高中数学说题论文1
x 2y 2
题目： 如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ，0) ，
a b ⎛都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． e ) 和 e F 2(c ，0) ．已知(1，
⎝（1）求椭圆的方程；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，
AF 2与BF 1交于点P ．
（第19题）
（i
）若AF 1-BF 2=，求直线AF 1的斜率；（ii ）求证：PF 1+PF 2是定值．
1．说题意
条件：①椭圆过已知点，且已知点与离心率有关；②焦点在x 轴上的标准形式； 结论：求椭圆方程及焦半径的斜率以及与椭圆有关的定值问题； 涉及的知识点：①椭圆的标准方程；②椭圆的简单几何性质；③椭圆的定义；④两点
间的距离公式；⑤直线方程.
2．说题目出处
本题出自2012年高考数学江苏卷第19题
3．说解法
在对第(1)小题做出解答，并总结了规律后，说题者重点对第(2)小题的解法进行了详细分析. 具体如下：
c 1c 22
（1）由题设知a =b +c ，e =，由点(1, e )在椭圆上，得2+22=1, 解得b =1，
a a a b
2
2
2
⎛e 23a 2-132
a =2
+=1, 于是c =a -1，
又点 e 在椭圆上，所以2+2=1，即解得4 a 4b a 4⎝⎭
2
2
x 2+y 2=1， 因此，e =，所求椭圆的方程是2总结规律：求解椭圆方程一般采用待定系数法，只要求出a , b 就可以了，在求解过程中，注意隐含条件a =b +c 。
经探究发现第二小题有以下四种解法：
（2）法一：由(1)知F ,0), F 2(1,0), 又直线AF 1与BF 2平行, 所以可设直线AF 1的方程为1(-1
2
2
2
x +1=my , 直线BF 2的方程为x -1=my , 设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), y 1>0, y 2>0；
⎧x 122
⎪+y 1=122
由⎨2得(m +2) y 1-2my 1-1=
0，解得y 1=
⎪x +1=my
⎩11
故AF 1===①
同理：BF 2=②
22
（ⅰ）由①②得AF 1-BF 2=m =2， A , B 点在x 轴上方=2
m +22
∴m >
0，故m =；
所以直线AF 1的斜率为（ⅱ）因为直线AF 1 BF 2，
1。 =
m 2
∴
PB +PF 1BF 2+AF 1AF 1PB BF 2
=, 于是=, 故PF 1=BF 1， PF 1AF 1PF 1AF 1AF 1+BF 2
AF 1
BF 2；
AF 1+BF 2
由B
点在椭圆上知BF 1=1+BF 2=
PF
()
同理PF 2=
因此：
BF 2
AF 1
AF 1+BF 2
()
PF 1+PF 2=
AF 1BF 22AF 1⋅BF 2
，
BF 2+AF 1=AF 1+
BF 2AF 1+BF 2AF 1+BF 2
(
)()
又由①②知AF 1+BF 2=
m 2+1)m 2+2
m 2+1
，AF 1⋅BF 2=2
m +2
所以PF 1+PF 2==；因此PF 1+PF 2是定值。 22
法二：(ⅰ) 设AF 1的直线方程为：y =k (x +1) ，与椭圆方程联列消去y 得：
1+； (1+2k )(x +1) -2(x +1) -1=
0，解得：x A +1=2
2k +1
2
2
-1同理设BF 2的直线方程为：y =k (x -
1) 与椭圆方程联列解得：；
x B +1=2
2k +1∴AF 1-BF 2==
2k 2+12
112k 4+4k 2-5=0, ∴
k 2=, A,B 点在轴上方k >0, ∴k =
22
（
ⅱ
）
设，
AF 1t t 11
=t , 则PF 1=BF =BF ), PF 1=AF =AF ) ；
BF 2t +1t +1t +1t +1
2AF 1x A +1∴PF 1+PF 2=
; AF 1
BF 2∴t ==
t +1x B -12
AF 1=12
== ∴PF 1+PF 2=解法三：(ⅰ) 由（1）知F ,0), F 2(1,0) ，a =1(-
1
b =1, e =
，设2
A (x , ) ), (B 2x 1, y 12y
AF 1=a +ex 1, BF 2=a -ex 2
∴AF 1-BF 2=a +ex 1-(
a -ex 2)=
x 1+x 2)=， 22
AF 1BF 2a +ex 1a -ex 2
=⇒=，
将x 1+1x 2-1x 1+1x 2-1
，
所以
：x 1+x 2，又 AF 1 BF 2, ∴
x 2=x 1代入，
因为A , B 在x 轴上方、且AF 1>
BF 2，所以解得x 1=
，代入椭圆方程解得
y 1=
4
所以k AF 1=
y 1 =
x 1+12
（ⅱ）设A (x 1, y 1), B (x 2, y 2), P (x 0, y 0)；AF 1 BF 2⇒x 2y 1-x 1y 2=y 1+y 2， AF 2的方程:y =
y 1y
(x -1), BF 1的方程:y =2(x +1)； x 1-1x 2+1
y 1y 2PF 1y 0PF 2y 0
；又=, =,
BF 1y 2AF 2y 1y 1+y 2
x 1, BF 1=a +ex 2=x 2； 则P 点的纵坐标为：y 0=
AF 2=a -ex 1=
∴PF 1+PF 2=
值。
a (y 1+y 2) +e (x 2y 1-x 1y 2)a (y 1+y 2) +e (
y 1+y 2)为定==a +e =
y 1+y 2y 1+y 22
解法四：（ⅰ）设左焦点到左准线的距离为p =
1、e =则
，AF 1和BF 2的倾斜角为θ，2
；
AF 1=
ep ep
, BF 2=
1-e cos θ1+
e cos θ
2e 2p cos θcos θAF 1-BF 2=== 22
11-e cos θ1-cos 2θ2
将cos θ=
2
1tan 2θ+1
=
142
12k +4k -5=0， 代入上式化简得：
k 2+1
2
因为A , B 在x 轴上方、且AF 1>
BF 2，所以解得：k =
1, k =。 22
（ⅱ） AF 1=
ep ep AF 11+e cos θ
, BF 2==；∴；
1-e cos θ1+e cos θBF 21-e cos θ
AF 1 BF 2∴
PF 11+e cos θ1+e cos θ
=; PF 1=(2a -BF 2) ； BF 122
同理：PF 2=
1-e cos θ(2a -AF 1)
∴PF 1+PF 2=2a -ep =为定值。 22
4．说拓展
x 2y 2
推广：如图，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆2+2=1(a >b >0) 的左、右焦点分别为F 1(-c ，0) ，
a b ⎛都在椭圆上，其中e 为椭圆的离心率． e ) 和 e F 2(c ，0) ．已知(1，
⎝（1）求椭圆的方程；
（2）设A ，B 是椭圆上位于x 轴上方的两点，且直线AF 1与直线BF 2平行，AF 2与BF 1交于
k ，若1≤k ≤2，求a 的范围。 点P ．若AF 1的斜率为1-BF 2=a ，设直线AF