高考西工大附中1

2012年普通高等学校招生全国统一考试西工大附中第四次适应性训练

数 学（理科）

本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷（选择题 共50分）

一． 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的

四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

(1+i)1．复数

1-i

2

等于（ ）

A．-1-i B.-1+i C.1-i D.1+i

2．已知三条直线m、n、l和三个平面α、β、γ,下面四个命题中正确的是（ ）

α⊥γ⎫m//β⎫

B. ⇒α//β⎬⎬⇒l⊥β

β⊥γ⎭l⊥m⎭m⊥γ⎫m//γ⎫C. ⎬⇒m//n D. ⎬⇒m//n

n⊥γ⎭n//γ⎭

A.

3．设f(x)是定义在R上最小正周期为π的函数，且在[-

5

32

π,π)上 3

2π⎧

⎪sinx,x∈[-,0)16π

f(x)=⎨，则f(-)的值为（ ） 3

3⎪⎩cosx,x∈[0,π)

A

．B．-

113 C． D． 222

o

4．已知向量a与b的夹角为120，a=

3，a+b=b=（ ）

A. 5 B. 4 C. 3 D. 1 5．设函数y=f(x)的反函数为y=f则y=f

-1

-1

，(x)，且y=f(3x-1)的图像过点(3,1)

(3x-1)的图像必过点（ ）

1A. (,0) B. (1,3) C. (3,0) D. (0,1)

2

6．设{an}为公比q>1的等比数列，若a2009和a2010是方程4x-8x+3=0的两根，则a2011+a2012=（ ）

A.18 B.10 C.25 D.9

7．如图，圆O:x2+y2=π2内的正弦曲线y=sinx与x轴

围成的区域记为M（图中阴影部分），随机往圆O内 投一个点A，则点A落在区域M内的概率是（ ）

A．C．

4 2π2 π2

B．D．

4

3

π

2

π3

8．在∆ABC中，sinA=

35

,cosB=,则cosC= 513

5616565616A.- B. 或 C. D .

6565656565

x2y2

9．已知F1,F2分别为双曲线2-2=1(a>0,b>0)的左、右焦点，P为双曲线

ab

|PF2|2

左支上任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率e的取值范围是

|PF1|

（ ）

A.(1,+∞) B.(0,3] C.(1,3] D.(1,2] 10.函数y=

1

的图像与函数y=2sinπx(-2≤x≤4)的图像所有交点的横坐标1-x

之和等于

A.2 B.4 C.6 D.8

第Ⅱ卷（非选择题 共100分）

二． 填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．将答案填写在

题中的横线上．

11如果椭圆的对称轴为坐标轴，短轴的一个端点与两焦点组成一正三角形，焦点

在y轴上，且a-c =3, 那么椭圆的方程是 .

12．一个多面体中某一条棱的正视图、侧视图、俯视图长度分别为a,b,c，则这条

棱的长为 .

13 已知随机变量ξ服从正态分布N(2σ,2

，)P(ξ≤4)=0.84，则

P(ξ≤0)x≥0⎧⎪

x≥y14．已知点M(x,y)满足条件⎨（k为常数），若x+3y的最大值为⎪2x+y+k≤0⎩

12，则k= .

15．选做题（请考生在以下三个小题中任选一题做答，如果多

做，则按所做的第一题评阅记分） （1）．(几何证明选讲）如图，AB是半圆O的直径，点C在半

DB，设∠COD=θ，圆上，CD⊥AB，垂足为D，且AD=5

则tanθ的值为 .

（2）．（坐标系与参数方程）圆O1和圆O2的极坐标方程分别为

ρ=4cosθ,ρ=-4sinθ，则经过两圆圆心的直线的直角坐标方程为

（3）．（不等式选讲）若不等式3x-b

三．解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．

16．(本小题满分12分)

已知向量a=2sinxx，b=(sinx,2sinx)，函数f(x)=a⋅b （Ⅰ）求f(x)的单调递增区间； （Ⅱ）若不等式f(x)≥m对x∈[0,

17．（本小题满分12分）

甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为分，且两人投球互不影响。

（Ⅰ）甲、乙两人在罚球线各投球一次，记他们得分之和为ξ，求ξ的概率分布列和数学期望；

（Ⅱ）甲、乙在罚球线各投球两次，求这四次投球中至少一次命中的概率。

()

π

2

]都成立，求实数m的最大值.

12

,，投中一球得1分，投不中得0 23

18．（本小题满分12分）

已知正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长和底面边长均为1，

M是底面BC边上的中点，N是侧棱CC1上的点，且CN=2C1N （Ⅰ）求二面角B1-AM-N的平面角的余弦值； (Ⅱ) 求点B1到平面AMN的距离；

19．(本小题满分12分)

已知各项全不为零的数列{ak}的前k项和为Sk，且Sk＝其中a1=1.

(Ⅰ)求数列{ak}的通项公式;

(Ⅱ)对任意给定的正整数n(n≥2),数列{bk}满足

1

akak+1(k∈N*), 2

bk+1k-n

（k=1,2,…，=

bkak+1

n-1）, 且b1=1. 求b1+b2+

20．（本小题14分）已知函数

+bn.

f(x)=(x2+bx+c)ex在点P(0,f(0))处的切线方程为2x+y-1=0． （Ⅰ）求b,c的值；

（Ⅱ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅲ）若方程f(x)=m恰有两个不等的实根，求m的取值范围．

21．（本小题满分13分）

已知两定点F1,F2

(

)，满足条件PF2-PF1=2的点P的轨迹是

)

曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A,B两点， （Ⅰ）求k的取值范围；

（Ⅱ）如果AB=，且曲线E上存在点C，使OA+OB=mOC，求m的值和∆ABC的面积S.

2012四模数学（理科）参考答案与评分标准

一．BCABC ABDCD

y2x2

二．11. 13. 0.16 14. -9 +=1 12.

12915．（1

） （2）x-y-2=0 （3）2

三．（16、17、18、19每题12分，20题14分，21题13分）

16．解：

（Ⅰ）f(x)=

2sin2x+xcosx=1-cos2x+

xcosx

π

=2x-cos2x+1=2sin(2x-)+1

6

πππ

由2kπ-≤2x-≤2kπ+(k∈Z) ，

262ππ

得kπ-≤x≤kπ+(k∈Z).

63

ππ

所以f(x)的单调增区间是[kπ-,kπ+](k∈Z).

63

πππ5π

. （Ⅱ）因为0≤x≤,所以-≤2x-≤

2666

1π

所以-≤sin(2x-)≤1.

26

π

所以f(x)=2sin(2x-)+1∈[0,3]. 所以m≤0，m的最大值为0.

6

17、解：（Ⅰ）ξ的分布列为

Eξ=0⨯+1⨯+2⨯=

6236

（Ⅱ）记事件A为四次投球中至少一次命中，则

1111135P()=⨯⨯⨯= ， ∴P(A)=1-P()=

22333636

18、解（Ⅰ）因为M是底面BC边上的中点，所以AM⊥BC，又AM⊥CC1，

AM⊥NM，则∠B1MN为二面角故AM⊥面BCC1B1，从而AM⊥B1M，

B1-AM-N的平面角。

又B1M=

5连接B1N，得B1N在∆BMMN=，

1N

6中，由余弦定理得cos∠B1MN=B1-AM-N的平面角的余

弦值为

（Ⅱ）过B1在面BCC1B1内作直线B1H⊥MN，H为垂足，又AM⊥面BCC1B1，

所以B1H⊥AM，于是B1H⊥平面AMN，故B1H即为B1到平面AMN的距离， 在Rt∆B1HM中，B1H=B1Mcos∠B1MN=1，即B1到平面AMN的距离为1.

19、解：（Ⅰ）当k=1，由a1=S1=a1a2及a1=1，得a2=2．

当k≥2时，由ak=Sk-Sk-1=

1

2

11

akak+1-ak-1ak，得ak(ak+1-ak-1)=2ak． 22

因为ak≠0，所以ak+1-ak-1=2．从而a2m-1=1+(m-1)2=2m-1．

a2m=2+(m-1)2=2m，m∈N*．故ak=k(k∈N*)．

（Ⅱ）因为ak=k，所以

bk+1n-kn-k

． =-=-

bkak+1k+1

所以bk=

bkbk-1

bk-1bk-2b2(n-k+1)(n-k+2)(n-1)b1=(-1)k-11 b1k(k-1)2

1k

Cn(k=1，2，，n)． n

1123n-1n

C-C+C-+(-1)Cn⎤故b1+b2+b3++bn=⎡ nnn⎣⎦n

11012nn

⎤=1-⎡C-C+C-+(-1)C=． nnn⎦⎣n

nn

2x

20. 解：（Ⅰ）f'(x)=[x+(b+2)x+b+c]⋅e

=(-1)k-1

{}

∵f(x)在点P0,f(0)处的切线方程为2x+y-1=0． ∴⎨

()

⎧⎧b+c=-2⎧b=-3⎪f'(0)=-2

⇔⎨⇔⎨

⎩c=1⎪f(0)=1⎩c=1⎩

（Ⅱ）由（1）知：f(x)=(x2-3x+1)⋅ex，

f'(x)=(x2-x-2)⋅ex=(x-2)(x+1)⋅ex

∴f(x)的单调递增区间是：(-∞,-1)和(2,+∞)，

f(x)的单调递减区间是：(-1,2)

（Ⅲ）由（2）知：f(x)max=f(-1)=

5

，f(x)min=f(2)=-e2； e

但当x→+∞时，f(x)→+∞；又当x0， 则当且仅当m∈-e,0⎤⎦

21、解：（Ⅰ）由双曲线的定义可知，曲线E是以F1,F2双曲线的左支，且c=

(

2

⎧5⎫

⎨⎬时，方程f(x)=m恰有两个不等的实根。 ⎩e⎭

()为焦点的

)

22

故曲线E的方程为x-y=1(x

设A(x1,y1),B(x2,y2)，由题意建立方程组⎨

⎧y=kx-1

，消去y，得22

⎩x-y=1

(1-k)x

2

2

+2kx-2=0 又已知直线与双曲线左支交于A,B两点，有

⎧1-k2≠0⎪22∆=(2k)+8(1-k)＞0⎪⎪-2k⎨x1+x2=＜0 解得

1-k⎪

-2⎪

xx=＞012⎪1-k2⎩

22

（Ⅱ）∵ AB=x1-x2+k⋅(x1+x2)-4x1x2

==

依题意得

，

=

整理后得28k-55k+25=0

42

2

∴k=

552

或

k=，但

x+y+1=0设C(x0,y0)，由已知OA+OB=mOC，得 2

(x1,y1)+(x2,y2)=(mx0,my0)∴(x0,y0)=(

x1+x2y1+y2

,)，(

m≠0) mm

2k222k

x1+x2=2=-y1+y2=k(x1+x2)-2=2-2=

2=8

k-1k-1k-18064⎫

∴点C8⎪，将点C的坐标代入曲线E的方程，得2-2=1得m=±4，

m⎪mm⎝⎭

但当m=-4时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意 ∴m=4，

C点的坐标为2，C

()

到AB的距离为

1

3

∴∆ABC的面积S=

11⨯=23

m=4.