初升高数学衔接班知识点总结1

教学资料—高一

一．高中常见的代数式恒等变形 知识点睛

1. 我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式 1）平方差公式 平方和公式

(a +b )(a -b ) =a 2-b 2；

n (n +1)(n +2)

6

12+22+32+ +n 2=

2）完全平方公式

(a ±b ) 2=a 2±2ab +b 2。

我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式： 1）立方和公式 2）立方差公式

(a +b )(a 2-ab +b 2) =a 3+b 3； (a -b )(a 2+ab +b 2) =a 3-b 3；

(a +b +c ) 2=a 2+b 2+c 2+2(ab +bc +ac ) ； (a +b ) 3=a 3+3a 2b +3ab 2+b 3； (a -b ) 3=a 3-3a 2b +3ab 2-b 3；

a 2+b 2+c 2±ab ±bc ±ac =

1

(a ±b ) 2+(b ±c ) 2+(a ±c ) 2 2

3）三数和平方公式 4）两数和立方公式 5）两数差立方公式 6）常用公式

2．因式分解

[]

因式分解的主要方法有：十字相乘法，提取公因式法，公式法，分组分解法，另外还应了解求根法及待定系数法，用求根法分解关于x 的二次三项式ax 2+bx +c =0(a ≠0) 。

若关于x 的方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实数根是x 1, x 2，则ax 2+bx +c =a (x -x 1)(x -x 2) 。 经典精讲

33

【例1】 1．已知x +y =1, 则x +y +3xy 的值为________.

3

3

2．实数a , b 满足a +b +3ab =1. 则a +b =_________.

【例2】 因式分解

1. 2. 3.

x 3-7x +6; a 3+3a 2+3a +2 x 5-x 4+x 3-x 2+x -1

二、韦达定理的应用 知识点睛

1．一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：如果ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两实根分别是x 1, x 2, 那么x 1+x 2=-

c b

，x 1∙x 2=，这一关系也被称为韦达定理。 a a

2．若x 1和x 2分别是一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两个实根，则|x 1-x 2=

∆

（其中a

∆=b 2-4ac ）。注意：今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论。

3、熟记： 1）

11x 1+x 2222

， x 1+=+x 2=(x 1+x 2)-2x 1x 2

x 1x 2x 1x 2

2）已知一元二次方程ax 2+bx +c =0(a ≠0) 的两根为x 1和x 2； 若a +b +c =0，则x =1； 若a -b +c =0，则x =-1；

（乘积相等，和为相反数） ax 2-bx +c =0(a ≠0) 的两根是-x 1, -x 2；

cx 2+bx +a =0(c ≠0) 的两根是

经典精讲

121112

（同时除以x ，得a () +b () +c =0） , 。

x x x 1x 2

【例3】如果方程x +px +1=0(p >0) 的两根之差是1，那么P 的值为（ ） A. 2

【例4】二次项系数为1的一元二次方程的两根分别为1+2和1-2，那么，这个方程是（ ） A. x +2x +1=0

22

【例5】已知实数a ≠b ，且满足(a +1) =3-3(a +1) ，3(b +1) =3-3(b +1) ，则

2

2

B. 4 C.

3

D.

5

B. x +2x -1=0

2

C. x -2x +1=0

2

D. x -2x -1=0

2

a b

+的值为b a

（ ）。

A. 23

B.-23

C.-2

D.-13

三、一元含参不等式和二元一次不等式初步

知识点睛

用不等号（＜, ＞, ≤，≥，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。 1、不等式的基本性质：

①、不等式两边同时加上或者减去同一个数，不等号不变； ②、不等式两边同时乘以一个大于零的数，不等号不变； ③、不等式两边同时乘以一个小于零的数，不等号改变。 2、一元一次含参不等式

对于一元一次含参不等式，系数含有字母需要分类讨论：如不等式ax

【例6】 （1）已知a , b 为参数，解不等式-ax +5>

x -1， 3

1

（2）已知a , b 为常数，若ax +b >0的解集是x

3

3、简单一元二次不等式及其解法

解一元二次不等式通常先将不等式化为ax 2+bx +c >0或ax 2+bx +c 0) 的形式，然后求出对应方程的根（如果有），再写出不等式的解集：大于0时两根之外，小于0时两根之间。

一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以a >0为例）：

4. 简单的一元高次不等式（已经因式分解的不等式） 步骤： ①列根（从小到大放数轴上）

②首正（整理） ③穿线（从右上方穿）

④x 轴上方为大于0的解，下方为小于0的解。

②含等号（方法：分离）

注意事项： ①重根（方法：奇穿偶不穿）。

经典精讲

【例7】求下列不等式的解集： （1）

（2）6x 2

-13x -28

（3）x 2

+4x +5>0

（4）-x 2

+x -2>0

（5）(x +1)(x -2)(x +3)(x -4) >0

（6）(-3x -1)(2x -2)(x +5)

【例8】已知ax 2

+bx +c >0(a ≠0) 的解是α

求不等式c (ax 2

-bx +c )(cx 2

+bx +a ) >0的解集。 易错点

（1）若0

a

)

B.

1

a

a

或x

D. x

1

a

或x >a

（2）与不等式

x -3

2-x

≥0同解的不等式是（ ）

A. (x -3)(2-x ) ≥0 B. 0

x -3

≥0

D. (x -3)(x -2) ≤0