匀速圆周运动,向心加速度,向心力

北 京 四 中

匀速圆周运动，向心加速度，向心力

编稿老师：陈素玉 审稿老师：陈素玉 责 编：郭金娟

学习目的：

1、掌握角速度和线速度的关系

2、掌握匀速圆周运动的特征

3、理解向心加速度、向心力的概念

4、学会分析做匀速圆周运动的物体的向心力的情况

一、匀速圆周运动

匀速圆周运动：如果在相等的时间内通过的圆弧长都相等的运动，例如手表指针上的一点绕轴的运动。

二、描述圆周运动的物理量

1、线速度v

(1)物理意义：

描述质点做圆周运动的快慢。

(2)方向：

质点在圆周上某点的线速度方向沿圆周该点的切线方向。

(3)大小：

(ΔS为圆弧长)

在匀速圆周运动中，相等的时间内所通过的弧长都相等，∴线速度的大小是一个定值。由此可见，匀速圆周运动中的匀速指的是匀速率，它仍然是一个变速运动。

2、角速度ω

(1)物理意义：

描述质点绕圆心转动的快慢。

(2)大小：

在Δt时间内，质点由A运动到B，相应的连接质点和圆心的半径OA扫过角度Δφ。很显然，质点沿圆周运动得越快，在相应的时间内质点所通过的弧长就越长，

半径转过的角度就越大。

(rad/s) 弧度/秒

3、周期T，频率f 做圆周运动的物体运动一周所用的时间叫周期。 做圆周运动的物体在单位时间内沿圆周绕圆心运动的圈数叫频率。 4、线速度、角速度、周期、频率之间的关系：

， ，v=ωr

，

三、向心加速度

1、物理意义：

描述线速度方向变化快慢。

2、向心加速度的方向

匀速圆周运动是一种变速运动，速度发生变化→运动状态发生改变→有加速度存在。

加速度的定义式，描述物体速度变化的快慢，加速度的方向与速度变化量Δv的方向一致→用矢量方法求加速度。

为物体在一段时间内的平均加速度，不方便描述，当Δt→0时，则为A点的即时加速度，当Δt→0时，B点趋近于A，Δφ→0，∴Δv⊥v，即a⊥v。

由于做圆周运动的物体的速度方向与圆周相切加速度a的方向垂直于圆的切线即与圆的半径方向重合并指向圆心→向心加速度：其改变物体的速度主要体现在改变速度的方向上。

从另一个角度，法线方向的力只改变物体的速度的方向，由于匀速圆周运动的速度方向始终沿圆的切线方向，所以加速度a的方向只能指向圆心。

3、大小

从三角形相似可得 ，Δt→0时，弧长与弦长近似相等a=

，由v=ωr可得a=ω2r

综上，向心加速度的大小为a==ω2r

4、正确理解a与r的关系：可从数学公式中看，也可从实际当中去想象

(1)当线速度不变时，加速度a与半径r成反比

如图所示的皮带传动装置，A、B分别为轮缘上的点，由于在传动过程中皮带不打滑，所以两点的线速度相等，即vA=vB，由于A的转动半径大于B的转动半径，即rA>rB，由a=可知，aA

(2)当角速度不变时，a与r成正比

如图所示为两个共轴的轮，A、C分别为轮缘上的点，由于两轮共轴，所以在转动过程中具有相同的角速度，即ωA=ωB。由于A的转动半径大于C的转动半径，由a=ω2r可得aA>aC。

四、向心力

由牛顿第二定律可知，做圆周运动的物体有加速度，就必须有相应的力提供这个加速度，这个力叫向心力。

1、向心力是以作用效果命名的，不是某种特殊的力，只要能够产生使物体指向圆心的加速度，就可以做为向心力。

2、方向：总是指向圆心，时刻在变化，是一个变力

3、大小：F向

=m=mω2r=mr=m(2πf)2r=m(2πn)2r

例题分析：

例1、如图所示的皮带传动装置，左边是主动轮，右边是一个轮轴，RA：RC=1：2，RA：RB=2：3。假设在传动过程中皮带不打滑，则皮带轮边缘上的A、B、C三点的角速度之比是__________；线速度之比是_________；向心加速度之比是_________。

6 分析： 由于A、C同轴，所以角速度相等，ωA：ωC=1：1 由v=ωr有，vA：vC=rA：rC=1：2 A、B用皮带传动，皮带不打滑，所以线速度相等，vA：vB=1：1 ωA：ωB=rB：rA=3：2 综上：vA：vB：vC=1：1：2； ωA：ωB：ωC=3：2：3； aA：aB：aC=3：2：

例2、一轻绳拴着一个物体在光滑水平面上做匀速圆周运动，如图所示，试分析其受力。若绳长l=0.2m，物体的质量m=0.1kg，绳子所能承受的最大拉力Tm=50N，试求小于球的最大速度和最大角速度。

分析：

小球受力如图所示，重力和弹力方向在竖直方向上，不可能提供小球做圆周运动所需的向心力，所以提供小球做圆周运动的向心力的是沿绳方向的拉力T。

=mω2r 由牛顿第二定律可知，Fn=T=m

v↑，ω↑，T↑

当v>vm时，绳子将不足以提供物体所需的向心力。

=mωm2r Tm=m

vm=10m/s ωm=50rad/s 课后练习： 1、关于向心加速度，下列说法正确的是：（ ） A、向心加速度描述速度方向变化的快慢 B、匀速圆周运动的向心加速度是变化的

C、由牛顿第二定律可知，a向=

D、向心加速度随轨道半径的增大而减小 2、关于向心力的说法正确的是：（ ） A、向心力是做圆周运动的物体所受的特殊力 B、向心力的方向始终垂直于运动方向 C、向心力是做圆周运动的物体受的合外力 D、做圆周运动的物体所受的向心力是变化的 3、匀速圆周运动的特点是：（ ） A、速度不变，加速度不变 B、速度和加速度的大小不变，方向时刻改变 C、速度不变，加速度变化

D、加速度和速度都变化，但合外力不变

4、一物体以4m/s的线速度做匀速圆周运动，转动周期为2s。则该物体在运动过程中的任意时刻，速度变化率的大小为：（ ）

A、2m/s2

B、4m/s2

C、0

D、4πm/s2

5、质点做匀速圆周运动，其半径为r，角速度为ω，线速度为v，转速为n，向心加速度为a，下列说法哪些是正确的：（ ）

A、因为a=，所以向心加速度与旋转半径成反比

B、因为a=ω2r，所以向心加速度与旋转半径成正比

C、因为ω=，所以角速度与旋转半径成反比

D、因为ω=2πn，所以角速度与转速成正比

6、如图所示，图中两条图线为A、B两质点做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图象。其中A为双曲线的一个分支，由图可知：（ ）

A、A质点运动的线速度大小不变

B、A质点运动的角速度大小不变

C、B质点运动的角速度大小不变

D、B质点运动的线速度大小不变

7、关于匀速圆周运动的周期大小，下列判断正确的是：（ ）

A、若线速度越大，则周期一定越小

B、若角速度越大，则周期一定越小

C、若转速越大，则周期一定越大

D、向心加速度越大，则周期一定越大

8、手表的分针长是时针长的2倍，则分针末端的线速度与时针末端的线速度之比为：（ ）

A、2：1 B、12：1 C、24：1 D、1：24

9、有一个质点做半径为R的圆周运动，在t秒内转动n周，则该质点的线速度为：（ ）

A、 B、 C、 D、

10、设地球为一球体，当地球转动时，在纬度30°、60°两处的物体线速度之比、向心加速度之比分别为：（ ）

A、

B、1：

C、

D、 ：1， ，1： ：1，1：1 ：1，1： ：1

11、飞机在高空水平面内做匀速圆周运动，这时从飞机上落下一物体。则此物体将做：（ ）

A、自由落体运动

B、平抛运动

C、螺旋运动

D、斜抛运动

12、如图所示的齿轮传动装置中右轮半径为2r，a为它边缘上的一点，b为轮上的一点，b距轴为r。左侧为一轮轴，大轮的半径为4r，d为它边缘上的一点，小轮的半径为r，c为它边缘上的一点。若传动中齿轮不打滑，则：（ ）

A、b点与d点的线速度大小相等

B、a点与c点的线速度大小相等

C、c点与b点的角速度大小相等

D、a点与d点的向心加速度大小之比为1：8

13、在水平转盘上放一木块，木块与转盘一起匀速转动而无滑动，则木块受到的力是：（ ）

A、重力、弹力、指向圆心的摩擦力

B、重力、弹力、指向圆心的摩擦力和指向圆心的向心力

C、重力、弹力、与木块运动方向相反的摩擦力和指向圆心的向心力

D、重力和弹力

14、一圆筒绕其中心轴OO'匀速转动，筒内壁上紧挨着一个物体与筒一起运动，又无相对滑动，如图所示，物体所受的向心力是：（ ）

A、物体的重力

B、筒内壁的弹力

C、筒壁对物体的静摩擦力

D、物体所受重力与弹力的合力

参考答案：

1、ABC 2、BD 3、B 4、D

8、C 9、B 10、A 11、B 5、D 12、BD 6、AC13、A 7、B 、B 14