初二四边形压轴题
1、如图，四边形OABC与四边形ODEF都是正方形。
（1）当正方形ODEF绕点O在平面内旋转时，AD与CF有怎样的数量和位置关系？并证明你的结论；
（2）若
ODEF绕点O旋转，当点D转到直线OA上时， DCO恰好是30°，试问：当点D转到直线OA或直线OC上时，求AD的长。（本小题只写出结论，不必写出过程）
CB
O
F
D
A
解：(1)∵四边形OABC与四边形ODEF为正方形，
∴在△AOD和 △COF中，AO= OC，∠AOD= ∠COF,OD= OF,
∴△AOD≌△COF.
∴AD=CF．
(2)AD⊥CF．
理由：∵△AOD≌△COF，
∴∠OCF= ∠OAD,
∴∠APQ+∠OAD= ∠CPO+ ∠OCF =90°.
∴∠AQP= 90°，即AD⊥CF．
(3)当正方形ODEF绕O点在平面内旋转时，(1)和(2)中的结论依然成立．
2、如图，一次函数y=2x+4的图像与x、y轴分别相交于点A、B，以AB为边作正方形ABCD。
（1）求点A、B、D的坐标；
（2）设点M在x轴上，如果△ABM为等腰三角形，求点M的坐标。
（1）∵当y=0时，2x+4=0，x=-2．
∴点A（-2，0）．（1分）
∵当x=0时，y=4．
∴点B（0，4）．（1分）
过D作DH⊥x轴于H点，（1分）
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD=∠AOB=∠AHD=90°，AB=AD．（1分）
∴∠BAO+∠ABO=∠BAO+∠DAH，
∴∠ABO=∠DAH．（1分）
∴△ABO≌△DAH．（1分）
∴DH=AO=2，AH=BO=4，
∴OH=AH-AO=2．
∴点D（2，-2）．（1分）
3、如图，正方形ABCD的边长为1，点P为BC边上的任意一点（可与点B或C重合），分别过B
、
D作AP的垂线段，垂足分别是B1、D1．猜想：(DD1)2+(BB1)2的值，并对你的猜想加以证明．
22 猜想：(DD1)+(BB1)的值是1；
证明如下：在△ADD1和△ABB1中
∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=AB，
∵AD1⊥DD1，BB1⊥AB1，
∴∠DD1A=∠AB1B=90°，
∵∠DAD1+∠B1AB=∠B1AB+∠ABB1，
∴∠DAD1=∠ABB1，
∴△ADD1≌△BAB1，
∴AD1=BB1，
∵(DD1)2+(BB1)2=(DD1)2+(AD1)2=AD2=1，
∴(DD1)2+(BB1)2=1；
4、菱形ABCD中，点E、F分别在BC、CD边上，且∠EAF=∠B。
（1）如果∠B=60°，求证：AE=AF;
（2）若∠B=60°，点E，F分别为BC和CD的中点，求证：△AEF等边三
角 为
D
F
BEC
形．
证明：（1）由菱形ABCD可知：
AB=AD，∠B=∠D，
∵BE=DF，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE=AF；（4分）
（2）连接AC，
∵菱形ABCD，∠B=60°
∴△ABC为等边三角形，∠BAD=120°，（2分）
∵E是BC的中点，
∴AE⊥BC（等腰三角形三线合一的性质），
∴∠BAE=30°，同理∠DAF=30°，（2分）
∴∠EAF=60°，由（1）可知AE=AF，
∴△AEF为等边三角形（2分）．
5 如图，在正方形ABCD中，点E在边AB上（点E与点A、B不重合）。在点E作FG⊥DE，FG与边BC相交于点F，与边DA的延长线相交于点G。
（1）由几个不同的位置，分别测量BF、AG、AE的长，从中你能发现BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证明你所得到的结论。
（2）连接DF，如果正方形的边长为2，设AE=x，△DFG的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数的定义域。
（3）如果正方形的边长为2，FG的长为
D5，求点C到直线DE的距离。 2
F
A
GEB
（1）要寻找3条线段的数量关系，往往采用作辅助线截长或补短的方法，然后找到其中的关系，
本题证明三角形全等是关键．
（2）由（1）可知DE=FG，∴△DGF的底与高可以关键勾股定理用含x的式子表示出来，所以解析式就可以表示出来．
（3）要解决本题，关键题意作出辅助线是关键，利用三角形的面积公式建立两个不同的式子是问题解决．
【解析】
（1）BF+AG=AE．
证明：过点F作FH⊥DA，垂足为H，
∵在正方形ABCD中，∠DAE=∠B=90°，
∴四边形ABFH是矩形，
∴FH=AB=DA，
∵DE⊥FG，
∴∠G=90°-∠ADE=∠DEA，
又∴∠DAE=∠FHG=90°，
∴△FHG≌△DAE，
∴GH=AE，即HA+AG=AE，
∵BF=HA，
∴BF+AG=AE．
（2）∵△FHG≌△DAE，
∴FG=DE=
∵S△DGF=FG•DE，
∴y=，
，定义域为0＜x＜2． ， ∴解析式为：y=
（3）连接CE，作CP⊥DE于P，S△CDE=CD•AD=2， ∴S△CDE=DE•CP=2， ∵DE=FG=，
∴•CP=2，
∴CP=，
∴点C到直线DE的距离为．