线性代数课后习题解答第一章习题详解

第一章 行列式

1. 利用对角线法则计算下列三阶行列式：

2

1

a b

c

1

1

1

c ； （4）c

2

x y x +y

y x +y x

x +y x y

（1）1-4-1； （2）b c a ; （3）a b

22

-183c a b a b

2

1

.

解 （1）1-4-1=2⨯(-4) ⨯3+0⨯(-1) ⨯(-1) +1⨯1⨯8-0⨯1⨯3-2⨯(-1) ⨯8-1⨯(-4) ⨯(-1) -183

=-24+8+16-4=-4

a

b

c

（2）b c a =acb +bac +cba -bbb -aaa -ccc =3abc -a 3-b 3-c 3

c a b

1

1

（3）a b

22a b

x

1

c =bc 2+ca 2+ab 2-ac 2-ba 2-cb 2=(a -b )(b -c )(c -a ) 2c y x +y x

（4）y x +y

x +y

333

x =x (x +y ) y +yx (x +y ) +(x +y ) yx -y -(x +y ) -x y

=3xy (x +y ) -y -3x y -3y x -x -y -x =-2(x +y )

3

3

3

2

2

3

3

3

2. 按自然数从小到大为标准次序，求下列各排列的逆序数： （1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2； （3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3； （5）1 3 … (2n -1) 2 4 … (2n ) ； （6）1 3 … (2n -1) (2n ) (2n -2) … 2. 解（1）逆序数为0

（2）逆序数为4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序数为5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1 （4）逆序数为3：2 1，4 1，4 3 （5）逆序数为

n (n -1)

2

：

3 2 1个 5 2，5 4 2个 7 2，7 4，7 6 3个 ……………… …

(2n -1) 2，(2n -1) 4，(2n -1) 6，…，(2n -1) (2n -2) (n -1) 个 （6）逆序数为n (n -1)

3 2 1个 5 2，5 4 2个 ……………… …

(2n -1) 2，(2n -1) 4，(2n -1) 6，…，(2n -1) (2n -2) (n -1) 个

4 2 1个 6 2，6 4 2个 ……………… … (2n ) 2，(2n ) 4，(2n ) 6，…，(2n ) (2n -2) (n -1) 个

3. 写出四阶行列式中含有因子a 11a 23的项.

解 由定义知，四阶行列式的一般项为(-1) a 1p 1a 2p 2a 3p 3a 4p 4，其中t 为p 1p 2p 3p 4的逆序数．

由于p 1=1, p 2=3已固定，p 1p 2p 3p 4只能形如13□□，即1324或1342. 对应的t 分别为

0+0+1+0=1或0+0+0+2=2

t

∴-a 11a 23a 32a 44和a 11a 23a 34a 42为所求.

4. 计算下列各行列式： ⎢4⎢1（1）⎢

⎢10⎢⎣0解

410

124⎥⎢21

⎢3-1202⎥

⎥； （2）⎢

520⎥⎢12117⎥⎢⎦⎣50124202

c 2-c 3

41⎥

⎢-ab

21⎥

⎥； （3）⎢bd

⎢32⎥

⎣bf

62⎥⎦

ac -cd cf

10⎢a

ae ⎥

⎢-1b 1⎥de ； （4）⎢

⎥⎢0-1c -ef ⎦

0-1⎢⎣00⎥

0⎥⎥ 1⎥d ⎥⎦

41

-12-10230

2

4-1-1023

2-14

⨯(-1)

4+3

4-11023

-2 14

(1)

520c 4-7c 31170

c 2+c 3c 1+

2

=1

2-14

1090

10-2=0 1440

r 4-r 2

=1

90

c 3

172

120

2

120

41

c 4-c 2

212

121

403040

2120

403000

(2)

3-12115

3262

3-12215

3062

3-122

r 4-r 1

3-12210

=0

-ab

ac -cd cf 1b -10

01c

ae de -ef 0

0r 1+ar 21

-b c -c c 0

e -e

a 1c

001

-11

1-11

1

1=4abcdef -1

(3)bd

bf

a

=adf b b

e =adfbce 1

1+ab b -10

(4)

-100

-100

+ab a c

01

=(-1)(-1)

2+1

-10

-1d -1d

+ab -1

ad 1+cd

-1d

c 3+dc 2

+ab -10

a c -1

ad

1+cd =(-1)(-1) 3+2

=abcd +ab +cd +ad +1

a

2

ab b

2

ax +by ay +bz az +bx ax +by

az +bx

3

3

x z

y z x

z x ; y

3

5. 证明: (1)2a a +b 2b =(a -b ) ; (2)ay +bz

az +bx 111

ax +by =(a +b ) y ay +bz

a

2222

(a +1) (b +1) (c +1) (d +1)

2222

(a +2) (b +2) (c +2) (d +2)

2222

(a +3) (b +3) (c +3) (d +3)

2222

(3)

b c d

=0;

11b b b

24

1c c c

24

1d d d

0-1 0

24

(4)

a a a

24

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d ) ⋅(c -d )(a +b +c +d ) ;

x 0

-1x 0a n -1

00x a 2

00 -1x +a 1

=x +a 1x

n

n -1

(5)0a n

+ +a n -1x +a n .

a n -2

证明 (1)左边=

c 2-c 1c 3-c 1

3

a

2

ab -a b -a 0

2

b -a 0

22

3+1

2a 1

2b -2a =(-1)

ab -a b -a

2

b -a

22

2b -2a

=(b -a )(b -a )

a b +a 1

2

=(a -b ) =右边

(2)左边

按第一列分开

x a y z

x

y z x a

2222

x a y z

ay +bz az +bx ax +by

z y z

az +bx ay +bz

y x

2

y x z x y

ay +bz az +bx ax +by az +bx ax +by ay +bz

az +bx ax +by ay +bz 分别再分

x a y z

3

ax +by +b z

分别再分

ay +bz az +bx ax +by x

3

y z x

z

3

y x

z x y

x y z

2

x +0+0+b z x +b z y

z y

2222

y z x

=a y

z

3

x +b y

z

x (-1) =右边 y (a +2) (b +2) (c +2)

2222

2222

2

a +(2a +1) b +(2b +1) c +(2c +1) d a

2222

(a +3) (b +3) (c +3) (d +3) a +b c d

2222

a 2a +14a +42b +12c +1

4b +44c +4

6a +96b +96c +9

(3) 左边=

b c d

c 2-c 1b 2c 3-c 1c 2c 4-c 1d

2

+(2d +1) (d +2) a b c d

4a +44b +44c +4

6a +96b +96c +9

2222

2d +14d +46d +9

14a +414b +414c +4

6a +96b +96c +9

按第二列分成二项

2

b c d

4d +46d +9a b c d

49494949

+a b c d

14d +46d +96a 6b 6c 6d

=0

c 3-4c 2a 2

第一项

c 4-6c 2b 2第二项

c 3-4c 2c c 4-9c 2d

22

14a 14b 14c 14d

10b -a b -a b -a

42

24

24

0c -a c -a c -a

24

0d -a d d

24

(4) 左边=

a a a

24

b -a

24

c -a

22

2

d -a

22

-a -a

=

2

b -a

2

2

c -a

2

2

d

2

2

-a

2

22

b (b -a ) c (c -a ) d (d 1c +a

2

2

-a )

11d +a

0c -b

=(b -a )(c -a )(d -a )

2

b +a

1

0d -b

b (b +a ) c (c +a ) d (d +a )

=(b -a )(c -a )(d -a ) ⨯

2

b +a

2

2

b (b +a ) c (c +a ) -b (b +a ) d (d +a ) -b (b +a )

22

=(b -a )(c -a )(d -a )(c -b )(d -b ) ⨯

1

(c +bc +b ) +a (c +b ) (d

2

2

2

1

+bd +b ) +a (d +b )

2

=(a -b )(a -c )(a -d )(b -c )(b -d ) (c -d )(a +b +c +d )

(5) 用数学归纳法证明

当n =2时, D 2=

x a 2

-1x +a 1

=x +a 1x +a 2, 命题成立.

2

假设对于(n -1) 阶行列式命题成立，即

n -1n -2

+ +a n -2x +a n -1, D n -1=x +a 1x

则D n 按第1列展开:

-1

D n =xD n -1+a n (-1)

n +1

0 00x

00-1

=xD n -1+a n =右边

x 1

-1 1

所以，对于n 阶行列式命题成立.

6. 设n 阶行列式D =det(a ij ) , 把D 上下翻转、或逆时针旋转90 、或依副对角线翻转，依次得

a n 1 a nn

D 1=

a 11

2n (n -1)

a 1n a nn a 11

，D 3=a n 1

a nn

a 1n

， a 11

， D 2=a 1n

a n 1

证明D 1=D 2=(-1)

证明 D =det(a ij )

D , D 3=D .

a n 1 a nn

∴D 1=

a 11

a 1n

=(-1)

n -1

a 11

a 1n a nn

=(-1)

n -1

a 11

(-1)

n -2

a 1n

a 2n

a nn =

a n 1

a 21 a n 1a 31

a 21 a 2n

a 3n

n (n -1) 2

a 11

=(-1)

n -1

a 1n

(-1)

n -2

(-1)

a n 1

=(-1)

1+2+ +(n -2) +(n -1)

D =(-1) D

a n 1 a nn

n (n -1)

a 11

n (n -1) n (n -1)

同理可证D 2=(-1)

2

=(-1)

2

D

T

=(-1)

2

D

a 1n a nn

n (n -1) n (n -1) n (n -1)

D 3=(-1)

2

D 2=(-1)

2

(-1)

2

D =(-1)

n (n -1)

D =D

7. 计算下列各行列式（D k 为k 阶行列式）：

a

1 1x

a x a

a

n

(1)D n =

, 其中对角线上元素都是a ，未写出的元素都是0； a

a a x

n

(2)D n =

a a

;

(a -1) (a -1)

(a -n )

n

(3) D n +1

a =

a 1

n -1n -1

(a -n )

n -1

; 提示：利用范德蒙德行列式的结果．

a -11a -n 1

a n

0a 1b 1c 1

c n

0d 1

b n

(4) D 2n =0

0;

d n

(5)D n =det(a ij ), 其中a ij =i -j ;

+a 1

1 1

11

(6)D n =

1 1

1+a 2

, 其中a 1a 2 a n ≠0.

1+a n

解

a 0001

0a 000

00a 00

000a 0

1000a 0

按最后一行展开

(1) D n =

00a 0

0000

000a

1000

+(-1)

2n

a

(-1)

n +1

a ⋅a

a

(n -1) ⨯(n -1)

(n -1)(n -1)

00

(再按第一行展开)

a

=(-1)

n +1

⋅(-1)

n

a

(n -2)(n -2)

+a =a -a

n n n -2

=a

n -2

2

(a -1)

(2)将第一行乘(-1) 分别加到其余各行，得

x a -x D n =a -x

a -x

a x -a 0 0

a 0 0

a 00 x -a

x -a

再将各列都加到第一列上，得

x +(n -1) a

D n =

0 0

a x -a 0 0

a 0 0

a 00 x -a

=[x +(n -1) a ](x -a )

n -1

x -a

(3) 从第n +1行开始，第n +1行经过n 次相邻对换，换到第1行，第n 行经(n -1) 次对换换到第2行…，

经n +(n -1) + +1=

n (n +1)

2

次行交换，得

1

n (n +1)

1a -1 (a -1)

n -1n

1

D n +1=(-1)

2

a

a

n -1n

a -n (a -n ) n -1

(a -n )

n

a (a -1)

此行列式为范德蒙德行列式

n (n +1)

D n +1=(-1)

2

∏[(a -i +1) -(a -

n +1≥i >j ≥1

j +1)]

n (n +1)

n (n +1)

=(-1)

2

∏

j )

[-(i -j )]=(-1)

2

∙(-1)

n +(n -1) + +1

∙

∏[(i -

n +1≥i >j ≥1

j )]

n +1≥i >j ≥1

=

∏(i -

n +1≥i >j ≥1

a n

a 1b 1c 1

c n

0d 1

d n b n

(4) D 2n =0

a n -1

按第一行展开

a 1c 1

0 b 1d 1

b n -1

00

a n -1

a 1b 1c 1d 1

b n -10

a n

00

+(-1) 0

2n +1

b n

c n -10

都按最后一行展开

d n -10

c n -1

c n

d n

d n -10

a n d n D 2n -2-b n c n D 2n -2

由此得递推公式：

D 2n =(a n d n -b n c n ) D 2n -2

n

即 D 2n =

∏(a d

i

i =2

i

-b i c i ) D 2

而 D 2=

a 1c 1

n

b 1d 1

=a 1d 1-b 1c 1

得 (5)a ij =i -j

D 2n =

∏(a d

i

i =1

i

-b i c i )

01

D n =det(a ij ) =

23

1012

2101

3210

n -1n -2n -3

r 1-r 2

-1-1-1-1

1-1-1-1

11-1-1

111-1

11110

n -4r 2-r 3, 0

0000 n -1

0a 2-a 30 00

00a 3 00

n -1n -2n -3n -4

-1-1

c 2+c 1, c 3+c 1

c 4+c 1,

n -1n -2n -3n -4

0-2-2-2

00-2-2

000-2

-1-1

=(-1)

n -1

(n -1) 2

n -2

n -12n -32n -42n -5

a 1

-

0000

0000

1111 1

+

a

1

1 1

11

c 1-c 2, c 2-c 3

c 3-c 4,

-a 200 00

(6)D n =

1 1

1+a 2

-a 4

1+a n

a

n -1

a

n -1

-a n 1+a n

a 1-a 2

按最后一列展开（由下往上）

0a 2-a 30 00

00a 3 00

0000 -a n -2

0000 a n -20

0000 0-a n

(1+a n )(a 1a 2 a n -1) -

0 00

-a 4

a 1-a 2+

0 00

0a 2-a 3 00

00

000 -a n -1

000 a n -1-a n

-a 200 00

a 2-a 30 00

0a 3 00

000 -a n -1

000 a n -1-a n

a 3 00

+ +

-a 4

=(1+a n )(a 1a 2 a n -1) +a 1a 2 a n -3a n -2a n + +a 2a 3 a n

n

=(a 1a 2 a n )(1+

∑a

i =1

1

i

)

8. 用克莱姆法则解下列方程组：

=1, ⎧5x 1+6x 2

⎧x 1+x 2+x 3+x 4=5, ⎪

x 1+5x 2+6x 3=0, ⎪⎪⎪⎪x 1+2x 2-x 3+4x 4=-2,

x 2+5x 3+6x 4=0, (1) ⎨ (2) ⎨

⎪⎪2x 1-3x 2-x 3-5x 4=-2, x 3+5x 4+6x 5=0, ⎪⎪3x +x +2x +11x =0;

234⎩1

⎪x 4+5x 5=1. ⎩

1121121

1-121-12-12-1023

14111411-911-461201411

==

100

11-5

1-2-1151

102

1381911=

1101001=00

1-2-5-551

13814-102=

110000-9911

=

113142-515

-120

-9119=-142

解 (1)D =

135

01-2

0100

2-3-1-5-3-700-13-1-54

0-25=

00

D 1=

-201-5

-2-3-1-5-2-3-1-50-13-3-23

0-13-3-23

1-5-1-9=00010

1005-7

2-101-2-1

1138142138

=100

500

1339

1231

=100

500

13-10

12-19-284

=-284

=-142

=

0001

1005

1

D 2=

1-2-13

2

0-10-1

2-2-1-50-120-15

-3-72311

1D 3=

13

∴

121

D 1D

5-20

=1,

1411

x 2=

D 2D =2,

x 3=

D 3D =3,

1

=-426 ; D 4=

13

x 4=

121

D 4D

15

=142

-1-22

2-3-2-52-3-1-2

x 1=

=-1

5600015600

5600

按最后一行

展开

(2) D =01560

0015600015

5D '-

[1**********]6

=5D '-6D ''

=5(5D ''-6D ''') -6D ''=19D ''-30D '''=65D '''-114D ''''=65⨯19-114⨯5=665

'的余子式, D ''', D ''''类推) (D '为行列式D 中a 11的余子式, D ''为D '中a 11

1600005600D 1=01560

[***********]00D 2=00560

0015601015

=-65-1080=-1145

按第二列展开

6000

按第一列展开

D '+

[1**********]6

44

=D '+6=19D '''-30''''+6=1507

1600-

[1**********]5

-

[**************]6

560

=156-5⨯6 015

3

5610015000D 3=01060

0005600115=19+6⨯114=703

按第三列展开

[**************]5

+

[**************]6

160015

560016

=056+6150

5601015600D 4=01500

[***********]00D 5=01560

0015000011

按最后一列

展开按第四列展开

1560-

[1**********]5

-

[**************]6

560

=-5-6156=-395

015

[**************]1

+D '=1+211=212

∴

x 1=

1507665

;

x 2=-

1145665

;

x 3=

703665

;

x 4=

-395665

;

x 4=

212665

．

9. 问λ, μ取何值时, 齐次线性方程组

⎧λx 1+x 2+x 3=0⎪

⎨x 1+μx 2+x 3=0有非零解？ ⎪x +2μx +x =0

23⎩1

λ

解 D 3=1

1

11

μ1=μ-μλ， 齐次线性方程组有非零解，则D 3=0 2μ1

即 μ-μλ=0 得 μ=0或λ=1

不难验证，当μ=0或λ=1时, 该齐次线性方程组确有非零解.

⎧(1-λ) x 1-2x 2+4x 3=0⎪

⎨2x 1+(3-λ) x 2+x 3=0 有非零解？ ⎪x +x +(1-λ) x =0

23⎩1

10. 问λ取何值时, 齐次线性方程组

解

-λD =

21

3

-23-λ1

411-λ

=

-λ21

-3+λ1-λ0

411-λ

3

2

=(1-λ) +(λ-3) -4(1-λ) -2(1-λ)(-3-λ) =(1-λ) +2(1-λ) +λ-3

齐次线性方程组有非零解，则D =0 得 λ=0, λ=2或λ=3

不难验证，当λ=0, λ=2或λ=3时，该齐次线性方程组确有非零解.