空间几何体教案

空间几何体

一、 空间几何体结构

1. 空间几何体：如果我们只考虑物体占用空间部分的形状和大小，而不考虑其它因素，

那么由这些物体抽象出来的空间图形，就叫做空间几何体。

2. 棱柱的结构特征：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，每相邻两个四边形的公

共边互相平行，由这些面围成的图形叫做棱柱。 （图如下）

底面：棱柱中，两个相互平行的面，叫做棱柱的底面，简称底。底面是几边形就叫做几棱柱。

侧面：棱柱中除底面的各个面.

侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 顶点：侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。

棱柱的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：棱柱ABCDEF-A’B’C’D’E’F’

3. 棱锥的结构特征：有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这

些面所围成的多面体叫做棱锥. （图如下）

底面：棱锥中的多边形面叫做棱锥的底面或底。 侧面：有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面 顶点：各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 侧棱：相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱。

棱锥可以表示为：棱锥S-ABCD

底面是三角形，四边形，五边形----的棱锥分别叫三棱锥，四棱锥，五棱锥---

4. 圆柱的结构特征：以矩形的一边所在直线为旋转轴, 其余边旋转形成的面所围成的旋转

体叫做圆柱。

圆柱的轴：旋转轴叫做圆柱的轴。

圆柱的底面：垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做圆柱的底面。 圆柱的侧面：平行于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面。

圆柱侧面的母线：无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线。 圆柱用表示它的轴的字母表示. 如：圆柱O’O 注：棱柱与圆柱统称为柱体

5. 圆锥的结构特征：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴, 两余边旋转形成的面

所围成的旋转体叫做圆锥。

轴：作为旋转轴的直角边叫做圆锥的轴。

底面：另外一条直角边旋转形成的圆面叫做圆锥的底面。 侧面：直角三角形斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面。 顶点：作为旋转轴的直角边与斜边的交点

母线：无论旋转到什么位置，直角三角形的斜边叫做圆锥的母线。 圆锥可以用它的轴来表示。如：圆锥SO 注：棱锥与圆锥统称为锥体

6. 棱台和圆台的结构特征

（1）棱台的结构特征：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥, 底面与截面之间的部分

是棱台.

下底面和上底面：原棱锥的底面和截面 分别叫做棱台的下底面和上底面。 侧面：原棱锥的侧面也叫做棱台的侧面（截后剩余部分）。 侧棱：原棱锥的侧棱也叫棱台的侧棱（截后剩余部分）。 顶点：上底面和侧面，下底面和侧面的公共点叫做棱台的顶点。

棱台的表示：用表示底面的各顶点的字母表示。 如：棱台ABCD-A’B’C’D’ 底面是三角形，四边形，五边形----的棱台分别叫三棱台，四棱台，五棱台---

（2）圆台的结构特征：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥, 底面与截面之间的部分

是圆台.

圆台的轴，底面，侧面，母线与圆锥相似 注：棱台与圆台统称为台体。

7. 球的结构特征：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫

做球体。

球心：半圆的圆心叫做球的球心。

半径：半圆的半径叫做球的半径。 直径：半圆的直径叫做球的直径。 球的表示：用球心字母表示。如：球O 注意：

1. 多面体: 若干个平面多边形围成的几何体

2. 旋转体: 由一个平面绕它所在平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体

二、空间几何体的三视图和直观图

1、空间几何体的三视图：

定义三视图：正视图（光线从几何体的前面向后面正投影）；侧视图（从左向右）、 俯视图（从上向下）

注：正视图反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体的高度和宽度。 球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形；

2. 空间几何体的直观图——斜二测画法 斜二测画法的步骤：

（1）在一直图形中取互相垂直的x 轴和y 轴，两轴相交于点o 。画直观图时，把它们画成对应的x ' 轴与y ' 轴，两轴相较于o ' ，且使∠x ' o ' y ' =45 （或135 ）。它们确定的平面表示水平面。

（2）已知图形中平行于x 轴或y 轴的线段，在直观图中分别画成平行于

x ' 轴或

y ' 轴的线段。

（3）已知图形中平行于x 轴的线段，在直观图中保持原长度不变。平行于y 轴的线段，长度变为原来的一半。 （4）Z 轴方向的长度不变。

三、空间几何体的表面积和体积

空间几何体的表面积和体积问题是高中数学的重要内容，也是高考考查的重要内容之一．下面，就空间几何体的表面积和体积的常见问题分类解析如下．

1、棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

棱柱、棱锥、棱台的表面积多采用面积累加的方式求解，特别地，若为正棱柱（锥、台），各侧面积相等，可用乘法计算；计算其体积时，关键是求底面积和高，并注意公式的选用．

例1:粉碎机的下料斗是正四棱台形（如图1），它的两底面边长分别是80mm 和400mm ，高是200mm ，计算制造这一下料斗所需铁板是多少？

分析：问题的实质是求正四棱台的侧面积，欲求侧面积，需求斜高，可在有关的梯形中求出斜高．

解：如图1所示，O 、O 1是两底面中心，则OO 1是高，设EE 1是斜高，E 1F

⊥OE ，在直

角梯形OO 1E 1E 中，

EE 1=

E 1F 2+EF 2

=OO 1+(EO -E 1O 1)

2

2

1

图1

=2002+(

440-802

) ≈269(mm ) ， 2

因为边数n =4，两底边长a =440, a /=80, 斜高h /=269，

∴S 正棱台侧==

11

(c +c /) h /=n (a +a /) h / 22

1

⨯4⨯(440+80) ⨯269≈2. 8⨯105(mm 2) ． 2

5

2

答：制造这一下料斗约需铁板2. 8⨯10mm ．

评注：正棱台的侧面展开图是由若干全等的等腰梯形组成的，其侧面积公式为

S 正棱台侧=

1

(c +c /) h /，其中c 、c /为两底面周长，h /是正棱台的斜高． 2

2、圆柱、圆锥、圆台的表面积和体积

圆柱、圆锥、台台的表面积和体积都要依靠公式计算，其底面半径、高、母线三元素之间的互求主要依赖于两个图形：轴截面图形、侧面展开图．

例2:已知圆锥的底面半径为R ，高为H ，其中有一个高为x 的内接圆柱．求 （1）圆柱的侧面积；

（2）当x 为何值时，圆柱的侧面积最大？此时，圆柱的体积是多少？ 分析：注意圆柱和圆锥的联系，找出未知量和已知量的关系．

解：做圆锥的轴截面，如图2所示．设所求圆柱的底面半径为r ，则其侧面积为 S 圆柱侧=2π⋅rx ．

r H -x =， R H

H x

R

∴r =R -⋅x ，

H

∴S 圆柱侧

R 2πR 2

⋅x ． =2πx (R -⋅x ) =2πRx -

H H

2

R

图2

（2）S 圆柱侧的表达式中x 的系数小于零，所以该二次函数有最大值，此时圆柱的高为：

x =-

R H R 2πR H

=，底面半径为：r =R -⋅=． 2R 2H 22-2⋅

H

R H π

∴V 圆柱=πr 2x =π() 2⋅=⋅R 2H ．

228

3、球的表面积和体积

球的表面积与体积的计算关键在于求出半径，在作图时，有时要用到空间图形，有时只需要作出球的大圆，要注意圆的知识的充分应用．

8πcm ，球心不在截面例3:在球内有相距1cm 的两个平行截面，截面面积分别是5πcm 、

之间，求球的面积和体积．

分析：可以用球的截面的性质，借助题设给定的等量关系，建立关于球半径的方程来解决．

解：画出轴截面，如图3．圆O 是球的大圆，A 1B 1、A 2B 2分别是两条平行于截面圆的直径，

过O 作OC 1⊥A 1B 1于C 1，交A 2B 2于C 2． 由于A 1B 1//A 2B 2，所以OC 2⊥A 2B 2．

由圆的性质可得，C 1、C 2分别是A 1B 1、A 2B 2的中点． 设两平行平面的半径分别为r 1、r 2，且r 1>r 2，由题意得：

22

1

πr 1=5π, πr 2=8π，

∴r 1=5, r 2=8．

又OA 1、OA 2都是球的半径R ，

2

2

22

图3

∴OC 1=R 2-r 1=R 2-5，OC 2=R 2-r 2=R 2-8，

22

∴R 2-5-，R 2-8=1，

解得：R =9．

2

∴S 球=4πR 2=36π(cm 2), V 球=

43

πR =36π(cm 3) ．

3

4、体积变换问题

体积变换包括体积割补或等积变换，体积割补的目的是为了应用公式计算体积，等积变换的目的是为了以体积为中间媒介，计算相关元素．

例4:在长方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，截下一个棱锥C -A 1DD 1，求棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比．

分析：剩余部分几何体不是规则几何体，可利用长方题和棱锥体积的差来求剩余部分的体积．

解：已知长方题可以看成直四棱柱，设它的地底面ADD 1A 1的面积为S ，高为h ，则它的体积为V =Sh ．

而棱锥C -A 1DD 1的底面积为

1

S ，高为h ，故三棱锥C -A 1DD 1的为： 2D 1

111

V C -A 1DD 1=(S ) h =Sh ，

32615

余下部分体积为：Sh -Sh =Sh ．

66

1

A 1

C

所以棱锥C -A 1DD 1的体积与剩余部分的体积之比1:5． A

A

图

4

B

5、“切”、“接”问题

“切”、“接”问题即指一个几何体切于其他几何体或其他几何体内接于这个几何体两种情形，求解这类问题的关键是借助于空间图形或轴截面图形，建立两个几何体基本量之间的联系，从而由已知量求出未知量．

例5:一个倒立圆锥形容器，它的轴截面是正三角形，在这个容器内注入水并且放入一个半径为r 的铁球，这时水面恰好与铁球相切，问将球从圆锥内取出后，圆锥内水平面的高是多少？

解：设球未取出时高PC =h ，球取出后水面高PH =x ，如图5．

因为AC =3r , PC =3r ，

所以以AB 为底面直径的圆锥容积为：

B 11

V 圆锥=πAC 2⋅PC =π(r ) 2⋅3r =3π⋅r 3，

33

4

V 球=π⋅r 3．

3

球取出后水面下降到EF ，水的体积为：

111

V 水=πEH 2⋅PH =π(PH ⋅tan 300) 2⋅PH =π⋅r 3，

339

而V 水=V 圆锥-V 球， 即π⋅r =3π⋅r -

19

33

4

π⋅r 3，∴x =r ， 3

故球取出后水平面的高为r ．

四、体积计算中的常用方法例析

1、转换法

当所给几何体的体积不能直接套用公式或套用公式时某一量（底面积或高）不易求出时，可以转换一下几何体中有关元素的相对位置进行计算求解，该方法尤其适用于求三棱锥的体积．

例1 在边长为a 的正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，M ，N ，P 分别是棱A ，A 1D 1，A 1A 上的点，且满足A 1M =1B 1

1

A 1B 1，2

A 1N =2ND 1，A 1P =

体积．

3

A 1A （如图1），试求三棱锥A 1-MNP 的4

分析：若用公式V =

1

Sh 直接计算三棱锥A 1-MNP 的体积，则需要求出△MNP 的面积3

和该三棱锥的高，这两者显然都不易求出，但若将三棱锥A 1-MNP 的顶点和底面转换一下，变为求三棱锥P -A 1MN 的体积，便能很容易的求出其高和底面△A 1MN 的面积，从而代入公式求解． 解：

1111112313V A 1-MNP =V P -A 1MN =S △A 1MN ·h =⨯A 1M ·A 1N ·A 1P =⨯⨯a ·a ·a =a ．

3323223424

评注：转换顶点和底面是求三棱锥体积的一种常用方法，也是以后学习求点到

平面距离的一个理论依据． 2、分割法

分割法也是体积计算中的一种常用方法，在求一些不规则的几何体的体积以及求两个几何体的体积之比时经常要用到分割法．

例2:如图2，在三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，E ，F 分别为AB ，AC 的中点，平面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，求这两部分的体积之比． 分析：截面EB 1C 1F 将三棱柱分成两部分，一部分是三棱台

AEF -A 1B 1C 1；另一部分是一个不规则几何体，其体积可以利用棱

柱的体积减去棱台的体积求得．

解：设棱柱的底面积为S ，高为h ，其体积V =Sh ． 则三角形AEF 的面积为由于V AEF -A 1B 1C 1=h ·

1

S ． 4

13

S ⎫7⎛S

+S +⎪=Sh ，

2⎭12⎝4

75

Sh =Sh ， 1212

则剩余不规则几何体的体积为V '=V -V AEF -A 1B 1C 1=Sh -所以两部分的体积之比为V AEF -A 1B 1C 1:V '=7:5．

评注：在求一个几何体被分成的两部分体积之比时，若有一部分为不规则几何

体，则可用整个几何体的体积减去规则几何体的体积求出其体积，再进行计算．