多元函数微分学复习题
一、多元函数的概念
1. (lim x 2y 22=【 0 】 x , y )→(0,0)x 2+y
二．偏导数及其求解
1
．设f (x , y ) =x 2+f x '(2,0)=【 】
A ．1 Ｂ．2 C ．3 D ． 4
4．二元函数z =f (x , y ) 在点(0,0)处可微的充分条件为【 C 】
A. f (x , y ) 在点(0,0)处连续 B. f (x , y ) 在点(0,0)处偏导数存在
C. (x , y lim ) →=0 D. f xy (x , y ) 在点(0,0)处连续
设z =x y ，则dz = ．
2. 设u =xy 2z 3，其中z =z (x , y ) 是由x 2+y 2+z 2=3(z >0)所确定的函数，求∂u
∂x (1,1).
解：由x 2+y 2+z 2=3(z >0)知z (1,1)=1, 两边对x 求导得 2x +2z ⋅∂z ∂
∂x =0∴z
∂x =-x =-1
(1,1)z (1,1,1) 而∂u x =y 2z 3+xy 2⋅3z 2∂z
∂∂x ∂u
∂x =-2
(1,1)
2
设u =f (x 2, xy 2) ，其中函数f 具有二阶连续偏导数，求∂u
∂x ∂y ．
三、多元函数的微分法的应用
1．曲面x 2+2y 2+3z 2=21在点(1, -2,2)处的法向量为
.
⎧2x 2+3y 2+z 2
2. 求曲线⎨=47
⎩x 2+2y 2=z 上点(-2,1,6)处的切线方程. 得
⎧4x +6yy '+2zz '=0⎧3yy '+zz '=-2x 解：⎨⇒⎨''2x +4yy -z =0⎩ ⎩4yy '-z '=-2x 2x (1+z )282xy ⇒y '(-2,1,6)==z '(-2,1,6)=-y 3+4z -2,1,627-y 3+4z ()=(-2,1,6)427
⎛284⎫1x +2y -1z -6==故切向量s = 1, , ⎪=(27,28,4) 切线方程为 [1**********]⎝⎭
已知f (x , y , z ) =xy 2+z 3-xyz ，则gradf (1,1,1)= ． 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面方程．
．求二元函数f (x , y ) =4(x -y ) -x -y 的极值． 22