求离心率的取值范围方法总结
求离心率的取值范围
求离心率的取值范围
椭圆的离心率
，双曲线的离心率
，抛物线的离心率
。求椭圆与双曲线离
心率的范围是圆锥曲线这一章的重点题型。求离心率的取值范围涉及到解析几何、平面几何、代数等多个知识点，综合性强方法灵活，解题关键是挖掘题中的隐含条件，构造不等式。 下面从几个方面浅谈如何确定椭圆、双曲线离心率e的范围。 一、利用曲线的范围，建立不等关系
例1． 设椭圆的左右焦点分别为
、
，如果椭圆上存在点P，
使，求离心率e的取值范围。
例2．已知椭圆
x22
a2y
b2
1(ab0)右顶为A,点P在椭圆上，O为坐标原点，且OP垂直于PA，求椭圆的离心率e的取值范围。
二、利用曲线的平面几何性质，建立不等关系
例1．已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足
的点P总在椭圆内部，则椭圆离心率
的取值范围是（ ）
Ａ．(0,1) Ｂ．(0,1]
2Ｃ．
Ｄ． 例2．直线L过双曲线的右焦点，斜率k=2。若L与双曲线的两个交点分别在左、右
两支上，求双曲线离心率的取值范围。
例3. 已知F1、F2分别是双曲线
的左、右焦点，过F1且垂直于x轴的直线与双曲线
交于A、B两点。若△ABF2是锐角三角形，求双曲线的离心率的取值范围。
例4.设双曲线C的中心为点O，若有且只有一对相交于点O，所成的角为60°的直线A1B1和A2B2，使|A1B1|＝|A2B2|，其中A1，B1和A2，B2分别是这对直线与双曲线C的交点，则该双曲线的离心率的取值范围是( )．
22
A
． B
． C
． D
．
例5. 过双曲线的左焦点F1且与双曲线的实轴垂直的直线交双曲线于A、B两点，若在双曲线的虚轴所在直线上存在一点C，使得ACB900
，双曲线的离心率e的取值范围为_______________
三、利用曲线的定义和焦半径范围，建立不等关系
例2．设双曲线
例1．已知双曲线的左右焦点分别为
、
，点P在双曲线的右支上，
的取值范围。 与直线
相交于不同的点A、B。求双曲线的离心率e
且，求此双曲线的离心率e的取值范围。
22
例2．已知双曲线
xa2y
b2
1(a0,b0)的左、右焦点分别为F1(c,0),F2(c,0)．若双曲线上存在点P使sinPF1F2a
sinPF，求该双曲线的离心率的取值范围。
2F1c
四、利用点与圆锥曲线的位置关系，建立不等关系
例1.已知ABC的顶点B为椭圆x2y2
a2b
21(ab0)短轴的一个端点，另两个顶点也在椭圆
上，若ABC的重心恰好为椭圆的一个焦点F(c,0),求椭圆离心率的范围.
五、利用判断式，建立不等关系
例1.在椭圆x2y22
a2b
21(ab0)上有一点M，F1,F2是椭圆的两个焦点，
若MF1MF22b，求椭圆的离心率.的范围。
六、利用均值不等式，建立不等关系。
例1. 已知点P在双曲线x2y2|PF2
1|a2b21(a0,b0)的右支上，双曲线两焦点为F1、F2，
|PF2|
最小值是8a，求双曲线离心率的取值范围。
七、利用函数的值域，建立不等关系
例1.设a1，则双曲线x2y2
a2(a1)
2
1的离心率e的取值范围是（ ）
Ａ．
Ｂ． Ｃ．(2,5)
Ｄ．
2.椭圆x2y2
例a2b
21(ab0)与直线xy10相交于A、B两点，且OAOB0（O为
原点），若椭圆长轴长的取值范围为
,，求椭圆离心率的范围.
八、利用三角函数有界性，建立不等关系
例1.双曲线x2y2
a2b
21(a0,b0)的两个焦点为F1,F2，若P为其上一点，且PF12PF2，
则双曲线离心率的取值范围是（ ） Ａ．(1,3) Ｂ．(1,3] Ｃ．(3,) Ｄ．[3,)