm为半径作圆,则点C和⊙A的位置关系是( )
(A)C在⊙A 上 (B)C在⊙A 外 (C)C在⊙A 内 (D)C在⊙A 位置不能确定。 2、边长为2的等边三角形的外接圆的半径是( ) (A)
B
C
2 (B) (C)23 (D) 33
3、三角形的外心一定在该三角形上的三角形是( )
(A) 锐角三角形 (B)钝角三角形 (C)直角三角形 (D)等腰三角形 二、填空题
1、AB是⊙O直径,AB=4,F是OB中点,弦CD⊥AB于F,则CD=_________ 2、一条弦长恰好为半径长,则此弦所对的弧是半圆的________ 3、P为⊙O内一点,OP=3cm,⊙O半径为5cm,则经过P点的最短弦长为________;•最长弦长为_______
4、圆的半径为2cm,圆内一条弦长为23 cm,则弦的中点与弦所对弧的中点间的距离为
,这条的弦心距为
5、如图,OE⊥AB、OF⊥CD,如果OE=OF,那么_______(只需写一个正确的结论)
(第5题) (第 6 题)
(第7题) 6、如图,CDAB于E,若B60,则A7、如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为 ⊙O的直径,AD=6,则BC= 。 三、解答题
1、在⊙O中,已知M是弦AB上的一点,AM=4,BM=6,OM=5,求⊙O的半径。
2、如图,已知AB是⊙O的弦,P是AB上一点,若AB=10,PB=4,OP=5,求⊙O的半径的长。
3、如图6,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙O半径为1,求弦长AB。
4
、已知,如图所示,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交
5、如图,OE⊥AB、OF⊥CD,如果OE=OF,那么_______(只需写一个正确的结论)
(第5题) (第 6 题)
(第7题)
6、如图,CDAB于E,若B60,则A7、如图,△ABC内接于⊙O,∠BAC=120°,AB=AC,BD为 ⊙O的直径,AD=6,则BC= 。
三、解答题
1、在⊙O中,已知M是弦AB上的一点,AM=4,BM=6,OM=5,求⊙O的半径。
2、如图,已知AB是⊙O的弦,P是AB上一点,若AB=10,PB=4,OP=5,求⊙O的半径的长。
3、如图6,弦AB把圆周分成1:2的两部分,已知⊙O半径为1,求弦长AB。
4
、已知,如图所示,点O是∠EPF的平分线上的一点,以O为圆心的圆和角的两边分别交
于点A、B和C、D。
求证:AB=CD
5、如图,⊙O的直径AB为10cm,弦AC为6cm,,∠ACB的平分线交⊙O于D,求BC、AD、
BD的长。
B
课后作业
一、选择题
1、已知⊙O的半径为4㎝,A为线段OP的中点,当OP=6㎝时,点A与⊙O的位置关系是( )
A、A在⊙O内 B、A在⊙O上 C、A在⊙O外 D、不能确定
2、在同圆中,弦长为a,b的两弦所对的劣弧长分别为c,d,如果cd ,那么( )
A、ab B、ab C、ab D、ab
3、在⊙O 中,AB,AC是互相垂直的两条弦,AB=8㎝,CD=6㎝,则⊙O的半径OA的长为( )
A、4㎝ B、5㎝ C、6㎝ D、8㎝
4、如果一个三角形的外心是它一边的中点,则这个三角形是( )
(A) 锐角三角形; (B)直角三角形; (C)钝角三角形; (D)不能确定。
5、如图45-1,△ABC是⊙O的内接等边三角形,D是AB上一点,AB与CD交于E点,则图中60的角共有( )个.
(A)3 (B)4 (C)5 (D)6
二、填空题
1、点P与⊙O上的各点连结线段中,最长的是8cm,最短是2cm,则⊙O的半径是______
2、如图,在⊙O中,∠B=10º,∠C=25º,则∠A=__________
AB B
(第2题) (第3题) (第4题)
3、如图,在⊙O中,AB为直径,∠ACB的平分线交⊙O于D,则∠ABD= °
4、如图,同心圆中,大圆弦AB交小圆于点C、D。如果AC=CD=1㎝,那么AB=
三、解答题
1、如图,已知AB为⊙O的直径,AC为弦,OD⊥AC于D,OD =2cm,求BC的长。
B
2、如图,OB,OC的⊙O上一点,且∠B=20,∠C=30,求∠A的度数。 A00
BC
3、已知如图在⊙O中,AB=AC,OD⊥AB于D,OE⊥AC于E,求证:∠ODE=∠OED
CD的长。
5、在⊙O中,AB是弦,延长AB到C,使BC=OA,CO的延长线交圆O于D。 求证:∠ACD=
4、已知:如图,⊙O的直径AB和CD相交于点E。已知AE=1㎝,EB=5㎝,∠DEB=60,求0
B1∠AOD 3