第11章 分析与综合

第11章 分析与综合

11．1 分析与综合概述

11．1．1 分析的意义及其作用

分析是人们认识事物的一种基本方法，人们对客观事物的认识是从感觉开始 的。感觉是客观事物的各种个别属性通过一定的感觉器官在人脑中的反映，经过 人的大脑的组合，人获得清晰的客观事物的形象。这是感觉分析的过程，它奠定 抽象分析的基础。抽象分析则是将思维对象的整体分解为各个部分、各个方面、 各个层次或各个环节、各种因素而分别加以考察的思维方法。人们通过分析将思 维对象的各个方面分解开来，然后一个一个地分别加以考察研究，才有可能深刻 地认识事物，把握思维对象。比如人们对自然数的研究，当把它分解为奇数和偶 数、质数和合数等等，分别进行考察研究后，人们才获得了对自然数的更深刻的 认识。可见，分析的主要作用是把整体分解为部分，把复杂转化为简单，把一般 分解到个别，从而把人脑对客观事物的思维引入事物的内部，通过对事物的主要 矛盾和次要矛盾、事物的共性和个性以及事物的内部联系等等的分析研究，获得 对事物的本质及其规律的深刻认识。

在科学研究包括在数学研究中，分析还被看作是从结果追溯到产生这一结果 的原因的一种思维方法。比如解答应用题，可以从问题出发，根据数量关系，找 出要解决这个问题所需的条件，如果这些条件中的某个在应用题中并非已知，就 把它作为新问题，找出要解决它的条件，这样逐次逆推，直到所需的条件都是已 知条件，从而可以解答为止。这种分析方法广泛应用在数学问题的证明、解答、 计算、作图中，是一种十分重要的解题方法。

11．1。2综合的意义及其作用

在认识事物的过程中，还有一种与分析完全相反的思维过程，它就是综合。 综合是把通过分析所得到的思维对象的各个部分、各个方面、各个层次、各种因 素的认识联结起来，以形成一个统一的整体认识。人们通过感觉分析所感知的事 物的各种属性，经过大脑的整合而产生的知觉也是一种综合，它是人对作用于感 官的客观事物的各种属性的整体反映，它所得到的对象的完整形象只是人对事物 的感性认识。然而只有通过思维过程的理性分析，和在分析基础上的抽象的综合， 人们才能真正地把握思维对象，达到对事物整体的深刻的理性认识。比如通过综 合把对自然数、零、分数、负数的认识提高到对有理数的认识；把对有理数、无 理数的认识提高到对实数的认识等，使人们对数的本质的认识不断地深化。可见， 综合的主要作用就是把部分统一为整体，把片面概括为全面，把个别上升为一般， 其目的就是要把通过分析所得到的思维对象的各种认识组成一个统一的有机的整 体，以求在总体上把握事物，达到对事物本质及其规律性的更深刻认识。 在科学研究，包括在数学研究中，与分析相反，综合则被看成是从原因推导 到它所产生的结果的另一种思维方法。比如解答应用题，就要从已知条件出发， 根据数量关系，推出由这些条件所能去求得的结果，再把这些结果作为已知条件， 与原来的条件合在一起，推出新的结果，这佯逐次推断，一直推到题目所要求的 答案。综合法同样广泛地应用在数学问题的证明、解答、计算、作图中，也是十 分重要的解题方法。

11．1-3分析与综合的辩证关系

分析只有在其出发点是某种综合体(即未加分解的整体) 的条件下才能进行； 同样的，综合也只有当其出发点是某种被分解成各个部分或各个方面的整体时才 能进行。可见，分析与综合是互为存在的条件，综合必须以分析为基础，没有分

析就没有综合，因为只有分析才能提供研究对象的各个部分的知识，使探求对象 各个部分的相互联系以形成一种新的更深层次的整体性认识的综合成为可能；同 样地，分析必须依赖于综合，任何分析总要在综合知识的指导下，从某一整体性 的原则出发，才能避免盲目性，对研究对象的各个部分或各个方面进行正确的分 析。

另一方面，分析与综合的辩证关系还在于它们在一定条件下的互相转化。在 认识的发展过程中，当思维经过分析得到整体的各方面和各部分的知识，需要在 更高的层次上把握事物的整体时，思维活动就由分析转化为综合；而当思维经过 综合，使对事物整体的认识进入一个新的境界，又为进一步的分析提供了新的要 求和可能，思维活动又由综合转化为分析。由分析转向综合，又由综合转向分析， 这样循环往复，是人类认识发展，建立科学理论体系的辩证过程。人们对数的本 质的认识和整个数学理论体系建立的过程，就是这样一种由分析到综合、又由综 合到分析的辩证发展过程。

需要注意的是，在具体研究中，分析总为一定的感性材料所制约，而人类在 一定历史时期的经验材料总有它的局限性，由此所作的分析，必然有它一定的局 限；另外，分析着眼于局部的研究，把本来相互联系的东西暂时割裂开来，这就 可能将人的眼光限制在狭隘的领域里，造成一种孤立、片面看问题的习惯。因此， 我们要把握分析与综合的辩证关系，注意用综合的思维克服分析的局限。 11．1．4分析与综合应用举例

1．运用分析综合的方法指导教学过程

例如，“有余数的除法”一节的教学，知识内容有余数的概念、试商和余数必 须比除数小等三个要点。传统的教法主要失之于未能让学生通过自己的思维来学 习数学知识。笔者认为设计这一节的新教法，主要是引导学生在动手操作中发现 矛盾、分析矛盾、解决矛盾。

首先，找准知识连接点，揭示矛盾，建立有余的概念。要引导学生动手分9 个苹果，规定每盘分的要同样多，便产生了有的正好分完，有的分后有余，要及 时将整分和分后有余的分别板书。

然后再指导学生将分后有余的情况，以摘录条件的形式抽象成横式，如 9÷2=4…l，9÷4=2…1等等。

第二步，运用知识迁移规律，探索有余数除法的计算法则。有余数的除法， 用口诀求商就不那么方便了。如18÷5，必须思考，一个数与5相乘，积比18略 小一点，这是学生的难点。要利用学生前面学过的“括号里最大能填几”迁移过 来，使学生化难为易。

第三步，组织横式计算，系统整理，找出余数一定要比除数小的规律。给出 一组除数不变的式题，让学生观察比较余数与除数的大小关系，启发学生自己找 出规律。然后让学生再思考，“余数与除数一样大可不可以?”“余数会不会比除数 还大?”从反面来加深理解。基本训练之后，再出示两道思考题(填空)

(i)17÷?=3…? (ii)?÷8=2…?

进一步围绕重点把学生的思维活动向较深层次发展。

上述教学过程各个环节的实施，体现了分析与综合统一于相互转化上。教学 过程中从现象到本质是以分析为主的，一旦达到了对事物奉质的认识，就要用这 个本质说明原来的现象，揭示规律的过程就以综合为主。随着认识的发展，还可 以设置一个障碍让学生思考，使认识在新的层次上再转入分析，学生获取的数学 知识就是在这种“分析一综合一再分析一再综合”循环往复的运动过程中不断积

累的。

2．分析与综合在解题中的应用

近年来，运用数学思维方法指导数学解题的教与学，已经引起了普遍重视。 在解题训练中适当渗透一些解题策略思想，总结一些思维方法，使分析与综合的 运用更加完善，有利于培养学生分析问题和解决问题的能力。以下介绍几种常用 的解题策略。

(1)分类分析

逻辑划分在数学中表现为分类思想，从小培养学生合理分类、有序思考的习 惯，是贯串于数学教学始终的一项整体工程。在教学中进行分类思想的渗透，对 培养和发展学生思维的条理性、严密性，提高思维能力具有重要意义。

例1 图11．1中共有多少个正方形?

分析：这个图形中按边长为基准，采用分类计算，观察图中共有5类正方形， 即边长为l 的正方形有9个；边长为2的正方形有4个；边长为3的正方形有1 个；边长为单位正方形对角线长的正方形有5个；边长为单位正方形对角线一半 的正方形有12个。

所以共有正方形9+4+1+5+12=31(个)

例2一本书有500页，编上页码1、2、3、4，…，问数字l 在页码中出现 了多少次?

分析：把这500个数分成1—99，1001_199，200—299，300—399，400～499 和500等六组数。先分析l 一99，这99个数又可分为1～9，10—19，20—29，…， 90一99十组，其中10～19一组中出现11次“l”，其余九组各出现1次“1”，共 20次“1”。再分析l 0(】一199，这组共出现20+100=120次“1”。其余4组各出现 20次“1”。500这个数中没有出现“1”。所以，数字l 在编码中共出现

20×5+100=200(：次) 。

(2)“试验式”分析

有些问题对解题者来说是生疏的，难以很快找到解题的方向。解题者只能摸 索着寻找解题的方法，这种方法不行就试试别的方法。每一次试验，尽管有的不 能直接有助于解题，但它可以从反面启发人们思考，进而猜测到解题的正确途径。 它要求解题者具有猜测能力，然而猜测有赖于分析。通过分析才能克服在问题的 条件中所遇到的种种障碍。比如，要求学生用6根火柴组成4个等边三角形，一 开始，解题者按思维惯性会在平面上作各种解题试验，但总得不到所求的答案， 善于分析的学生会突然猜想到问题解答的出路可能在三维空问，即在空问作4个 三角形(即四面体) 。因此，在教学中引导学生作“试验性分析”，有助于学生克 服思维惯性，培养学生的猜想能力和发散思维能力。

(3)枚举与筛选 ’

根据问题的要求，按一定的顺序，一一列举问题的解答；或者把问题分为不 重复不遗漏的有限种情况，一一列举各种情况加以解决，最终解决整个问题，这 种分析问题解决问题的方法即枚举法。在枚举过程中，逐个试验，逐个淘汰不符 合条件的解答，直到获得问题的解决，这就是筛选的思路。用“筛法”编制1000 以内质数表就是典型的例子。

例3 已知一个六位数38口756是11的倍数，求以与6。

分析：根据奇偶位差法，可知(8+7+6)与(3+口+5)的差是11的倍数，

即7+『]一口的结果是】1的倍数，由于6最大只能是9，所以7+2)最大值是16，从 而只考虑7+6一口的结果是0或1l 的情况，按顺序一一枚举如下表。

匿匿

所以，共有九组解。

为加深学生认识，可以组织学生对下面的题议一议。

由0、l 、2、3四个数字中取三个组成三位的偶数，能组成哪几个?

(答案10个) ．

(4)退中求进

有些数学问题，由于涉及的已知数很大或者情况复杂、数量关系曲折，涉及 的基础知识并不难，却难以发现解题思路。这时不妨从简单的情况或从小一点的 数入手，从中获得某些启示后，再来考虑原题的解。有的从正面顺推解题困难， 可以尝试从反面倒推。总之，我们把这些特殊的分析方法暂叫做“退中求进”，把 复杂的问题转化到基本形态的问题，“退”是为了更好地“进”，即从复杂退到简 单，从一般退到特殊，从抽象退到具体，从正面退到反面。

例4分别用1到9九个数组成几个分数，每个分数中，每个数字只能用一次， 分数值分别等于专，专，去。

分析：这是～道属于分数基本性质的逆向思维训练题，不便于从正面去拼凑 答案，可以把问题分几步思考，保持不重不漏的条件，先用九个数组成两个或三 个相等的分数，然后再合成为一个等值的分数。注意到5是一个特殊的数，上述 几个分数中除三外，在所求分数的分母或分子中，5不能在个位上；如果在个位， 恒等变形时，必然出现0或重复出现5。这与条件不符，本题的答案不唯一。例如 (i)分数值为吉时，先想丢。昙，再由剩下的1、5、7、8、9五个数组成等值 的分数旦158，于是

由忿=罴推想罴或丽7932专

(ii)分数值为一1时，

气

由高=丽58推想而5823 17458392石=三

(iii)分数值为三时，先想一1：～39，剩下2、4、7、8，看来难以继续下去。4 4 156。。。 ……一…、…

考虑到进位，借助百1=丽42，然后合成得出罴=丽42=丽3942=去。

有些图形由于空间位置有所变化，增加了问题的抽象程度。一般可以通过割、 补、拼、剪、平移、旋转到特殊情况，实行动静转换，使问题由抽象变为具体； 还有些实际问题转化成数学问题，本身呈现的数量关系比较抽象，可以结合图解 或用特殊的具体数值代入计算，直接取得结果。

(5)整体思考

整体思考就是遇到问题不是从局部元素着手考虑，而是将问题看作一个完整 的整体，运用全面看问题的观点，注重问题的整体结构和通过分解与重新组合将 结构改造。例如，给出20个数，87，91，94，88，93，91，89，87，92，86，90， 92，88，90，91，86，89，92，95，88，它们的和是多少? 如果能从整体结构考 虑，一眼看出一个隐蔽的“基准数”90，先算90 5

整体思考是一种重要的解题方法，在解题时，为了使问题中的各种数量关系 更简明和谐，易于处理，我们经常把问题中起主导作用的数量当做一个整体，假 设整体为“1”，这种数学思想应用在分数应用题和工程问题、行程问题中就是典 型例子。

例5求1至1989这些自然数中所有数字之和。

解法一将1至1989按位数分为四组统计

一位数所有数字之和1+2+…+9：45

两位数所有数字方和45×10+45×9=855

三位数所有数字之和45×100+(855+45)×9=12600

四位数所有数字之和l×1000+12600+855+45—19×10—45=14265

共计45+855+12600+14265=27765

解法二注意到l 至999所有自然数都是由数字0，l ，2，…，9这十个数字 组成，只是0的出现次数与其余九个数字不一样多。能否设法在形式上配成一样 多呢? 根据“0”的特性，联想人民币上的编码，只需添上000，且将1补足为001， 2补足为002，…，99补足为099。再观察000，00l ，…，999共一千个都是由三 个数字组成的新数，共3×1000=3000个数字，其中0至9十个数字各出现3000 ÷10=300(次) ，所以，1至999所有数字之和应为(1+2+…+9)×300=13500， 1000至1989所有数字之和为l×1000+13500一19×10—45=14265，共计

13500+14265=27’765。

解法一和解法二都是从局部元素着手分析的。都采用了整体思考方法，先分 析了整体结构，再对原结构的元素有目的地进行改造，这样，既保证了问题的结 果不变，又使题目中的数量关系更加明朗，从而优化了解题的思维过程。 11．2数学中的分析法与综合法

11．2．1 分析法与综合法的概述

分析法(逆推法) 即指思考问题时从题目结论出发，以一系列己知定义、定 理等为依据，逐步逆推，直到最后找到己知“题设”是保证结论成立的条件为止。 这种“执果索因”的推理方法叫做分析法或称逆推法。

综合法(顺推法) 即指思考问题时从题目条件出发，以一系列已知定义、定 理等为依据，逐步推导，得出要解决的问题。这种“由因导果”的推理方法叫做 综合法或称顺推法。

无论采取哪种方法解题，都是分析与综合即逆推与顺推的思维过程。从条件 推向问题时，要随时注意所求的问题；从问题出发推导时，又要随时依靠已知条 件，不能脱离条件和已知的定义、定理等。例如，一年级的学生进行加法运算8+3， 学生看到8，就会想到8和2组成10，这是综合；为了“凑10”，就要把3分解成 2和1，这是在综合推导下的分析。这样就可以将8和2相加得10，再将10和1 相加得所求的结果11，这是在分析基础上的综合。

运用分析法和综合法解应用题，对发展学生的思维能力也极为重要。 11．2．2推理思路图

使用“顺推法”和“逆推法”解应用题的推理思路图，是展现解题思维过程

的一种较好的直观图示，借助它的直观作用，有助于寻找解题关键，掌握条件与 条件、条件与问题之间的联系。例如，服装厂计划生产服装2650套，前5天平均 每天生产218套，后来改进了方法，平均每天多生产42套，问需几天完成全部任 务? 用顺推法写出解题思路图，见图11-2。

如果用逆推法写出解题思路，只需将上图推理过程反过来画即可。

观察推理思路图的结构，如果从条件向结论推导时，就总体趋势而言，形如 把各个局部因素组合成一个整体，这类似于“综合”，因此，从“己知j 结论” 的方法也叫综合法。反之，从“结论j 已知”的过程，从总体看是把整体分解为 局部，类似于“分析”，因此，从“结论j 己知”的方法也叫“分析法”。

11．2-3逐步逼近法在解题中的应用

近几年来数学教材已采用数字趣味题作为思维训练形式之一，这类题目的价 值在于它可以激发学生学习数学的积极性，有利于培养学生分析综合和推理的能 力。在分析解答数字趣味题的过程中，常常使用一种逐步逼近的分析推理方法， 它的基本思想是，首先根据问题的条件，确定问题的解存在的大致范围，选择解 题的突破口，然后一步步分析试验，排除不可能的情况，逐步缩小范围，直到完 成问题的解答。

例6在题中的方框里填写适当的数字，并确定原来被除数的小数点的位置。 口8．口口

____________________●________●●●_。-____一

1．口／口口口口口

0口0

口7

口口

口口口

口口口

(i)先定除数十分位上的数字。商的个位是8，而8乘除数1．口的积有两位

数字，知除数的十分位只能是1或2；由于商的最高位上的数乘除数，其积是口0， 可知除数十分位是2，即除数是1．2。

(ii)由商的最高位上的数乘1．2，积是口0，知商的最高位只能是5，其积为 60。

(iii)由商的个位是8，12×8=96，所以被除数第二位数是9，第三位数是7， 第一位数是6。

(iv)商有四个数字，而竖式中只减去三个部分积，看出商的十分位上是0； 满足商的百分位上的数乘12，积为一个三位数，只能是9，12×9=108，知被除数 的末两个数字是08。

(v)最后定被除数小数点的位置即69．708。至此全部算式都求出来了。

例7有0、1、3、4、5、9六个数字，分别用A 、B 、C 、D 、E 、F 表示这六 个数中的一个，它们的关系用式子表示如下

C —B=B (3)

D×A=D (4)

问A 、B 、C 、D 、E 、F 各表示什么数?

分析：关系式(1)、(4)的情况最少，可选作突破口。由(1)知E ：0，由(4) 得A=l，由(3)B×B=C，C 可能是4或9，于是可定B=3，C=9，由(2)D：B+A 知D=4，最后F=5。

解数字趣味题往往要使用有关整数的各方面的基础知识，解题的思维方法是 多种的，而且相互配合。一般说来，解题中要注意以下几点：

第一，注意分析数的分解、尾数、奇偶性等特点；

第二，逐步积累一些常用的经验数据和估算技巧；

第三，数字问题中的字母、符号除特殊限制外，都只能取0至9十个数码中 的…个；

第四，突破口的选择无一定公式，一般地，条件最充分的地方，往往就是突 破口所在，有些也具规律性。如填乘法竖式题，一般选乘数作突破口；填除法竖 式题，突破口是先定商和除数；

第五，分析推理与试验相互促进。注意观察题目的特点，特别是对称性，最 大与最小的界限数值，算式中隐含的进位关系不可忽视。充分借助估算，逐步缩 小数字的取值范围，以减少试验的次数。

8. 1. 1. 0 ----(1)0 8. 7

---- ---- 0(2)

7 ( 3)