概率论公式总结以及习题小测!

第一章

P(A+B)=P(A)+P(B)- P(AB)

特别地，当A 、B 互斥时， P(A+B)=P(A)+P(B) 条件概率公式

P (A |B ) =P (AB )

P (B )

概率的乘法公式

P (AB ) =P (B ) P (A |B ) =P (A ) P (B |A )

全概率公式：从原因计算结果

∑

n

P (A ) =P (B k ) P (A |B k )

k =1

Bayes 公式：从结果找原因

P (B A ) =P (B |B

i ) P (A i ) k |∑

n

P (B (A |B

k ) P k ) k =1

第二章

二项分布（Bernoulli 分布）——X~B(n,p)

P (X =k ) =C k p k (1-p ) n -k n ，(k =0, 1,..., n )

泊松分布——X~P(λ)

k

P (X =k ) =λ

k ! e -λ，(k =0, 1,...)

概率密度函数

⎰

+∞

-∞

f (x ) dx =1

怎样计算概率

P (a ≤X ≤b )

P (a ≤X ≤b ) =⎰b

f (x ) dx

a

均匀分布X~U(a,b)

f (x ) =

1

b -a

(a ≤x ≤b )

指数分布X~Exp (θ)

f (x ) =

1

-x /θ

θ

e (x ≥0)

分布函数

对离散型随机变量 F (x ) =P (X ≤x ) =k ∑P (X =k )

≤x

对连续型随机变量

x

F (x ) =P (X

≤x ) =⎰-∞

f (t ) dt

分布函数与密度函数的重要关系：

F (x ) =P (X ≤x ) =⎰x

-∞

f (t ) dt

F ' (x ) =f (x )

二元随机变量及其边缘分布 分布规律的描述方法

联合密度函数 f (x , y )

联合分布函数 F (x , y )

f (x , y ) ≥0

⎰+∞⎰

+∞

-∞-∞

f (x , y ) dxdy =1

0≤F (x , y ) ≤1 F (x , y ) =P {X ≤x , Y ≤y }

联合密度与边缘密度

f +∞

X (x ) =⎰-∞

f (x , y ) dy

f Y (y ) =⎰+∞

-∞

f (x , y ) dx

离散型随机变量的独立性

P {X =i , Y =j }=P {X =i }P {Y =j }

连续型随机变量的独立性

f (x , y ) =f (x ) f

X Y (y )

第三章

数学期望

离散型随机变量，数学期望定义

E (X ) =

k

k ∑+∞

x

k

⋅P =-∞

+∞

连续型随机变量，数学期望定义 E (X ) =x ⋅f (x ) dx

⎰

-∞

● E(a)=a，其中a 为常数

● E(a+bX)=a+bE(X)，其中a 、b 为常数

● E(X+Y)=E(X)+E(Y)，X 、Y 为任意随机变量

随机变量g(X)的数学期望 E (g (X )) =∑

g (x k ) p k

k 常用公式

E (X ) =∑∑x i p ij

E (X ) =⎰⎰xf (x , y ) dxdy

i

j

E (XY ) =∑∑x i y j p ij

i

j

正态分布

f (x ) =

1

e 2πσ

-

(x -μ) 22σE (X +Y ) =E (X ) +E (Y ) E (XY ) =⎰⎰xyf (x , y ) dxdy

E (X ) =μ, D (X ) =σ2

标准正态分布的概率计算 Φ(a ) =1-Φ(-a ) 标准正态分布的概率计算公式

当X 与Y 独立时, E (XY ) =E (X ) E (Y )

方差 定义式

P (Z ≤a ) =P (Z

P (Z ≥a ) =P (Z >a ) =1-Φ(a )

D (X ) =⎰

常用计算式

常用公式

2

(x -E (X ) )⋅f (x ) dx -∞

+∞

2

P (a ≤Z ≤b ) =Φ(b ) -Φ(a )

P (-a ≤Z ≤a ) =Φ(a ) -Φ(-a ) =2Φ(a ) -1

一般正态分布的概率计算

D (X ) =E (X 2) -[E (X ) ]

X ~N (μ, σ2) ⇔Z =

X -μ

D (X +Y ) =D (X ) +D (Y ) +2E {(X -E (X ))(Y -E (Y ))}

当X 、Y 相互独立时：

σ

~N (0, 1)

一般正态分布的概率计算公式

D (X +Y ) =D (X ) +D (Y )

P (X ≤a ) =P (X

a -μ

σ

)

方差的性质

D(a)=0，其中a 为常数

D(a+bX)=b2D(X)，其中a 、b 为常数

当X 、Y 相互独立时，D(X+Y)=D(X)+D(Y) 协方差与相关系数

E {[X -E (X ) ][Y -E (Y ) ]}=E (XY ) -E (X ) E (Y )

Cov (X , Y ) =E (XY ) -E (X ) E (Y )

Cov (X , Y ) ρXY =

D (X ) D (Y )

协方差的性质

σ

b -μa -μ

P (a ≤X ≤b ) =Φ() -Φ()

σσ

第五章 卡方分布

n

2

若X ~N (0, 1) ，则X i ~χ2(n )

i =1

P (X ≥a ) =P (X >a ) =1-Φ(

a -μ

∑

若Y ~N (μ, σ2), 则

t 分布

1

σ

2

∑(Y -μ)

i

i =1

n

2

~χ2(n )

Cov (X , X ) =E (X 2) -(E (X ) )=D (X )

2

若X ~N (0, 1), Y ~χ(n ), 则

F 分布 若U ~χ2(n ), V ~1正态总体条件下

样本均值的分布：

2

Cov (aX , bY ) =abCov (X , Y )

X

~t (n ) /n

Cov (X +Y , Z ) =Cov (X , Z ) +Cov (Y , Z )

独立与相关 独立必定不相关 相关必定不独立 不相关不一定独立 第四章

χ2(n 2), 则

U /n 1

~F (n 1, n 2) V /n 2

~N (μ,

分布：

σ

2

n

)

-μ

~N (0, 1) σ/n

样本方差的

X ~N (μ, σ2)

(n -1) S 2

σ2

~χ(n -1)

2

-μ

~t (n -1)

s /n

两个正态总体的方差之比

S /S

~F (n 1-1, n 2-1)

σ/σ

21212222

两个正态总体均值差的置信区间 大样本或正态小样本且方差已知

22⎫⎛σσ1 (-)±z +2⎪ 12α/2

n 1n 2⎪⎝⎭ 两个正态总体方差比的置信区间

2

⎛S 12/S 2 F (n -1, n -1) ,

2⎝α/21

2

⎫S 12/S 2

⎪

F α/2(n 1-1, n 2-1) ⎪⎭

第六章

点估计：参数的估计值为一个常数 矩估计

最大似然估计 似然函数 n

第七章

假设检验的步骤

① 根据具体问题提出原假设H0和备择假设H1 ② 根据假设选择检验统计量，并计算检验统计值 ③ 看检验统计值是否落在拒绝域，若落在拒绝域则

拒绝原假设，否则就不拒绝原假设。

不可避免的两类错误

第1类(弃真) 错误：原假设为真，但拒绝了原假设 第2类(取伪) 错误：原假设为假，但接受了原假设 单个正态总体的显著性检验

● 单正态总体均值的检验

大样本情形——Z 检验

正态总体小样本、方差已知——Z 检验 正态总体小样本、方差未知—— t检验

● 单正态总体方差的检验

正态总体、均值未知——卡方检验

单正态总体均值的显著性检验 统计假设的形式

双边检验 (1) H 0:μ=μ0H 1:μ≠μ0

(2) H 0:μ≥μ0H 1:μ

(3) H 0:μ≤μ0H 1:μ>μ0

右边检验

单正态总体均值的Z 检验

L =∏

i =1

n

f (x i ; θ) L =∏p (x i ; θ)

i =1

均值的区间估计——大样本结果

σ⎫ ⎛

±z ⎪α/2

n ⎭ ⎝

—样本均值

—标准差(通常未知，可用样本标准差s 代替) —样本容量(大样本要求n >50)

σ

n

z α/2—正态分布的分位点⎛

±z α/2 ⎝

(1-) ⎫

⎪⎪ n ⎭

n

—样本比例

—样本容量(大样本要求n >50)

z α/2—正态分布的分位点

小样本、正态总体、标准差σ已知σ⎫ ⎛

±z α/2⎪

n ⎭⎝

Z =

-μ0

σ/n

（大样本情形σ未知时用S 代替）

小样本、正态总体、标准差σ未知

拒绝域的代数表示

s ⎫⎛

±t α/2(n -1) ⎪

n ⎭⎝

Z ≥Z α/2双边检验

左边检验

Z ≤-Z α

t α/2(n -1) —自由度为n -1的t 分布的分位点

Z ≥Z α右边检验

比例——特殊的均值的Z 检验

(n -1) S 2

2χα/2

,

(n -1) S 2

χ12-α/2

)

S 2

—样本方差

Z =

2

χα/2—卡方分布的分位点

-p 0

p 0(1-p 0) /n

——样本比例

p 0——总体比例

正态总体方差的区间估计

单正态总体均值的 t 检验

-μ0 t =

S /n

单正态总体方差的卡方检验 2

(n -1) S χ2=2

σ0

拒绝域

双边检验 χ2≥χ2或χ2≤χ2

α/21-α/2

Y =X 2的分布律为_________。 10. 若二维随机变量（X , Y ）的区域

(x , y ) |x 2+y 2≤R 2上服从均匀分布，则（X ，Y ）的密度函数为__________。

11. 设二维随机变量（X ，Y ）的概率密度为

⎧e -y +1⎪

f (x , y ) =⎨x 2, x >1, y >1,

⎪⎩0,

则f X (x ) =_________。

12. 设随机变量X 的分布律为E (X 2) =_________。

{}

左边检验 χ2≤χ21-α/2

右边检验

χ2≥χ2α/2

概率论与数理统计复习题

一、填空题

1. P (A ) =0.4, P (B ) =0.5, P (B ) =0.4, 则 P (A B ) =____.

2. E (X ) =μ, D (x ) =σ2, 由切比雪夫不等式知

P {μ-2σ

3. 总体X ~N (μ, σ2) ，σ2未知，检验假设H 0:μ=μ0的检验统计量为_________。 4. 已知，A , B 两个事件满足条件P (AB ) =P (A B ) ，且P (A ) =p ，则P (B ) =_________。

5. 设三次独立试验中，事件A 出现的概率相等，

如果已知A 至少出现一次的概率等于19

27

，则事件

A 在一次试验中出现的概率为_________。

6. 同时抛掷3枚硬币，以X 表示出正面的个数，则X 的概率分布为_________。 7. 设随机变量X 的概率密度为

f (x ) =⎧⎨

2x , 0

⎩0, 其他, 用Y 表示对X 的3次独立重复观察中事件⎨⎧

X ≤1⎬⎫⎩2⎭

出现的次数，则

P {Y =2}=_________。

8. 设随机变量X ～N (2, σ2) ，且

P {2

13. 设随机变量X 的概率密度为

⎧f (x ) =⎪A

⎨x 3

, 1

其他则A =_________。

14. 设X ~N (1, 4) ，则E (X ) =_________，D (X ) =_________。

15. 已知离散型随机变量X 服从参数为2的泊松分布，Y =12-3X ，则D (Y ) =_________。 16. 从一批零件的毛坯中随机抽取8件，测得它们的重量（单位：kg ）为

230,243,185,240,228,196,246,200则样本均值=_________，样本方差S 2=_________。 17. 设总体X ~N (μ, σ2), X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的样本，则E () =_________，D () =_________。

18. 设总体X ~χ2(n ), X 1, X 2, , X n 是来自总体

X 的样本， E () =_________。

19. 设总体X 服从参数为λ的泊松分布，其中

λ>0为未知，X 1, X 2, , X n 为来自总体X 的样本，

则λ的矩估计量为λ

ˆ=_________。 20. 设总体X ~N (μ, σ2), σ2为已知，μ为未知，

X 1, X 2, , X n 为来自总体的样本，

则参数μ的置信度为1-α的置信区间为_________。

二、单选题

1. 设两个随机变量X 与Y 的方差分别为25和16，相关系数为0.2，则D (X -Y ) =(

) 。

(A) 33 (B) 44 (C) 76 (D) 84。

2. 若f (x , y ) 是二维随机变量(X , Y ) 的密度函数，则(X , Y ) 关于X 的边缘分布密度函数为（ ）． （A ）⎰

+∞f (x , y ) dx ;

（B ）-∞

⎰

+∞f (x , y ) dy ; （C ）

-∞

⎰

y f (x , y ) dx ; （D ）x -∞

⎰

-∞

f (x , y ) dx ．

3. 已知随机变量X 服从二项分布, 且

E (X ) =2.4, D (X ) =1.68, 则二项分布的参数n , p 的值为( ).

(A)n =4, p =0.6; (B)n =8, p =0.3; (C)n =7, p =0.3; (D)n =5, p =0.6. 4. 设随机变量X ~N (0, 1), Y =2X +1, 则Y 服从（ ）． （A ）N (1, 4); （B ）N (0, 1); （C ）N (1, 1); （D ）N (1, 2) ． 5. 若f (x , y ) 是二维随机变量(X , Y ) 的密度函数，则(X , Y ) 关于X 的边缘分布密度函数为（ ）．

（A ）⎰+∞f (x , y ) dx ; （B ）⎰+∞

f (x , y ) dy ; （C ）-∞-∞

⎰y

f (x , y ) dy ; （D ）y f (x , y ) dx ． -∞⎰-∞6. 设X 的为随机变量，则E (2X -3) =（ ）．

（A ）2E (X ) （B ）4E (X ) -3 （C ）/*+ （D ）2E (X ) -3

7. 设总体X ~N (μ, σ2), X 1, X 2, , X n 是总体X 的

样本，下列结论不正确的是（ ）．

（A ）-μ

σ/n

~N (0, 1) （B ）1n σ2

∑(X i -μ) 2~χ2

(n -1) i =1

（C ）-μS /n ~t (n -1) （D ）1∞σ2∑(X i

-) 2~χ2

(n -1) i =18. 设是来自总体N (μ21, σ1) 的容量为m 的样本

的样本均值，是来自总体N (μ22, σ2) 的容量为n

的样本的样本均值，两个总体相互独立，则下列结

论正确的是（ ）．

（A ）-~N (μσ22

11-μ2, m -σ2

n

) （B ）+~N (μσ22

1σ2

1-μ2, m -n )

σ22

（C ）+~N (μ11-μ2,

m +σ2

n ) （D ）-~N (μσ2σ2

12

1-μ2, m +n )

9. 设总体X ~N (μ, σ2

), X 1, X 2, , X n 是来自总体

X 的样本，则P {

-μ

σ/n

（A ）0.975； （B ）0.025； （C ）0.95； （D ）0.05．

10. 设总体X 的均值为[0, a ]上服从均匀分布，其中a >0未知，则a 的极大似然估计量为（ ）．

（A ）μ

ˆ11=2X 1

1+3X 2 （B ）μ

ˆ111

2=2X 1+6X 2+3

X 3 （C ）μ

ˆ111

3=4X 1+2X 2+3X 3 （D ）μ

ˆ=12143X 1+3X 2+3

X 3 11. 设总体X ~N (μ, σ2) ，σ2未知，检验假设

H 0:μ=μ0所用的检验统计量为（ ）． （A -μ0-μ2

0(n -1) S σ/n （B S /n

（C σ2 （D ）1n σ2∑(X i -μ) 2 i =1

12. 设随机变量X ~N (0, 1), Y =2X +1, 则Y 服从（ ）

． （A ）N (1, 4); （B ）N (0, 1); （C ）N (1, 1); （D ）N (1, 2) ． 三、计算题 1. 两台车床加工同样的零件，第一台出现废品的

概率为0.03，第二台出现废品的概率为0.02，加

工出来的零件放在一起，并且已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍．

（1）求任意取出的一个零件是合格品的概率； （2）如果任取的一个零件是废品，求它是第二台车床加工的概率． 2. 某商店成箱出售玻璃杯，每箱20只，假设各箱

中有0，1，2只残次品的概率依次为0.8，0.1，0.1；一顾客欲购一箱玻璃杯，在购买时，售货员随机地取一箱，而顾客随机地察看该箱中的4只玻璃杯，若无残次品，则买下该箱玻璃杯，否则退回，求 （1）顾客买下该箱玻璃杯的概率； （2）在顾客买下的一箱中确实没有残次品的概率． 3.

又Y =X （1）求Y 的概率分布及E (Y ) ，D (Y ) . （2）求相关系数ρXY ，问X 与Y 是否不相关？是否独立？

4. 在4重伯努力试验中，已知事件A 至少出现一次的概率为0.5，求在一次试验中事件A 出的概率． 5. 一批产品由9个正品和3个次品组成，从这批产品中每次任取一个，取后不放回，直到取到正品为止，用X 表示取到的次品个数，写出X 的概率分布及分布函数．

6. 设随机变量(X , Y ) 的概率密度为

f (x , y ) =⎧⎨

C e -(3x +4y ) , x >0, y >0

⎩

0, 其他 试求：（1）常数C ； （2）P {0

⎧0x ≤-a ; F (x ) =⎪,

⎨A +B arcsin x

⎪

a , -a

⎩1,

x ≥a 求：（1）常数A ，B ；（2）随机变量X 落在(-a a

2, 2

)

内的概率；（3）X 的概率密度函数． 8. 已知随机变量X 的概率密度为

⎧e -x f (x ) =⎨, x >0, 求随机变量⎩0, x ≤0⋅Y =X 2的概率分布．

9. 一口袋中装有4个球，依次标有1,2,2,3．今从口袋中任取1球，取后不放回，再从口袋中任取1球．以X 和Y 分布记第一次、第二次取得的球上标有的数字，求（1）(X , Y ) 的概率分布；（2）概率P {X +Y ≥4}．

10. 已知二维随机变量(X , Y ) 的概率密度为

, y ) =⎧⎨

λe -(2x +y ) f (x , x >0, y >0,

⎩0,

其他求（1）常数λ；（2）(X , Y ) 的分布函数． 11. 设(X , Y ) 的分布函数为

F (x , y ) =A (B +x

y 2)(C +3

)

求（1）常数A , B , C ；（2）(X , Y ) 的密度函数；（3）

(X , Y ) 关于X 、关于Y 的边缘分布函数；

（4）问X 与Y 是否相互独立？

12. 设随机变量X 的概率密度为

f (x ) =⎧⎨e -x , x >0⎩0, x ≤0

求（1）Y =2X ，（2）Y =e -2X 的数学期望．

13. 一台设备由三大部件构成，在该设备运转中各部件需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3．假设各部件的状态相互独立，以X 表示需要调整的部件数，求X 的概率分布，数学期望和方差．

14. 某种电子元件的寿命服从均值为100小时的指数分布，现随机取出16只，设它们的寿命相互独立，求这16只元件的寿命的和大于1920小时的概率．

15. 设总体X 的概率密度函数为

f(x)=(α+1)x α,0

16. 设总体X 的数学期望E (X ) =μ，方差

D (X ) =σ2, X 1, X 2, , X n 是来自总体X 的样本，

记Y =1n

n ∑(X i -μ) 2，求E (Y ) ．

i =1

17. 某工厂生产一批铆钉，现要检验铆钉头部直径，从这批产品中随机抽取12只，测得头部直径（单位：mm ）如下：

13.30, 13.38, 13.40, 13.43, 13.32, 13.48,

13.54, 13.31, 13.34, 13.47, 13.44, 13.55．

设铆钉头部直径X 服从正态分布N (μ, σ2) ，试求μ与σ2的矩估计值．

18. 从正态总体N (μ, σ2) 中抽取容量为5的样本值：

1.86, 3.22, 1.46, 4.01, 2.64,

（1）已知μ=3，求σ2的置信水平为0.95的置信区间；

（2）若μ未知，求σ2的置信水平为0.95的置信区间．

19. 设总体X 服从参数为θ的指数分布，即X 的概率密度为

⎧f (x ) =⎪

1-x

⎨θθe , x >0,

⎪⎩0,

x ≤0, 其中θ>0为未知，X 1, X 2, , X n 为X 的一个样本，求θ的矩估计量和最大似然估计量．