高二数学理科期末试卷

高二数学（上）期末考

一、选择题：本小题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 不等式x -2x -3

A ．(-3, 1) B．(-1, 3) C．(-∞, -3) (1, +∞) D．(-∞, -1) (3, +∞)

2. 已知平面α的法向量是(2,3, -1)，平面β的法向量是(4, λ, -2)，若α//β，则λ的值是（ ） A ．-

2

1010 B．-6 C ．6 D．

33

3．已知a , b , c 满足c

2

2

4. 已知{a n }是由正数组成的等比数列，S n 表示{a n }的前n 项的和．若a 1=3，a 2a 4=144，则S 10的值是( ) A ．511 B．1023 C．1533 D．3069

5. 下列有关命题的说法正确的是( )

22

A ．命题“若x =1，则x =1”的否命题为：“若x =1，则x ≠1”．

B ．“x =-1”是“x -5x -6=0”的必要不充分条件．

C ．命题“∃x ∈R ，使得x +x +1

2

2

2

x 2

-y 2=1的两个焦点，点P 在双曲线上且∠F 1PF 2=900，则∆F 1PF 2的面积是（ ） 6. 设F 1, F 2为双曲线4A.1 B. C.2 D.5

2

7. 已知向量a =(1, 1, 0) ，b =(-1, 0, 2) ，且k a +b 与2a -b 互相垂直，则k 的值是（ ） A. 1 B.

→

→

→

→

→

→

137 C. D. 555

2

2

8. 若∆ABC 的内角A , B , C 所对的边a , b , c 满足(a +b ) -c =4，且C =60，则a +b 的最小值为( )

A

B ．

C ．

4

D

．8- 3

x 2y 2︒

9．若双曲线2-2=1(a >0, b >0) 的右焦点为F ，若过F 且倾斜角为60的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，

a b

则此双曲线离心率e 的取值范围是（ ） A．[1, 2]

2

B．(1, 2) C．(2, +∞) D ． [2, +∞)

10. 若抛物线y =4x 的焦点是F , 准线是l , 则经过点F 、M （4，4）且与l 相切的圆共有（ ）． A.4个 B.2个 C.1个 D.0个

二、填空题:本大题共5小题，每小题4分，满分20分. 请把答案填在答题纸的相应位置.

1

11．等差数列{a n }中，若a 3+a 4+a 5=12, 则a 1+a 7.

⎧x ≥1, ⎪

12. 已知⎨x -y +1≤0, 则z =x +y 的最小值是 .

⎪2x -y -2≤0⎩

13. 已知正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中，E 为C 1D 1的中点，则异面直线AE 与BC 所成角的余弦值为14. 点P 是抛物线y 2=4x 上一动点，则点P 到点A (0, -1) 的距离与P 到直线x =-1的距离和的最小值是 . 15．设{a n }是公比为q 的等比数列，其前n 项积为T n ，并满足条件a 1>1, a 99a 100-1>0,

论：（1）0

（4）使T n

⑴求a 1, a 2的值；⑵求数列{a n }的通项公式。

x 17．（本小题满分13分）已知a >0, a ≠1，命题p : “函数f (x ) =a 在(0,+∞) 上单调递减”，命题q : “关于x 的不等

a 99-1

a 100-1

式x -2ax +

2

1

≥0对一切的x ∈R 恒成立”，若p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，求实数a 的取值范围. 4

a +c b -a

=， a +b c

18．（本小题满分13分）在△ABC 中，a 、b 、c 分别是角A 、B 、C 的对边，且

（1）求角B 的大小；（2）若△ABC 最大边的边长为7，且sin C =2sin A ，求最小边长．

19．（本小题满分13分）运货卡车以每小时x 千米的速度匀速行驶130千米(50≤x ≤100)(单位：千米/小时) ．假设汽油的价格是每升2元，而汽车每小时耗油(2＋) 升，司机的工资是每小时14元．

360

(1)求这次行车总费用y 关于x 的表达式；(2)当x 为何值时，这次行车的总费用最低，并求出最低费用的值．

P

20．（本小题满分14分）如图，在四棱锥P —ABCD 中，PD ⊥ 底面ABCD ，

底面ABCD 是正方形，PD=DC，E 、F 分别为AB 、PB 的中点。

（1）求证：EF ⊥ CD；（2）求DB 与平面DEF 所成角的正弦值；

（3）在平面PAD 内求一点G ，使GF ⊥ 平面PCB ，并证明你的结论。

x 2y 2

21．（本小题满分14分）已知椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别是

a b A E B F 1（－c ，0）、F 2（c ，0），Q 是椭圆外的动点，满足|F 1|=2a . 点P 是线段F 1Q 与该椭圆的交点，点T 在线段F 2Q 上，并且满足⋅TF 2=0, |TF 2|≠0. （1）设x 为点P 的横坐标，证明|F 1P |=a +

x 2

c

x ；（2）a

2

求点T 的轨迹C 的方程；（3）试问：在点T 的轨迹上，是否存在点M ， 使△F 1MF 2的面积S=b .

若存在，求∠F 1MF 2 的正切值；若不存在，请说明理由.

2

高二（上）期末联考数学试卷参考答案（理科）

一、选择题1—5、BCADD 6—10、ADBDB 二、填空题11、8 12、3 13、

2

14、2 15、（1）（3）（4） 3

三、解答题16、解:由已知得2a n =S n +2 --------① ------------2分

由①得：2a 1=S 1+2⇒a 1=2--------------4分2a 2=S 2+2=a 1+a 2+2⇒a 2=4------------6分

(2)解：2a n+1=S n +1+2-------②

2a n+1-2a n =S n +1-S n =a n+1

②-①得

∴

a n+1

=2a n

------------9分∴数列{a n }以2为首项，以2为公比的等比数列

------------11分即a n =2⋅2n -1=2n ------------13分

17、解：p 为真：0

2

111

≤a ≤，∴00222

分因为p ∧q 为假命题，p ∨q 为真命题，所以p , q 命题一真一假……7分

⎧01

1⎪⎪

p q （1）当p 真q 假⎨……………9分（2）当假真⇒

2a >0

综上，a 的取值范围是(,1) …………………13分

2

a +c b -a 222

=18、解：（Ⅰ）由整理得(a +c ) c =(b -a )(a +b ) ，即ac +c =b -a ，------2分 a +b c

2π2πa 2+c 2-b 2ac 1

=-=-， ∵0

332ac 2ac 2

222

∵sin C =2sin A ，∴c =2a ， ∴a 为最小边，由余弦定理得7=a +4a -2a ⋅2a ⋅(-) ，解得a =1，

2

12

∴a =1，即最小边长为1

130130x 214×130

19、解：(1)行车所用时间为t ＝，y ＝×2×(2＋) ＋x ∈[50,100]．

x x 360x

234013

所以，这次行车总费用y 关于x 的表达式是y ＝x ，x ∈[50,100]．

x 18

[1**********]3

(2)y ＝x ≥2610＝x ，即x ＝1810时，上述不等式中等号成立．

x 18x 18当x ＝10时，这次行车的总费用最低，最低费用为2610元．

20、 PD ⊥面ABCD , ∴PD ⊥DA , PD ⊥DC ，又 底面ABCD 是正方形，∴DA ⊥DC

以DA 、DC 、DP 所在直线为x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系，设AD =a ，

a a a 则D (0,0,0)、（A a ，0，0）、（B a ，a ，0）、C （0，a ，0）、（E a ，0）、F （，0）

222

a a a F （）、（P 0，0，a ）. 222

3

P

A

E B

a a

（）1EF ⋅DC =（-，0）（⋅0，a ，0）=0，

∴EF ⊥DC .

22

（2）设平面DEF 的法向量为n =(x , y , z ).

a a a ⎧⎧a (x , y , z ) ⋅(, , ) =0, ⎪⎪2(x +y +z ) =0. ⎧⎪n ⋅DF =0⎪⎪222

由⎨ ，得⎨⇒⎨

a ⎪⎪(x , y , z ) ⋅(a , ,0) =0, ⎪ax +a y =0. ⎩n ⋅DE =0

⎪⎪⎩2⎩2

BD ⋅n

取x =1, 则y =-2, z =1, ∴n =(1,-2,1).cos ===BD n ∴DB 与平面

DEF 所成角的正弦6

a a a

（3）设G （x ，0，z ），则G ∈平面PAD . 。FG =（x -, -, z -）,

222

a a a a a FG ⋅CB =（x -, -, z -）⋅(a ,0,0) =a (x -) =0, x =;

22222

2 a a a a a

FG ⋅CP =（x -, -, z -）⋅(0,-a , a ) =+a (z -) =0, z =0.

22222a

∴G 点坐标为（，0，0），即G 点为AD 的中点.

2

解法二、(1)证明： PD ⊥面ABCD ∴PD ⊥CD ，又 ABCD 是正方形∴AD ⊥CD PD AD =D ∴CD ⊥面PAD ∴CD ⊥PA

E、F 分别为AB 、PB 的中点∴EF PA ，故CD ⊥EF

（证法二）取BD 的中点O ，连结FO 、OE . AE =EB ，∴OE //AD 又 AD ⊥CD ，∴OE ⊥CD . FP =FB ，∴FO //PD .

PD ⊥底面ABCD ，∴FO ⊥底面ABCD ，∴FO ⊥CD

OE OF =O ∴CD ⊥面OEF EF ⊂面OEF ∴CD ⊥

EF

（2）设B 到平面DEF 的距离为d . V B -DEF =V F -DEB ，∴

11

⋅d =⋅FO . S S ∆DEF ∆DEB

33

1121 设底面边长为a ，则FO =a ，=a ，EF =AP =，

2S ∆DEB 4221DF =PB =，DE ==.

222325262

a +a =a =DE 2，∴∠DEF =90o . ∴S ∆DEF =a ，4448

2111d 3 ∴a ⋅d =a 2⋅a ⇒d =a . 设DB 与平面DEF 所成角θ，则sin θ==，842DB 66 EF 2+DF 2=

∴DB 与平面DEF . 6

（3）答：G 是AD 的中点（方法一）取. PC 的中点H ，连结DH . PD =DC ，∴DH ⊥PC

4

又 BC ⊥平面PDC ，∴BC ⊥DH ，∴DH ⊥平面PCB . 取DA 中点G ，连结GF 、FH . HF //

1

BC //DG ，∴四边形DGFH 为平行四边形 2

∴DH //GF ，∴GF ⊥平面PCB .

（方法二）取AD 中点G ，连结PG 、GB 、GF .

∆PGD ≅∆BGA ，∴PG =GB . 又 F 为PB 中点，∴GF ⊥PB . 连结GO . FO ⊥底面ABCD ，OG ⊥AD ，∴FG ⊥AD ，∴FG ⊥BC

21、解：

（1）证法一：设点P 的坐标为(x , y ). 由P (x , y ) 在椭圆上，得

∴FG ⊥平面PBC .

b 22

|F 1|=(x +c ) +y =(x +c ) +b -2x

a

c

=(a +x ) 2.

a

2

2

2

2

由x ≥a , 知a +

c c

x ≥-c +a >0，所以 |F 1|=a +x . „„„„„„„„„3分 a a

(x +c ) 2+y 2, r 2=(x +c ) 2+y 2.

证法二：设点P 的坐标为(x , y ). 记|F 1|=r 1, |F 2|=r 2, 则r 1=

22

由r 1+r 2=2a , r 1-r 2=4cx , 得|F 1|=r 1=a +

c x . a

（2）解法一：设点T 的坐标为(x , y ). 当||=0时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当||≠0且|TF 2|≠0时，由||⋅|TF 2|=0，得⊥TF 2. 又||=|PF 2|，所以T 为线段F 2Q 的中点. 在△QF 1F 2中，|OT |=

1

|F 1|=a ，所以有x 2+y 2=a 2. 综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2+y 2=a 2. 2

解法二：设点T 的坐标为(x , y ). 当|PT |=0时，点（a ，0）和点（－a ，0）在轨迹上.

当||≠0且|TF 2|≠0时，由⋅TF 2=0，得⊥TF 2. 又||=|PF 2|，所以T 为线段F 2Q 的中点. x '+c ⎧x =, ⎪⎪2''设点Q 的坐标为（x , y ），则 ⎨

⎪y =y '. ⎪2⎩

⎧x '=2x -c ,

因此⎨ ①

'⎩y =2y .

由|F 1Q |=2a 得(x '+c ) +y '=4a . ②

5

2

2

2

将①代入②，可得x 2+y 2=a 2.

综上所述，点T 的轨迹C 的方程是x 2+y 2=a 2. „„„„„„„„7分

（3）解法一：C 上存在点M （x 0, y 0）使S=b 2的充要条件是

22⎧x 0+y 0=a 2,

⎪ ⎨12

⎪⋅2c |y 0|=b . ⎩2

③ ④

2b 2b . 所以，当a ≥时，存在点M ，使S=b 2； 由③得|y 0|≤a ，由④得|y 0|≤

c c

2

当a

c

2

当a ≥b 时，MF 1=(-c -x 0, -y 0), MF 2=(c -x 0, -y 0) ，

c

22

由MF 1⋅MF 2=x 0-c 2+y 0=a 2-c 2=b 2，

MF 1⋅MF 2=|MF 1|⋅|MF 2|cos ∠F 1MF 2，

S =

1

|MF 1|⋅|MF 2|sin ∠F 1MF 2=b 2，得tan ∠F 1MF 2=2. 2

2

解法二：C 上存在点M （x 0, y 0）使S=b 的充要条件是

22③ ⎧x 0+y 0=a 2, ⎪ ⎨1

2

⎪⋅2c |y 0|=b . ④ ⎩2

b 2b 4b 2b 222

. 上式代入③得x 0=a -2=(a -)(a +) ≥0. 由④得|y 0|≤c c c c

2b 于是，当a ≥时，存在点M ，使S=b 2； c

2

当a

c

2

y 0y 0b 当a ≥时，记k 1=k F M =， , k =k =2F 2M 1

c x 0+c x 0-c

由|F 1F 2|

12

1+k 1k 2

6