小学数学解题方法:和倍问题 差倍问题

和倍问题 差倍问题

和倍问题：已知两个数的和及它们之间的倍数关系，求两个数各是多少的应用题，叫做和倍问题。

解题关键：找准标准数（即1倍数）一般说来，题中说是“谁”的几倍，把谁就确定为标准数。求出倍数和之后，再求出标准的数量是多少。根据另一个数（也可能是几个数）与标准数的倍数关系，再去求另一个数（或几个数）的数量。

解答和倍应用题的最好助手是，采用画线段图的方法来表示两种量间的数量关系，以便找到解题的途径；理解和倍问题中各个量之间的关系。

和倍问题 和÷(倍数－1) ＝小数 小数×倍数＝大数

差倍问题 差÷(倍数－1) ＝小数 小数×倍数＝大数

一、和倍问题例题

例1： 甲班和乙班共有图书160本. 甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？

集体讨论：甲班和已班各占多少分，你能不能画出倍数图线？

分析与解答：设乙班的图书本数为1份，则甲班图书为乙班的3倍，那么甲班和乙班图书本数的和相当于乙班图书本数的4倍. 还可以理解为4份的数量是160本，求出1份的数量也就求出了乙班的图书本数，然后再求甲班的图书本数. 用下图表示它们的关系：

解：乙班：160÷（3+1）=40（本）

甲班：40×3=120（本）

或 160-40=120（本）

答：甲班有图书120本，乙班有图书40本。

这道应用题解答完了，怎样验算呢？

可把求出的甲班本数和乙班本数相加，看和是不是160本；再把甲班的本数除以乙班本数， 看是不是等于3倍. 如果与条件相符， 表明这题作对了. 注意验算决不是把原式再算一遍。

验算：120＋40=160（本）

120÷40=3（倍）。

例2：汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？

分析：大货车比小货车的 5 倍还多 7 辆，这 7 辆也在总数 115 辆内，为了使总数与（ 5+1 ）倍对应，总车辆数应（ 115-7 ）辆。

列式为（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （辆）， 18 × 5+7=97 （辆）

例3： 甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？

集体讨论：你能画出图线来表示题中甲班和已班的倍数的关系吗？

分析与解答：解这题的关键是找出哪个量是变量，哪个量是不变量从已知条件中得出，不管甲班给乙班多少本书，还是乙班从甲班得到多少本书，甲、乙两班图书总和是不变的量. 最后要求甲班图书是乙班图书的2倍，那么甲、乙两班图书总和相当于乙班现有图书的3倍. 依据解和倍问题的方法， 先求出乙班现有图书多少本，再与原有图书本数相比较，可以求出甲班给乙班多少本书（见上图）。

解：①甲、乙两班共有图书的本数是：

30＋120=150（本）

②甲班给乙班若干本图书后，甲、乙两班共有的倍数是：

2＋1＝3（倍）

③乙班现有的图书本数是：150÷3=50（本）

综合算式：

（30＋120）÷（2+1）=50（本）

50-30=20（本）

答：甲班给乙班20本图书后，甲班图书是乙班图书的2倍。

验算：（120-20）÷（30+20）＝2（倍）

（120-20）+（30+20）＝150 （本）。

例4： 光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？ 分析与解答：把女生人数看作一份，由于男生人数比女生人数的3倍还少40人，如果用男、女生人数总和760人再加上40人，就等于女生人数的4倍（见下图）。

解：①女生人数：（760＋40）÷（3＋1）=200（人）

②男生人数：200×3-40=560（人）

或 760-200=560（人）

答：男生有560人，女生有200人。

验算：560＋200=760（人）

（560+40）÷200=3（倍）。

例5： 果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵. 桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？

分析与解答：下图可以看出桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，都是同梨树相比较、以梨树的棵数为标准、作为1份数容易解答. 又知三种树的总数是552棵. 如果给苹果树增加20棵，那么就和梨树同样多了；再从桃树里减少12棵，那么就相当于梨树的2倍了，而总棵树则变为552+20-12=560（棵），相当于梨树棵数的4倍。

解：①梨树的棵数：

（552＋20-12）÷（1＋1＋2）

=560÷4=140（棵）

②桃树的棵数：140×2＋12=292（棵）

③苹果树的棵数： 140-20=120（棵）

答：桃树、梨树、苹果树分别是292棵、140棵和120棵。

例6： 549是甲、乙、丙、丁4个数的和. 如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等. 求4个数各是多少？

分析与解答：上图可以看出， 丙数最小. 由于丙数乘以2和丁数除以2相等，也就是丙数的2倍和丁数的一半相等，即丁数相当于丙数的4倍. 乙减2之后是丙的2倍，甲加上2之后也是丙的2倍. 根据这些倍数关系，可以先求出丙数，再分别求出其他各数。

解：①丙数是：（549＋2-2）÷（2＋2＋1＋4）=549÷9=61

②甲数是：61×2-2=120

③乙数是：61×2＋2=124

④丁数是：61×4=244

验算：120+124＋61+244=549

120＋2=122 124-2=122

61×2＝122 244÷2＝122

答：甲、乙、丙、丁分别是120、124、61、244.

例7：甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？

解析：（2600+1200）÷（1+4）=760…变甲

（2600-760）÷23=80分钟

例8. 花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200棵，其中月季花是菊花的2

倍，杜鹃花是

菊花的3倍，求三种花各多少棵？

分析：

看图：

菊花 ？

2倍

月季花 1200棵

？ 3倍

杜鹃花

？

我们把菊花看作1份，总棵数是菊花的(2+3+1)份，所以菊花的棵数是

月季花的棵数是200⨯2=400棵，杜鹃花的棵数是200⨯3=600棵。 1200÷(2+3+1)=200棵，

解：1200÷(2+3+1)=200（棵）

200⨯2=400（棵）

200⨯3=600（棵）

例9学校购买840本图书，分给高、中、低三个年级，高年级分得的是低年级的3倍多5本，中年级分得的是低年级的2倍多1本，问：高、中、低三个年级各分到多少本图书？

(840-5-1)÷(1+3+2)=139„„低

139⨯3+5=422„„„„„„„„高

139⨯2+1=269„„„„„„„„中

二、和倍问题训练

1、典型基础题

（1）、甲班和乙班共有图书160本. 甲班的图书本数是乙班的3倍，甲班和乙班各有图书多少本？（例1）

（2）、汽车运输场有大小货车 115 辆，大货车比小货车的 5 倍多 7 辆，运输场有大货车和小汽车各有多少辆？（例2）

（3）、甲班有图书120本，乙班有图书30本，甲班给乙班多少本，甲班的图书是乙班图书的2倍？（例3）

（4）、光明小学有学生760人，其中男生比女生的3倍少40人，男、女生各有多少人？（例4）

（5）、果园里一共种340棵桃树和杏树，其中桃树的棵数比杏树的3倍多20棵，两种树各种了多少棵？

2、提高练习

（1）、甲水池有水2600立方米，乙水池有水1200立方米，如果甲水池里的水以每分种23立方米的速度流入乙水池，那么多少分种后，乙水池中的水是甲水池的4倍？ （例7）

3、奥数练习

（1）、果园里有桃树、梨树、苹果树共552棵. 桃树比梨树的2倍多12棵，苹果树比梨树少20棵，求桃树、梨树和苹果树各有多少棵？ （例5）

（2）、549是甲、乙、丙、丁4个数的和. 如果甲数加上2，乙数减少2，丙数乘以2，丁数除以2以后，则4个数相等. 求4个数各是多少？（例6）

（3）、花园里的菊花、月季花、杜鹃花共1200棵，其中月季花是菊花的2倍，杜鹃花是菊花的3倍，求三种花各多少棵？（例8）

（4）、学校购买840本图书，分给高、中、低三个年级，高年级分得的是低年级的3倍多5本，中年级分得的是低年级的2倍多1本，问：高、中、低三个年级各分到多少本图书？（例9）

三、差倍问题例题

例1、 光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？

解析： 36÷（3－1）=18人 ； 18×3=54人。

例2、已知两个数相除的商为4，相减的差是39，者两个数分别为多少？

解析：39÷（4-1）=13…除数 13+39=52…被除数

例3、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？

解析： （3900－100）÷（2－1）=3800千克…大米

3800＋3900=7700千克…面粉

例4、甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？

分析：两根绳子剪去相同的一段，长度差没变，甲绳所剩的长度是乙绳的 3 倍，实比乙绳多（ 3-1 ）倍，以乙绳的长度为标准数。

列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）„

乙绳剩下的长度， 17 × 3=51 （米）„

甲绳剩下的长度， 29-17=12 （米）„剪去的长度。

例5、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和等于2113，则被除数是多少？（2003奥数初赛A 卷）

解析：（2113-17-13-13）÷（17+1）=115 115×17+13==1968

例6、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？（长春南关区86年6年级数学竞赛）

解析：（104+140）÷（3+1）=61… 变乙

140-61=79

例7、甲、乙两桶油重量相等，甲桶取走16千克油，乙桶加入14千克油后，乙桶油的重量是甲桶油的重量的4倍，甲桶原来有油多少千克？（南京2届兴趣杯邀请赛预赛A 卷）

解析：（14+16）÷（4-1）=10千克

16+10=26千克

例8、有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，现在往两个水池里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，问每个水池注入了多少立方米的水。

解析： （300-70）÷（3-1）=115立方米

要注入的量：115-70=45立方米

四、差倍问题训练

差倍问题：已知两个数的差，及两个数的倍数关系，求两个数各是多少的应用题。 解题规律：两个数的差÷（倍数－1 ）= 标准数 标准数×倍数=另一个数。

1、典型基础题

（1）、光明小学开展冬季体育比赛，参加跳绳比赛的人数是踺子人数的3倍，比踢踺子的多36人。参加跳绳和踢踺子比赛的各有多少人？（例1）

（2）、已知两个数相除的商为4，相减的差是39，者两个数分别为多少？（例2）

（3）、仓库里存放大米和面粉两种粮食，面粉比大米多3900千克，面粉的千克数比大米的2倍还多100千克。仓库有大米和面粉各多少千克？（例3）

2、提高练习

（1）、甲乙两根绳子，甲绳长 63 米 ，乙绳长 29 米，两根绳剪去同样的长度，结果甲所剩的长度是乙绳 长的 3 倍，甲乙两绳所剩长度各多少米？各减去多少米？（例4）

（2）、有大、小两个水池，大水池里已有水300立方米，小水池里已有水70立方米，现在往两个水池里注同样多的水后，大水池水量是小水池水量的3倍，问每个水池注入了多少立方米的水。（例8）

3、奥数练习

（1）、有两个自然数相除，商是17，余数是13，已知被除数、除数、商与余数之和等于2113，则被除数是多少？（2003奥数初赛A 卷）（例5）

（2）、甲仓库存粮104吨，乙仓库存粮140吨，要使甲仓库是乙仓库的3倍，那么必须从乙仓库运出多少吨放入甲仓库？（长春南关区86年6年级数学竞赛）（例6）