求不规则物体的体积

求不规则物体的体积

——转化策略的应用

慈利县金慈实验小学 杨琴琴

一、教材分析：

教材在学习了圆柱的表面积、体积的计算方法后，安排了这节应用课，要求学生根据条件计算瓶子的容积。由于瓶子是不完整的圆柱，学生遇到了无法“直接计算容积”的难题。教学时我借助爱迪生巧求灯泡容积的故事，引导学生将瓶子容积转化成可以直接计算的两个圆柱的容积，从而得到形状不规则的瓶子的容积。在解决问题的过程中，让学生进一步体会“转化”的思想方法的意义和应用。

二、学情分析：

在五年级学习长方体和正方体时，学生通过动手操作计算过不规则物体的体积。本节课的学习，要引导学生将旧知识迁移到新的问题当中。学会根据条件，运用转化的方法间接地计算出不规则物体的容积。

三、教学目标：

知识与技能：1、熟练运用公式计算不规则物体的体积。

2、能应用圆柱的体积公式解决一些实际问题。

过程与方法：经历圆柱体积公式的运用过程，体验将不规则物体转换成规则物体，从而计算

出体积的数学方法。

情感态度与价值观：感受数学问题之间的互相转化的巧妙美，培养学生分析问题、解决问题

的能力，渗透转化的数学思想。

教学重点：运用圆柱体积公式解决实际问题。

突破方法：组织学生独立思考、质疑并提问。

教学难点：把不规则的物体转化成规则的圆柱。

突破方法：通过引导讨论、小组交流、归纳总结的方法来突破。

四、教学过程：

课前交流

（让学生学会换个角度思考问题，活跃思维，激发学习兴趣。）

1、自主训练（故事导入，初悟转化）

有一次，爱迪生把一只灯泡（还没有制成成品）交给他的助手阿普顿，让他计算出这只灯泡的容积。阿普顿是普林斯顿大学数学系的毕业生，又去德国深造过，数学知识相当不错，他拿着这只小灯泡，打量了好半天，找来了皮尺，上下左右量了尺寸，画了剖面图，立体图，还列了一大堆算式，一个小时过去了，爱迪生跑来问他算出来的结果，阿普顿汗流浃背的慌忙回答说：“算出了一半。”爱迪生走进一看，在阿普顿面前好几张白纸上，写满了密密麻麻的算式。这时爱迪生微笑着说了一句话，阿普顿恍然大悟，连忙跑到实验室去，不到一分钟，就准确的测出了灯泡的容积。同学们，你能猜出爱迪生说了一句什么话吗？（生：···）

是的，爱迪生让阿普顿把灯泡装满水，再把水倒进圆柱形的量杯里，这样就求出了灯泡的容积。这个故事渗透了一个重要的数学思想“转化”，今天这节课我们也尝试运用转化的策略求不规则物体的体积。

2、合作训练（动手实践，提炼转化）

（1）对照比较，自主学习

①对照比较，认知冲突

师：瞧！这是什么？（生：咖啡和水）。是的，这是杨老师最喜欢喝的咖啡和人体不可缺少的水，据说咖啡的摄入量一天不能超过200ML,而你们一天最少都要喝2000ML的水，如果我们想知道咖啡罐能容纳多少咖啡？瓶子里能装多少水？就得求出它们的什么呢？（生：容积）是的！你们会求它们的容积吗？（生思考后回答：装咖啡的罐子是圆柱，所以只要量出圆柱的底面直径和高就可以算出它的容积，而矿泉水瓶子不是一个规则的立体图形，我们无法直接测量求算。）

②打开课本，自学例7

师：咖啡罐的容积我们可以根据圆柱的体积公式求出来，对于矿泉水瓶这样的不规则物体的容积可以怎么求？（生：···）书本上也给我们提供了这类不规则物体体积的求算方法，请大家打开课本第27页自学例7，完成自学提示卡。

（课件出示） 自学提示卡

1、阅读与理解

这个瓶子不是一个完整的圆柱，我们可以尝试转化成（圆柱）来计算。

2、分析与解答

因为瓶子的（容积）是一定的，瓶子里（水的份量）是一定的，所以正放和倒置时，瓶中空余部分也是（相等的）。正立时水的体积与倒置时瓶中空余部分都是（圆柱形）的，我们可以把计算瓶子容积的问题转化成计算两个圆柱的容积问题。数量关系式如下：

瓶子的容积=（正立时水的体积+倒置时无水部分的体积）

（2）合作探究，展示交流

①小组合作探究

师：通过自学课本，相信大家对于求这类不规则物体容积有了自己的想法，下面分小组动手操作，交流讨论求不规则瓶子容积的方法。

（课件出示）

②展示探究成果

师：哪个小组愿意将你们的探究结果跟大家分享一下？

生：···）

③回顾反思，归纳总结

在合作探究中，我们发现：因为瓶子的（容积）是一定的，瓶子里（水的份量）是一定的，所以正放和倒置时，瓶中空余部分也是（相等的）。正放时水的体积与倒置时瓶中空余部分都是（圆柱形）的，我们可以把计算瓶子容积的问题转化成计算两个圆柱的容积问题。 瓶子的容积=正放时水的体积+倒置时空余部分的容积

（课件出示）

仔细观察，把正放时水的体积和倒置时空余部分的容积合在一起就是瓶子容积，也就是一个圆柱体，所以瓶子的容积=瓶子底面积x（正放时水的高度+倒置时空余部分的高度）

④即时练习

（课件出示）

（学生独立练习，请学生板演，并讲述解题过程）

师总结：这个瓶子的容积是508.68毫升，你们一天最少需要喝2000多毫升的水，说说看，你们每天大约要喝这样几瓶水？

3、达标训练（知识运用，巩固内化）

师：老师的儿子也是六年级学生，听说我来给大家上课，十分兴奋，所以特意写了一封信给大家，想看吗？

（课件出示）

给146班同学的一封信

亲爱的同学们：大家好！

我叫伍阳瑀辉，是金慈六年级148班的学生，得知妈妈来给你们上课，我有很多的问题想和你们交流，好吗？

近来，妈妈为我制定了锻炼计划“登山”。昨天登山时，我携带了满满一瓶水，回家后，妈妈问我喝了多少毫升的水？我马上拿来尺子开始测量，我把瓶盖拧紧后倒置放平，无水部分高10cm,内直径是6cm，运用转化的方法很快算出我喝了（282.6）毫升的水。我不禁骄傲地说：“天上飘来五个字，这都不是事”。

4、拓展训练（思维开拓，内化提升）

（课件出示）

妈妈听了，随手拿来一瓶碘酒，对我说：“臭小子！千万别得意，这个瓶子的容积是32.4cm，你能算出瓶内碘酒的体积吗？”我接过瓶子开始测量，当瓶子正放时，瓶内碘酒高8cm；瓶子倒放时，空余部分的高为2 cm。要求碘酒的体积？似乎有点难度，同学们，你们能求出来吗？通过几番思考，我算出了碘酒的体积为（25.92）毫升。经过这事儿，我明3

白了数学是“学无止境”的。

好了，就交流到这儿吧！祝大家学习愉快！

5、全课总结

同学们，学习这一课后你有什么收获呢？

是的，在实际问题中，我们要求算的物体体积往往不是规则的立体图形，这时就需要我们善于观察，利用转化的策略发现并构建更简单直观的规则立体图形，帮助我们解决生活中的复杂问题。

板书设计：

五、 教学反思

教材在学习了圆柱的表面积、体积的计算方法后，安排了这节应用课，要求学生根据条件计算瓶子的容积。为了上好本节课，我本着“依据教材又不拘泥教材”的原则，对教材进行了处理。教学中，让学生在自主学习、合作探究中寻求瓶子容积的方法，运用转化策略解决问题，经历数学活动过程，建立数学模型，形成数学经验。反思本课的教学主要体现了以下几点：

1、借助故事情境，初悟转化思想

课前谈话时，我以香港小学一年级入学考试题活跃学生思维，激发学习兴趣，孩子们最初信心满满，十几秒过去后，能准确得出答案的并不多，在部分孩子的提示下才恍然大悟，让孩子们体会原来打破常规思维方式，换个角度去思考就会豁然开朗。紧接着我及时出示“爱迪生与灯泡”的故事，让孩子们猜一猜爱迪生巧求灯泡容积的方法，在激发兴趣的同时初步

感悟转化思想，导入新课，埋下伏笔。

2、建立数学模型，渗透转化思想

学生进行数学探究时，我先让他们谈一谈求瓶子容积的方法，孩子们有了爱迪生巧求灯泡容积的铺垫，尝试运用转化策略去思考，各抒己见，方法多样，但由于条件的限制，产生了认知冲突，此时，我及时提示，让他们自学课本，自主探究求瓶子容积的方法。自学课本后，孩子们恍然大悟，这时，我及时给予他们合作交流的空间，在小组内交流自己的想法。这样，让学生在观察、操作、猜测、交流、反思等活动中体会数学知识的产生、形成与发展的过程，获得积极的情感体验，感受数学的力量，同时掌握必要的基础知识与基本技能，建立了求瓶子容积的模型:

瓶子的容积=正放时水的体积+倒置时空余部分的容积

瓶子的容积=瓶子底面积x（正放时水的高度+倒置时空余部分的高度）

考虑到部分学生对求瓶子容积的第二种简便算法的理解有难度，我利用多媒体课件，运用转化的方法，将正立时圆柱形的有水部分和倒置后圆柱形的无水部分拼接在一起，形成一个大圆柱。这样形象直观的演示，学生更能理解瓶子的容积=瓶子底面积x（正放时水的高度+倒置时空余部分的高度）表示的具体意义了。

3、练习层层递进，强化应用意识

数学来源于生活，应用于生活，为体现数学的生活味儿，我密切联系生活实际，创设了与学生生活环境、知识背景密切相关的、又是学生感兴趣的练习情境“给146班同学的一封信”。学生听了老师儿子给他们的信，颇感兴趣。学生经过思考、讨论、交流，找到了解决问题的方法，并将自己的解题思路说给全班同学听，进一步培养了学生的数学能力，增强了数学素养。

4、有待改进之处

①在学生自主学习时，我处理的有点急,没有给学生充分思考的时间。在今后的教学中我要特别关注学生的学习过程，优化课堂教学，对教材进行适当的加工处理。数学知识的教学,必须抓住各部分内容之间的内在联系,遵循教材特点和学生的认知规律。通过想象、实际操作，从经历和体验中思考，培养学生科学的思维方法；贴近学生生活实际，创设情境，解决问题，体现数学知识“从生活中来到生活中去”的理念，激发学生的学习兴趣和对科学知识的求知欲，使学生乐于探索，善于探究。

②教师的评价语言还可以更丰富些。在课堂教学中，评价语言是非常重要，它总是伴随在教学的始终，贯穿于整个课堂，缺乏激励的课堂就会像一潭死水，毫无生机。而精妙的评价语言就像是催化剂，能使课堂掀起层层波澜，让学生思维的火花时刻被点燃。教师准确、生动、亲切的评价语言大大调动了学生学习的主动性和积极性，让学生在激励中学、自信中学、快乐中学，让教师与学生零距离地接触，我想学生的心理更能感觉到更大的鼓舞。

六、案例研讨

播种转化，凝结创新

——“求不规则物体的体积”案例分析 黎倩倩

一、案例背景

小学数学教学大纲明确指出：“要重视从学生的生活实践经验和已有的知识中学习数学和理解数学。” 这就要求数学教师结合学生的生活经验和已有的知识，通过设计富有情趣和意义的活动，使学生切实体验到身边存在着“大数学”，用数学解决生活中的许多实际问题，进一步对数学产生亲切感，增强学生对数学知识的应用意识，从而培养学生的自主创新能力。

《求不规则物体的体积》是六年级内容，在学生学习了圆柱的表面积、体积的计算方法后，安排了这节应用课，要求学生根据条件计算瓶子的容积。

二、案例评析

（一）自主训练（故事导入，初悟转化）

【评析：把数学与儿童生活实际联系起来，可以让学生看到生活中处处充满数学，学生学起来也亲切、自然。在故事中进入数学学习，使学生产生对数学学习的欲望。】

（二）合作训练（动手实践，提炼转化）

【评析：有效的数学教学活动，不能单纯地依靠模仿与记忆。动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学内容的重要形式，因此，我们必须让学生在操作中感知事物，在头脑中产生表象，以动促思，真正做到学生动手，教师参谋，使学生能在课堂上“活”起来。而学具操作可以促进学生由无意识记向有意识记转化和发展。学具操作，对提高小学学生无意识记和有意识记的同步发展十分有利。由于学生对操作实践活动有浓厚的兴趣，激发了学生强烈的好奇心和旺盛的 求知欲，他们对新鲜有趣的东西，能集中注意力去想它，从各方面去了解、解决它，以形成比较鲜明的深刻的印象，并且喜欢寻根问底，弄个水落石出，从而极大地促进了有意识记的发展。学生在玩中学，学中玩，课堂教学气氛活跃，提高了课堂40分钟教学的效益和质量。]】

2、动手操作，合作探究

【评析：合作学习是以学习小组为基本组织形式，合作学习是以系统教学动态因素的互动合作为动力资源的一种教学活动，它以达到特定的共同目标为导向而设计、确定和管理的教学环节，合作学习也是以团体成绩依据的一种教学活动。以小组的方式来达到生生、师生互动，对教学的动态因素进行互动与反馈，达到一种良好的效果。自主、合作、探究是学生学习数学的重要方式，在课程改革全面推开的今天，必须乘着课改的东风，致力于学生学习方式的转变，让学生在自主探索中学习数学。】

（三）达标训练（生活应用，巩固内化）

【评析：在这一学习过程中，学生不仅通过上面所获得的知识验证了正确的转化思维方法，闪烁着学生创新思维的火花，而且使学生产生了原来学习数学的主动权掌握在自己手中的体验，感受到了成功的喜悦。】

（四）拓展训练（思维开拓，内化提升）

【评析：数学源于生活又服务于生活，生活中处处有数学。在教学中，教师应经常让学生运用所学知识去解决生活中的实际问题，使学生在实践数学的过程中及时掌握所学知识，感悟到数学学习的价值所在，从而增强学好数学的信心，学会用数学的眼光去看周围的事物，想身边的事情，拓展数学学习的领域。数学问题，在学生眼中不再是简单的数字，而是富有情感、贴近生活、具有活力的东西。因此，课堂教学中的数学思维训练要面对生活实践，为学生营造一种宽松平等而又充满智力活动的氛围，使学生受到创新性思维的训练。】

三、案例分析

（一）“转化”——激发求知欲，训练思维的积极性。

思维的惰性是影响发散思维的障碍，而思维的积极性是思维惰性的克星。所以，培养思维的积极性是培养发散思维的极其重要的基矗在教学中，教师要十分注意激起学生强烈的学习兴趣和对知识的渴求，使他们能带着一种高涨的情绪从事学习和思考，有效地激发了学生寻求新方法的积极情绪。我们在数学教学中还经常利用“障碍性引入”、“冲突性引入”、“问题性引入”、“趣味性引入”等，以激发学生对新知识、新方法的探知思维活动，这将有利于激发学生的学习动机和求知欲。在学生不断地解决知与不知的矛盾过程中，还要善于引导他们一环接一环地发现问题、思考问题、解决问题。

（二）“转化”——转换角度思考，训练思维的求异性。

发散思维活动的展开，其重要的一点是要能改变已习惯了的思维定向，而从多方位多角度——即从新的思维角度去思考问题，以求得问题的解决，这也就是思维的求异性。从认知心理学的角度来看，小学生在进行抽象的思维活动过程中由于年龄的特征，往往表现出难以摆脱已有的思维方向，也就是说学生个体（乃至于群体）的思维定势往往影响了对新问题的解决，以至于产生错觉。所以要培养与发展小学生的抽象思维能力，必须十分注意培养思维求异性，使学生在训练中逐渐形成具有多角度、多方位的思维方法与能力。

（三）“转化”—— 一题多解、变式引伸，训练思维的广阔性。

思维的广阔性是发散思维的又一特征。思维的狭窄性表现在只知其一，不知其二，稍有变化，就不知所云。反复进行一题多解、一题多变的训练，是帮助学生克服思维狭窄性的有效办法。可通过讨论，启迪学生的思维，开拓解题思路，在此基础上让学生通过多次训练，既增长了知识，又培养了思维能力。教师在教学过程中，不能只重视计算结果，要针对教学的重难点，精心设计有层次、有坡度，要求明确、题型多变的练习题。要让学生通过训练不断探索解题的捷径，使思维的广阔性得到不断发展。要通过多次的渐进式的拓展训练，使学生进入广阔思维的佳境。

（四）“转化”——转化思想，训练思维的联想性。

联想思维是一种表现想象力的思维，是发散思维的显著标志。联想思维的过程是由此及彼，由表及里。通过广阔思维的训练，学生的思维可达到一定广度，而通过联想思维的训练，

学生的思维可达到一定深度。例如有些题目，从叙述的事情上看，不是工程问题，但题目特点确与工程问题相同，因此可用工程问题的解题思路去分析、解答。让学生进行多种解题思路的讨论时，有的解法需要学生用数学转化思想，才能使解题思路简捷，既达到一题多解的效果，又训练了思路转化的思想。“转化思想”作为一种重要的数学思想，在小学数学中有着广泛的应用。在应用题解题中，用转化方法，迁移深化，由此及彼，有利于学生联想思维的训练。总之，在数学教学中多进行发散性思维的训练，不仅要让学生多掌握解题方法，更重要的是要培养学生灵活多变的解题思维，从而既提高教学质量，又达到培养能力、发展智力的目的。

四、案例反思

本节课通过观察、猜测、实验等活动，找出了不规则物体瓶子容积的计算方法。培养了通过观察、分析及推理能力以及有顺序地、全面地思考问题的意识。通过小组合作让学生感受数学在现实中的广泛应用，并会用数学的方法来解决实际生活中的问题。作为数学学习的组织者、引导者和合作者，教师在教学中应积极创设问题情境，让学生通过动手操作、自主探索、实践应用等主体活动去亲近数学、体验数学、“再创造”数学和应用数学，真正成为数学学习的主人。

由此可见，在数学教学活动中，学生才是数学学习的主人。每个学生在获得作为一个现代公民所必需的基本数学知识和技能的同时，还应该在情感、态度、价值等方面得到充分的发展。在课堂中让“学生思维动起来，课堂更精彩”，这样的课堂也定将融知识、技能、思维、情感、创造于一体，焕发出生命的活力！也才会唱响民族之魂的主旋律——创新！

七、教师简介

杨琴琴,女，张家界市名优教师、慈利县骨干教师、学科带头人，现任慈利县金慈实验小学教科室主任。

多年来，致力于小学数学课堂教学改革与研究，形成了“真实、简约、有效”的教学风格，20余次在省、市、县参加赛课和技能竞赛等，获得一、二等奖；通过不断的学习、研究、实践，撰写的50多篇论文获省、市级奖励，同时有10余篇论文在国家核心期刊《中小学教育》、《湖南教育》等发表；主持了湖南省教育科学院立项的课题《小学生计算能力要素分析与研究》，先后参加了《示范联研，共促发展》、《小学个性化教学研究》、《农村中小学网络道德教育研究》、《小学“自学互教”高效课堂教学模式研究》、《教学资源公共服务平台的应用研究》等10余项省、市级课题的研究工作；辅导学生参加青少年科技创新大赛多人次获市级奖；曾评为张家界市名优教师、县骨干教师、十佳少先队辅导员，学校教学能手、教学质量先进个人、三八红旗手等。